Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Cálculo II, Profesor: , Carrera: Ingeniería Electrónica Industrial y Automática, Universidad: UC3M
Tipo: Apuntes
1 / 57
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Integrales sobre curvas y campos conservativosIntegrales sobre superficies Teoremas de Green, Stokes y Gauss
Cap´ıtulo 4. Integrales de l´ınea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos 4.2 Integrales de superficie 3.3 Teoremas de Green, Stokes y Gauss
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Definiciones
Una curva (o trayectoria) σ : [a, b] −→ Rn^ se dice regular si es diferenciable y σ′(t) = (x 1 ′(t),... , x n′(t)) 6 = 0 para todo t ∈ [a, b]. En este caso se define la recta tangente r a σ en el punto σ(t 0 ), con t 0 ∈ [a, b], (en forma param´etrica) como r (λ) = σ(t 0 ) + λσ′(t 0 ). Una curva σ : [a, b] −→ Rn^ se dice simple si es inyectiva en [a, b], es decir, si σ(t 0 ) 6 = σ(t 1 ) siempre que t 0 6 = t 1. Se dice que σ es cerrada si σ(a) = σ(b). Se dice que σ es cerrada simple si es cerrada y es inyectiva en [a, b).
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Definiciones
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Reparametrizaciones
Sea σ : [a, b] −→ Rn^ una curva simple. Decimos que ρ : [α, β] −→ Rn^ es una reparametrizaci´on de σ (o que σ y ρ son parametrizaciones de la misma curva) si existe una funci´on continua e inyectiva h : [α, β] −→ [a, b] tal que ρ = σ ◦ h. Decimos tambi´en que σ y ρ tienen la misma orientaci´on si h es creciente y tienen distinta orientaci´on si h es decreciente. Si σ y ρ son parametrizaciones de la misma curva simple y no cerrada, σ y ρ tienen la misma orientaci´on si y s´olo si comienzan en el mismo punto, es decir, si σ(a) = ρ(α) (y por tanto, σ(b) = ρ(β)).
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Definiciones
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Definiciones
Una funci´on f : [a, b] −→ Rn^ es continua a trozos si existen t 0 = a < t 1 < · · · < tM− 1 < tM = b, tales que f es continua en cada (ti , ti+1) y existen los l´ımites laterales de f (t) en cada ti , aunque no tienen por qu´e coincidir. (En t 0 s´olo se pide que exista el l´ımite por la derecha y en tM que exista el l´ımite por la izquierda). Una curva σ : [a, b] −→ Rn^ es de clase C 1 a trozos si σ′^ es continua a trozos en [a, b]. Sea Ω un abierto de Rn. Decimos que una funci´on definida en Ω es una funci´on escalar si toma valores reales, y que es un campo vectorial si toma valores en Rn. Obs´ervese que el dominio y la imagen de un campo vectorial tienen la misma dimensi´on.
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Definiciones
Una funci´on f : [a, b] −→ Rn^ es continua a trozos si existen t 0 = a < t 1 < · · · < tM− 1 < tM = b, tales que f es continua en cada (ti , ti+1) y existen los l´ımites laterales de f (t) en cada ti , aunque no tienen por qu´e coincidir. (En t 0 s´olo se pide que exista el l´ımite por la derecha y en tM que exista el l´ımite por la izquierda). Una curva σ : [a, b] −→ Rn^ es de clase C 1 a trozos si σ′^ es continua a trozos en [a, b]. Sea Ω un abierto de Rn. Decimos que una funci´on definida en Ω es una funci´on escalar si toma valores reales, y que es un campo vectorial si toma valores en Rn. Obs´ervese que el dominio y la imagen de un campo vectorial tienen la misma dimensi´on.
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Definiciones
Definici´on (Integral de una funci´on escalar sobre una curva) Si σ : [a, b] −→ Rn^ es C 1 a trozos y f : σ([a, b]) −→ R es continua a trozos, se define la integral de f a lo largo de σ, tambi´en llamada integral de trayectoria, como ∫
σ
f =
∫ (^) b
a
f (σ(t))‖σ′(t)‖ dt
∫ (^) b
a
f (x 1 (t),... , xn(t))
(x 1 ′(t))^2 + · · · + (x n′(t))^2 dt.
La integral curvil´ınea de la funci´on escalar f tambi´en suele denotarse por
σ f ds^ ´o^
σ f^ (x^1 ,... ,^ xn)^ ds.
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Definiciones
En particular, se define la longitud de σ como la integral de la funci´on 1 a lo largo de σ, es decir,
`(σ) =
σ
∫ (^) b
a
‖σ′(t)‖ dt.
El valor promedio de f a lo largo de σ como
1 `(σ)
σ
f =
`(σ)
∫ (^) b
a
f (σ(t))‖σ′(t)‖ dt.
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Definiciones
Definici´on (Integral de un campo vectorial sobre una curva) Si σ : [a, b] −→ Rn^ es C 1 a trozos y ~F : σ([a, b]) −→ Rn^ es continua a trozos, se define la integral de ~F a lo largo de σ, tambi´en llamada integral de l´ınea, como ∫
σ
∫ (^) b
a
~F (σ(t)) · σ′(t) dt =
∫ (^) b
a
~F (x 1 (t),... , xn(t)) · σ′(t) dt
donde · denota el producto escalar usual. La integral curvil´ınea del campo vectorial ~F tambi´en suele denotarse por
σ ~F · ds ´o ∫ σ ~F (x 1 ,... , xn) · ds o tambi´en ∫ σ F^1 dx^1 +^ · · ·^ +^ Fn^ dxn, si F^ ~ = (F 1 ,... , Fn).
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Reparametrizaciones
Teorema La integral de un campo escalar a lo largo de una curva simple es independiente de la parametrizaci´on, es decir, si σ, ρ son parametrizaciones C 1 a trozos de la misma curva simple en Rn^ y f : Rn^ −→ R es continua, entonces ∫
σ
f =
ρ
f.
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Reparametrizaciones
Teorema Sean σ, ρ parametrizaciones C 1 a trozos de la misma curva simple en Rn^ y ~F : Rn^ −→ Rn^ un campo vectorial continuo. Entonces: Si σ y ρ tienen la misma orientaci´on ∫
σ
~F · ds =
ρ
F^ ~ · ds.
Si σ y ρ tienen distinta orientaci´on ∫
σ
~F · ds = −
ρ
F^ ~ · ds.
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Campos gradiente
Teorema Sean σ : [a, b] −→ Rn^ una curva C 1 a trozos y f : Rn^ −→ R un campo escalar de clase C 1 en un entorno de σ([a, b]). Entonces ∫
σ
∇f · ds = f (σ(b)) − f (σ(a)).
Corolario Sean σ : [a, b] −→ Rn^ una curva cerrada C 1 a trozos y f : Rn^ −→ R un campo escalar de clase C 1 en un entorno de σ([a, b]). Entonces (^) ∫
σ
∇f = 0.
Teoremas de Green, Stokes y Gauss Campos conservativos
Campos gradiente
Teorema Sean σ : [a, b] −→ Rn^ una curva C 1 a trozos y f : Rn^ −→ R un campo escalar de clase C 1 en un entorno de σ([a, b]). Entonces ∫
σ
∇f · ds = f (σ(b)) − f (σ(a)).
Corolario Sean σ : [a, b] −→ Rn^ una curva cerrada C 1 a trozos y f : Rn^ −→ R un campo escalar de clase C 1 en un entorno de σ([a, b]). Entonces (^) ∫
σ
∇f = 0.
