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1 Integral Impropia En la definición de una integral definida fro se exigió que el intervalo [a, b] fuese finito. Por otro lado el teorema fundamental del cálculo que hemos utilizado requiere que la función f sea continua en [a,b]. Ahora vamos a analizar aquellas integrales que no satisfacen uno o ambos de los requisitos citados. Tales integrales se llaman integrales impropias. Recordemos que una función tiene una discontinuidad infinita en e si por la derecha o por la izquierda, lim f (2) =00, lim f (2) =—o00 1.1 Integrales en intervalos no acotados Son integrales impropias con límites de integración infinitos: 1. Si f es continua en el intervalo [a, 00), entonces S7 F(2)de = limo Es (2) de 2. Si f es continua en el intervalo (—os, b], entonces E f(x) do =lima-o Ñ f(x) dx 3. Si f es continua en el intervalo (—00, 00), entonces Psma= f_ ttods [stas donde e es cualquier número real. En los dos primeros casos, la integral impropia converge si el límite existe; en caso contrario, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia de la izquierda diverge sí cualquiera de la integrales impropias de la derecha diverge. 1.2 Integrales de funciones no acotadas Son integrales impropias con discontinuidades infinitas: 1. Si f es continua en el intervalo [a,b) y tiene una discontinuidad infinita en b, entonces [ serie= sm [stas 2. Si f es continua en el intervalo (a, b] y tiene una discontinuidad infinita en b, entonces “fajar= tim Í fíejar / tim, / 3. Sifes continua en el intervalo [a, b] excepto en algún c£ (a, b) , en el que f tiene una discontinuidad infinita, entonces J rerie= [sees [sas En los dos primeros casos, la integral impropia converge si el límite existe; en caso contrario, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia de la izquierda diverge si cualquiera de la integrales impropias de la derecha diverge. 5. Transformada de Laplace: Sea f (t) una función definida para todo t positivo. Su transformada de Laplace se define como F)= [rra si la integral existe. La transformada de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales. Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: (a) F()=1 (d) 10=8 (e) F(t) =cosat 6. Consideremos la región que satisface las desigualdades y £ e *,y => 0,7 => 0. Calcular el área y el volumen del sólido que genera al girar en torno al eje y. 7. La función GammaT (n) se define como (a) Calcular T (n) para n =1,2 y 3. (b) Probar, integrando por partes, que T'(n +1) =nT (n) (e) Expresar T' (n) en términos de notación factorial, para n entero positivo. $. Sea 2 qan—1 IL, = f — AA, nz1l o (241) Probar que Z, = (5) I”-1 y calcular a continuación: 7 3 haa o («211) 9. La función Beta se define como: (a) Realizando el cambio de variable x =1—?, probar que 5 (p. q) = 4 (q.p) (b) Realizando el cambio de variable « =sin? 9 probar que m/2 B(p.q)=2 f sin*P71 A cos?97? gag Do 3 5 (5H) += o 3 10 3 x—ád x—ád 1-2) dr LESS) (e) Calcular utilizando la función beta (e) Calcular (d) Calcular r/2 / sin” 8 cos? 6d9 o Ejemplos de funciones paramétricas tenemos los casos de las funciones Gamma y Beta co T(n) = f lerde, n>0 o Propiedades de T (n) : e T(n)T(1—n) == para todo n € KR, como consecuencia tenemos que P (3) =wyT e Tn) = (n—1)T (n—1) para todo n € R, entonces T (n) = (n — 1)! para todo n € N e' Sin no es un entero positivo, n =p+r, donde 0 < r < 1 y p € ÑN entonces: T (n) = (n— 1) (n—2)---(14r)T (r +1) siendo 1 <1+r<2 y existen tablas en las que se encuentra tabulado el valor de T' (n) cuando 1 Slo.9) = ALO EJERCICIOS: 1. Calcular T (9/2) y T (-7/2). 2. Calcular siendo 4 un número real positivo. 3. Calcular 4. Calcular 5. Calcular 6. Calcular 
