Integral definida, Esquemas y mapas conceptuales de Álgebra

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Tema: Integral

definida

Cálculo 2 2023 - 1 Videoconferencia 02

ÍNDICE

Introducción al tema

Temario

Desarrollo del contenido

Conclusiones

Consultas

Introducción

En la ciudad de Trujillo se ha determinado que la temperatura (en ˚C) del día 26 de marzo del 2023, t horas pasada la media noche, está dada por la función: 𝑇 𝑡 = 23 + 3 cos 𝑡 − 1

Donde 𝑡 está dado en horas. Determine la temperatura promedio durante el periodo de las 4 : 00 horas hasta las 10 : 00 horas. Temperatura en un día de verano

Saberes previos

 ¿Qué es una integral indefinida?

 ¿Cómo puedes calcular las siguientes integrales indefinidas?

3 5

2

2

− 2 cos(𝑥) 𝑒

𝑥 3 −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

2

INTEGRAL DEFINIDA

lím

𝑛→∞

𝑖= 1 𝑛

𝑖 ∗

𝑎 𝑏

1. Integral definida. Definición

Si 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado 𝑎; 𝑏 y existe el límite lím 𝑛→∞ σ 𝑖= 1 𝑛 𝑓(𝑥𝑖)Δ𝑥. Entonces la integral definida de 𝑓 entre 𝑎 y 𝑏, se denota por donde  𝑓(𝑥): función integrable (integrando)  𝑎 y 𝑏: límites de integración  (^) ׬: símbolo de integración  𝑥: variable de integración lím 𝑛→∞

𝑖= 1 𝑛 𝑓 𝑥𝑖 Δ𝑥 = න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Integral definida como área de una región

Entonces el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑥 y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 viene dado por: Nota:  La integral definida no es otra cosa que un número real y puede representar o no un área.  Cuando la gráfica de f está bajo el eje 𝑥, el valor de la integral definida es negativo. Si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado 𝑎; 𝑏 y 𝑓(𝑥) ≥ 0. 𝑨 = න 𝒂 𝒃 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

Integral definida como área de una región

Ejemplo 1: Determine el valor de la siguiente integral න − 1 1 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 Interpretando la integral como área de una región Solución: Construimos la gráfica de 𝑦 = 1 − 𝑥 2 . Así, න − 1 1 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =

2. Propiedades de la integral definida

𝑎 𝑏 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 න 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥; 𝑘 ≡ constante

2. න 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = න 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± න 𝑎 𝑏 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3. න 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = න 𝑎 𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + න 𝑐 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏
4. න 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − න 𝑏 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Si 𝑓 y 𝑔 son continuas en el intervalo [a, b], entonces
5. න 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
6. න 𝑎 𝑏 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 (^) 𝑎 𝑏 − න 𝑎 𝑏 𝑣𝑑𝑢

3. Segundo teorema fundamental del cálculo (forma de antiderivada)

Si 𝒇(𝒙) es una función continua en el intervalo cerrado 𝒂; 𝒃 , entonces න 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 ቚ 𝒂 𝒃 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂) donde 𝑭(𝒙) es cualquier antiderivada de 𝒇(𝒙) en 𝒂; 𝒃. Ejemplo 2: Calcule (^) ׬ − 1 2 𝑥 2

• 1 𝑑𝑥 න − 1 2 𝑥 2
• 1 𝑑𝑥 = อ

3 3

− 1 2 =

3 ) + 2 −

3 − 1 =^6

3. Segundo teorema fundamental del cálculo (forma de antiderivada)

Ejemplo 5: Determine el valor de la siguiente integral න 0 1 𝑥 3 𝑒 𝑥^2 𝑑𝑥 Solución: Aplicando integración por partes, (𝑢 = 𝑠, 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑠 𝑑𝑠) Considerando la sustitución 𝑠 = 𝑥 2 , 𝑑𝑠 = 2𝑥𝑑𝑥 න 0 1 𝑥 3 𝑒 𝑥 2 𝑑𝑥 =

0 1 2𝑥(𝑥 2 )𝑒 𝑥 2 𝑑𝑥 =

𝑠= 0 𝑠= 1 𝑠𝑒 𝑠 𝑑𝑠 1 2

0 1 𝑠𝑒 𝑠 𝑑𝑠 =

𝑠 0 1 − න 0 1 𝑒 𝑠 𝑑𝑠 =

1 − 0 𝑒 0 − 𝑒 1 − 𝑒 0 =

3. Segundo teorema fundamental del cálculo (forma de antiderivada)

Ejemplo 6: Determine el valor de la siguiente integral (^) ׬ − 1 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , donde 𝑓 𝑥 = ൞

2

• 1 , − 1 ≤ 𝑥 < 0 𝑥 3 , 0 ≤ 𝑥 < 2 3𝑥 − 5 , 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 Solución: = න − 1 0 𝑥 2
• 1 𝑑𝑥 + න 0 2 𝑥 3 (^2) 𝑑𝑥 + න 2 3 3𝑥 − 5 𝑑𝑥

− 1 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න − 1 0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න 0 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න 2 3 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = อ

3 3

− 1 0

• ቤ

5 2 0 2

• อ

2 2

2 3 =

5

4. Integrales para funciones pares e impares

Si 𝑓 es una función impar integrable( ∀𝑥 ∈ −𝑎; 𝑎 , 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) ), entonces න −𝒂 𝒂 𝒇(𝒙) ⋅ 𝒅𝒙 = 𝟎 = 0 Si 𝑓 𝑥 = tan 7 𝑥, entonces 𝑓 −𝑥 = tan 7 −𝑥 = tan(−𝑥) 7 = − tan 𝑥 7 = − tan 7 𝑥 = −𝑓 𝑥 Ejemplo: Calcule න −𝜋/ 3 𝜋/ 3 tan 7 𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 න −𝜋/ 3 𝜋/ 3 tan 7 𝑥 ⋅ 𝑑𝑥

4. Integrales para funciones pares e impares

Ejercicio: Determine el valor de las siguientes integrales definidas: න −𝜋 𝜋 𝑒 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 7 𝑥 𝑑𝑥 න − 2 2 𝑥 3

• 𝑥 8 ( 3 𝑥 2
• 1 )𝑑𝑥