Integrales basicas, para poder aprende sácil, Ejercicios de Cálculo

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CALCULO II

SEMANA 1

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

SEMESTRE 2022 - II ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS Los profesores del Curso

SEMANA 1: CONTENIDO: ANTIDERIVADA Y SUS PROPIEDADES: Integrales inmediatas. Técnicas de integración: método del cambio de variable e integración por partes. LOGRO: Reconocer los diferentes métodos de integración Reconocer algunas de las diferencias aplicaciones

Ejemplos Definición 1. Sea 𝑰 ⊂ ℝ un intervalo y sea 𝒇: 𝑰 ⟶ ℝ una función. Una función continua 𝑭: 𝑰 ⟶ ℝ se llama antiderivada (o primitiva) de la función 𝑓 si:

′

salvo talvez para un número finito de puntos en 𝐼

2) 𝐹 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 es la ANTIDERIVADA de 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥

4

es la ANTIDERIVADA de 𝑓 𝑥 = 4 𝑥

3

3) 𝐹 𝑥 = lnx es la ANTIDERIVADA de 𝑓 𝑥 =

1 𝑥

pues

𝑑 𝑑𝑥

4

3

pues

𝑑 𝑑𝑥

pues

𝑑 𝑑𝑥

1 𝑥

En general, las funciones con derivadas idénticas se diferencian solo en una constante. Observación. – Una función tiene más de una primitiva. Por ejemplo, una ANTIDERIVADA de la función 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 𝟑 , como vimos en el ejemplo anterior es 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟒 , pero también los son 𝑮 𝒙 = 𝒙 𝟒

• 𝟓, 𝑯 𝒙 = 𝒙 𝟒 − 𝟕𝟔, puesto que al derivar estas funciones obtenemos: 𝒅 𝒅𝒙

𝟒

• 𝟓 = 𝟒𝒙 𝟑 ,

𝟒 − 𝟕𝟔 = 𝟒𝒙 𝟑 A continuación mostramos el siguiente resultado

Teorema 1.

Si 𝑭 es una ANTIDERIVADA de 𝒇 en un intervalo 𝐼, entonces 𝑮 es una

ANTIDERIVADA de 𝒇 si y solo si 𝑮 es de la forma 𝑮 𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪, para todo 𝒙

en 𝑰, donde 𝑪 es una constante real.

Algunos miembros de la familia de antiderivadas de 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 La antiderivada general de: 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 es la familia de funciones: 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟐

• 𝑪, donde 𝐶 es una constante arbitraria real. Al asignar valores específicos a la constante C, obtenemos una familia de funciones cuyas gráficas son traslaciones verticales de una a otra.

INTEGRAL INDEFINIDA

Observación. – El símbolo (^) ׬ fue introducido por Leibniz y se denomina símbolo de la integral. La notación (^) ׬ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 se denomina integral indefinida de 𝒇 𝒙 respecto a 𝒙. La función 𝒇 𝒙 se denomina función integrando. Definición 2. La familia de todas las antiderivadas de una función continua 𝑓 se denomina INTEGRAL INDEFINIDA y se representa mediante: න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 donde 𝑪 es una constante real y 𝑭 es una antiderivada de 𝒇 para todo 𝑥 en un intervalo 𝐼.

PROPIEDADES BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

Sean 𝒇 y 𝒈 dos funciones continuas en un intervalo 𝑰, 𝒌 ∈ ℝ una constante real. Luego se verifican las siguientes propiedades. 𝑷𝟏) න 𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + න 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝑷𝟐) න 𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + න 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 Demostración. – 𝑷𝟏) Como 𝑑 𝑑𝑥

׬ 𝑓^ 𝑥^ +^ 𝑔^ 𝑥^ 𝑑𝑥^ =^

𝑑 𝑑𝑥

׬ 𝑓^ 𝑥^ 𝑑𝑥^ +^

𝑑 𝑑𝑥 ׬ 𝑔^ 𝑥^ 𝑑𝑥^ =^ 𝑓^ 𝑥^ +^ 𝑔(𝑥)^ luego se tiene que: න 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + න 𝒈 𝒙 𝒅𝒙

𝑷𝟐) Como 𝑑 𝑑𝑥

𝑑 𝑑𝑥 ׬ 𝑓^ 𝑥^ 𝑑𝑥^ =^ 𝑓(𝑥)^ se tiene que: න 𝒌𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒌 න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝑷𝟑) න 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 − න 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 Además para 𝑛 funciones 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓𝑛 con las mismas hipótesis anteriores y que están definidas en el mismo intervalo se verifica: 𝑷𝟒) න 𝒌𝟏𝒇𝟏 𝒙 + 𝒌𝟐𝒇𝟐 𝒙 + ⋯ + 𝒌𝒏𝒇𝒏(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒌𝟏 න 𝒇𝟏 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒌𝟐 න 𝒇𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + ⋯ + 𝒌𝒏 න 𝒇𝒏 𝒙 𝒅𝒙 donde 𝑘 1 , 𝑘 2 , … , 𝑘𝑛 son constantes reales. También se verifica:

𝟏𝟑) න 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝑪 𝟏𝟒) න 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒙 + 𝑪 𝟏𝟓) න 𝒔𝒆𝒄𝒙. 𝒕𝒂𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝑪 𝟏𝟔) න 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒙. 𝒄𝒐𝒕𝒙𝒅𝒙 = −𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝑪 𝟏𝟕) න 𝒅𝒙 𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟐 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒂

• 𝑪, 𝒂 > 𝟎 𝟏𝟖) න 𝒅𝒙 𝒂 𝟐
• 𝒙 𝟐 = 𝟏 𝒂 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒂
• 𝑪, 𝒂 > 𝟎 𝟏𝟗) න 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐 = 𝟏 𝒂 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒂
• 𝑪, 𝒂 > 𝟎 𝟐𝟎) න 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐 = 𝟏 𝟐𝒂 𝒍𝒏 𝒙 − 𝒂 𝒙 + 𝒂
• 𝑪, 𝒂 > 𝟎 𝟐𝟏) න 𝒅𝒙 𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟐 = 𝟏 𝟐𝒂 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒂 𝒙 − 𝒂
• 𝑪, 𝒂 > 𝟎 𝟐𝟐)^ න^ 𝒅𝒙 𝒙 𝟐
• 𝒂 𝟐 = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙 𝟐
• 𝒂 𝟐
• 𝑪, 𝒂 > 𝟎 𝟐𝟑) න 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐 = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐
• 𝑪, 𝒂 > 𝟎

𝟐𝟒) න 𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟐

𝒂 𝟐 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒂

• 𝑪, 𝒂 > 𝟎 𝟐𝟓) න 𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝟐 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐
• 𝑪, 𝟐𝟔) න 𝒙 𝟐
• 𝒂 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐
• 𝒂 𝟐

𝒂 𝟐 𝟐 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙 𝟐

• 𝒂 𝟐
• 𝑪, Ejemplos. –

1. න 𝑑𝑥 =
2. න 𝑥 + 2 𝑑𝑥 = donde 𝐶 = 𝐶 1 + 𝐶 2

0 𝑑𝑥 =

0 + 1 0 + 1

1 + 1 1 + 1

2 2

2 2

Solución En términos de integral indefinida escribimos Ejemplo. – Un ambientalista descubre que cierto tipo de árbol crece de tal forma que después de 𝑡 años su altura ℎ(𝑡) cambia a razón de 𝑑ℎ 𝑑𝑡

2 / 3

• 𝑡 𝑐𝑚 ∕ 𝑎ñ𝑜. Si el árbol tenía 20 cm de altura cuando se plantó. ¿Cuánto medirá dentro de 27 años? ℎ 𝑡 = න 0. 2 𝑡 2 / 3
• 𝑡 𝑑𝑡 = 0. 2 න 𝑡 2 / 3 𝑑𝑡 + න 𝑡 1 / 2 𝑑𝑡 = 0. 2.

5 / 3

3 / 2

• 𝐶 Luego notamos que la función altura ℎ 𝑡 depende de la constante 𝐶 Sin embargo, sabemos que ℎ 0 = 20 , pero ℎ 0 = 20 , entonces 𝐶 = 20 Por lo tanto, ℎ 𝑡 =

1. 6 5

5 / 3

2 3

3 / 2

• 𝐶 =

1. 6 5

5 / 3

2 3

3 / 2

• 20 Finalmente, ℎ 27 =

1. 6 5

5 / 3

2 3

3 / 2

• 20 𝑐𝑚

EJERCICIOS PROPUESTOS

2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

4 ) Dieta para ratas Un grupo de biólogos estudió los efectos alimenticios en ratas a las que se alimentó con una dieta en la que 10 % era proteína. La proteína consistió en levadura y harina de maíz. El grupo encontró que, en cierto periodo, la razón de cambio aproximada del aumento promedio de peso 𝐺 (en gramos) de una rata, con respecto al porcentaje 𝑃 de levadura en la mezcla proteínica fue 𝑑𝐺 𝑑𝑃

Si 𝐺 = 38 cuando 𝑃 = 10 , encuentre 𝐺.

3

• 2 𝑥 2 − 3 𝑥

2

• 1 3 𝑥

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

El método de integración por sustitución o cambio de variable es la regla de la cadena en forma integral. Teorema 2. – Sean 𝑓 y 𝑔 funciones que satisfacen las condiciones del teorema de la cadena para la función compuesta 𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑥. Si 𝐹 es una primitiva de 𝑓 entonces න 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑔 𝑥 + 𝐶 Si 𝑢 = 𝑔(𝑥) entonces 𝑑𝑢 = 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥 y (^) ׬ 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = (^) ׬ 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 (Cambio de variable) Demostración. Sea G 𝑢 = (^) ׬ 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 y 𝑢 = 𝑔(𝑥). Entonces usando la regla de la cadena tenemos

′ 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥. 𝑔′(𝑥) Entonces: න 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐺 𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶 = 𝐹 𝑔 𝑥 + 𝐶 Ejemplo 1. – Calcule (^) ׬ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2

• 4𝑥 𝑥 + 2 𝑑𝑥 Solución Hacemos el cambio 𝑢 = 𝑥 2
• 4 𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 2𝑥 + 4 𝑑𝑥 න 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2
• 4. 𝑥 + 2 𝑑𝑥 =

2

• 4. 2 (𝑥 + 2 ) =

2

• 4𝑥 + 𝐶