¡Descarga Integral definida e impropia y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
Matemáticas Empresariales II (ADE)Matemáticas Empresariales II (ADE) – – Prof. Aurelio FernándezProf. Aurelio Fernández 1
Tema 3.
Integral definida e impropia
La integral de Riemann
La integral de Riemann, o integral definida, de una función sobre un determinado intervalo es el área que yace bajo la curva en el intervalo considerado.
Por ejemplo, considere la función f(x) = 2 x, en el intervalo [0, 1]. Dado que el área es un triángulo, el área será el semiproducto de la base por la altura, por tanto el área bajo la función en dicho intervalo es 1. Utilizaremos este ejemplo para definir formalmente el área bajo una curva y cómo calcularla utilizando el proceso de integración.
Primero debemos introducir el concepto de partición en un intervalo. Sea [a , b] un intervalo cerrado, y por convención utilizaremos x 0 =a, xn=b como notación equivalente para los extremos del intervalo. Una partición para el intervalo [a, b] es un conjunto de subintervalos [x 0 , x 1 ], [x 1 ,x 2 ], [x 2 ,x 3 ],…, [xn-1,xn], de modo que a=x 0 Matemáticas Empresariales II (ADE)Matemáticas Empresariales II (ADE) – – Prof. Aurelio FernándezProf. Aurelio Fernández 3
La suma de Riemann
Designaremos a Ii=[xi-1,xi] para referirnos al i-ésimo subintervalo de la partición. Por tanto la partición está compuesta por un conjunto de subintervalos cerrados que cubren todo el intervalo [a, b] y que sólo se superponen en el extremo superior. La longitud de cada
subintervalo la designamos ∆i=xi-xi-1, i=1,2,…n.
Suponga que un conjunto de subintervalos Ii=[xi-1,xi], i= 1,2,...n es
una partición de un intervalo cerrado [a, b]. Sea ωi ∈ [xi-1,xi], i=
1,2,...n un conjunto arbitrario de puntos del conjunto de subintervalos. Entonces:
se denomina suma de Riemann para la función f(x) en el intevalo [a, b].
( 1 ) 1 1
( ) ( )
n n i i i i i i i
S f ω x x (^) − f ω = =
= (^) ∑ − = (^) ∑ ∆
La suma de Riemann
Si elegimos arbitrariamente un punto ωi en cada subintevalo, podemos
definir una serie de rectángulos con dimensiones determinadas por la
longitud de cada subintervalo ∆i, y altura igual a f( ωi). La suma de
estas áreas se llama suma de Riemann. Supongamos que tomamos las sumas S como una aproximación al área bajo la curva f(x)= 2 x en el intervalo [0, 1]. Esto no parece muy adecuado, ya que tanto la partición como los puntos particulares son escogidos en forma arbitraria. El área calculada, entonces, depende de estas elecciones. Sin embargo, si logramos realizar particiones más y más pequeñas (de modo que la longitud del subintervalo más ancho tienda a cero), se genera una serie convergente de valores de S. Para ilustrar este proceso, considere la partición definida por: xi=i/n, i=0, 1, …, n.que genera los subintervalos: [0, 1/n], [1/n , 2/n], [2/n , 3/n],…, [n-1/n , 1]. Consideremos esta partición para n=
Matemáticas Empresariales II (ADE)Matemáticas Empresariales II (ADE) – – Prof. Aurelio FernándezProf. Aurelio Fernández 7
La suma de Riemann
Smin = 0 0, 25 ( ) + 0,5 0, 25( ) + 1 0, 25( ) + 1,5 0, 25( )=0, 75
S (^) max = 0,5 0, 25 ( ) + 1 0, 25( ) + 1,5 0, 25( ) + 2 0, 25( )=1, 25
En nuestro ejemplo el valor para la suma inferior se obtiene de escoger el punto más a la izquierda del intervalo y el valor para la suma superior se obtiene de escoger el punto más a la derecha del intervalo. Esto resultados son:
Es evidente que Smin siempre subestima el área bajo la curva, mientras que Smax siempre sobreestima el área bajo la curva. Si realizamos particiones más finas descubrimos que los valores de Smin y Smax convergen ambas al mismo número S^ e intuitivamente diremos que el área bajo la curva está bien definida y que S^ es en realidad el área bajo la curva.
Decimos que una función es integrable sobre un intervalo cerrado [a, b] si para cada ε>0, existe algún valor δ>0 tal que:
1
( )
n i i i
f ω L ε
∑^ ∆ −^ <
Para cualquier partición de [a, b] tal que max ∆i < δ (es decir, que la longitud del subintervalo más grande de la partición es menor que δ)
y para cualquier selección de puntos ωi ∈ [xi-1,xi]. Llamamos a este
valor integral definida de f(x) sobre el intervalo [a ,b] y escribimos:
( )
b
a ∫ f^ x^ dx^ = L
Matemáticas Empresariales II (ADE)Matemáticas Empresariales II (ADE) – – Prof. Aurelio FernándezProf. Aurelio Fernández 9
Propiedades de la integral definida
( ) 0
a a ∫ f^ x dx^ =
- Si a, b, c ∈ℜ, tales que a Matemáticas Empresariales II (ADE)Matemáticas Empresariales II (ADE) – – Prof. Aurelio FernándezProf. Aurelio Fernández 13
Área entre dos curvas
Si f(x) y g(x) son funciones continuas, con f(x) > g(x), en un intervalo a ≤ x ≤ b, entonces el área A, comprendida entre las curvas y=f(x) e y=g(x) en dicho intervalo será:
[ ( )^ ( )]
b a
A = (^) ∫ f x −g x dx
Ejemplo 1: Encuentre el área comprendida entre las curvas y=x^3 e y=x^2. Solución: Primero debemos encontrar los puntos en los cuales las curvas se intersectan. Es decir: x^3 =x^2
( )
3 2 2
x x
x x
− = x^ ={^ 0,1} Los puntos P 1 (0,0) y P 2 (1,1) son los únicos puntos de intersección y entre ellos quedará determinado un recinto cerrado.
Área entre dos curvas. Ejemplo 1
( )
3 4 1 3 4 3 4 (^1 2 ) 0 0
1 1 0 0 1 3 4 3 4 3 4 12
x x A x x dx
= − = − = (^) − (^) − (^) − (^) =
∫
Realizamos el gráfico para identificar la región comprendida entre las curvas:
Matemáticas Empresariales II (ADE)Matemáticas Empresariales II (ADE) – – Prof. Aurelio FernándezProf. Aurelio Fernández 15
Área entre dos curvas. Ejemplo 2.
Encuentre el área comprendida entre las curvas f(x)=4x y g(x)=x^3 + 3 x^2 Solución: Primero debemos encontrar los puntos en los cuales las curvas se intersectan. Es decir: x^3 + 3 x^2 = 4 x
( ) ( ) ( )
3 2 3 2 2
x x x x x x x x x
x x x
x = (^) {0,1, − (^4) }
A 1
A 2
( )
0 4 0 3 2 3 2 (^1 ) 4
3 4 2 4
A x x x dx x x x = (^) ∫ −^ ^ + − = + − (^) − =
( ) ( ) ( )
(^4 ) (^0 0 3) 2 0 2 ( 4) ( 4) (^3) 2 ( 4) (^2 ) 4 4
(^) (^) − = (^) + − (^) − (^) + − − − (^) =
( )
1 4 1 3 2 2 3 (^2 ) 0
4 3 2 4
A = ^ x − x + x dx = x − x − x = ∫
( ) ( ) ( )
4 4 2 (1) 2 (1)^ (1)^3 2 0 2 0 0 3 3 4 4 4
^ ^ = (^) − − (^) − (^) − − (^) =
1 2
3 131 32 4 4
A = A + A = + =
En la primera región, la función g(x) está por encima de la f(x). Por tanto su área será:
En la segunda región, la función f(x) está por encima de la g(x). En este caso el área será:
El área total comprendida entre las curvas es:
Matemáticas Empresariales II (ADE)Matemáticas Empresariales II (ADE) – – Prof. Aurelio FernándezProf. Aurelio Fernández 19
Índice de Gini
El índice de Gini siempre se encuentra entre 0 y 1. Un índice de 0 indica total equidad en la distribución del ingreso, mientras que un índice de 1 indica una total inequidad (todo el ingreso corresponde al 0% de la población). Cuanto más pequeño el índice, más equitativa la distribución del ingreso, mientras que cuanto más grande, más riqueza estará concentrada en unas pocas manos.
Fracción de asalariados 1 2
area area
GI R R
Curva de Lorentz típica que se encuentra por = debajo de la línea de completa equidad
Fracción del ingreso
Línea decompleta equidad y=x
125 Namibia 74.
176 Sierra Leone 62.
115 Bolivia 60.
69 Brazil 58.
36 Argentina 52.
112 Nicaragua 43.
8 United States 40.
174 Burkina Faso 39.
3 Australia 35.
19 Spain 34.
162 Tanzania, U. Rep. of 34.
4 Ireland 34.
9 Switzerland 33.
170 Ethiopia 30.
1 Norway 25.
5 Sweden 25.
7 Japan 24.
HDI Rank Country Gini index (Human Development Index)
Fuente: Human Development Report
- UNDP
Matemáticas Empresariales II (ADE)Matemáticas Empresariales II (ADE) – – Prof. Aurelio FernándezProf. Aurelio Fernández 21
Ejercicios
Hallar el área sombreada en cada uno de estos ejercicios.
Integrales impropias
La definición de la integral definida dada anteriormente, requiere que el intervalo de integración a≤ x ≤ b sea finito. Sin embargo, en ciertas aplicaciones es útil considerar intervalos no acotados, como por
ejemplo x ≥a. Para ello definiremos la integral impropia.
Denominamos integral impropia de f(x) sobre un intervalo no acotado
x ≥a :
( ) a
f x dx
+∞ ∫
Si f(x) ≥0 para x ≥ a, esta integral puede interpretarse como el área
de la región bajo la curva hacia la derecha de a.
Matemáticas Empresariales II (ADE)Matemáticas Empresariales II (ADE) – – Prof. Aurelio FernándezProf. Aurelio Fernández 25
Integrales impropias. Ejemplos 1 y 2
¿Qué diferencia hay entre los dos ejemplos anteriores? La primera integral impropia converge, mientras que la segunda integral impropia diverge. En términos geométricos lo que indica que el área bajo la curva 1/x^2 a la derecha de 1 es finita, mientras que el área correspondiente a 1/x es infinita. La diferencia se debe al hecho que a medida que x crece sin cota, 1/x^2 se acerca más rápidamente a cero de lo que lo hace 1/x. Esto se observa en la figura anterior.
Un límite útil para integrales impropias: Para cualquier potencia p y número positivo k,
lim p^ kN 0 N
N e− →∞
=
Integrales impropias. Ejemplo 3.
2 0
x x e dx
+∞ (^) − ∫
2 2 0 0 lim x N x N x e dx x e dx
+∞ (^) − − →∞ ∫ = ∫
2 2 0 0
lim
N (^) N x x N
xe −^ e − dx
→∞
∫
2 2 0
lim
N x x N
xe −^ e−
→∞
lim 1 2 1 2 0 1 1
N N N
Ne −^ e−
→∞
Integración por partes: u= x dv = e-2x^ dx du=dx v= -1/2 e-2x
