H6.3/1
Departamento de Economía
UAH. MATEMÁTICAS EMPRESARIALES I (ADE y CYF)
Integrales impropias HOJA 6.3
1. (Sydsaeter, p. 308, 1) Dadas las integrales siguientes, calcular las que convergen y decir las
que divergen:
a)
∫
∞
13
x
dx
b)
∫
∞
1x
dx
c)
∫
∞−
0dxex
d)
∫−
a
xa
xdx
022
(a > 0)
2. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias:
a)
∫
∞−
0
dxxex
b) ∫∞+
+
0 2
1
2dx
x
x c)
∫
1
0p
x
dx
d)
∫−
3
23
2
1dx
x
3. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias:
a)
∫
−
1
0 1
1dx
x
b)
∫−
3
0 2
9dx
x
x
c) ∫1
0 ln xdx
4. Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias:
a)
∫
∞+
0 cos xdx
b)
( )
∫
∞+ −
−
0
3/2
1 dxx
c)
( )
∫
−
3
0 2
2
1dx
x
d)
∫−
5
2 2
4dx
x
x
5. Estudia, comparándolas con alguna integral del tipo
∫
∞+
1
1dx
xp
, la convergencia de:
a) ∫∞+
+
1 2
1
1dx
x
b)
∫
∞+
+
1 3
1
1dx
x
c)
∫
∞+
+
1 2
1
1dx
x
6. Aplicando que
∫
∞+ −
1
2
dxe x
es convergente, demuestra
que también lo son:
∫
∞+ −
0
2
dxe x
y
∫
∞+
∞−
−
2
dxe x
.
Soluciones:
1. a) 1/2. b) Diverge. c) 1. d) a.
2. a) –1. b) Diverge. c) Convergente sii p < 1. d) 3/2
3. a) 2. b) 3. c) –1.
4. a) Diverge. b) 3. c) Diverge. d)
21
.
5. a)
22
1
1
1
xx <
+
para x ∈ [1, +∞): converge. b) ; 2/3
3
1
1
1
x
x<
+ para x ∈ [1, +∞): converge.
c)
1
1
1
1
2
+
≥
+x
x
para x ∈ [1, +∞) diverge.
6.
∫
∞+ −
0
2
dxe x
=
∫
−
1
0
2dxe x
+
∫
∞+ −
1
2
dxe x
, la primera es acotada; la segunda es convergente.
