tema diferencial, Apuntes de Cálculo

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Estudio local

CALCULO II´

Grado en Ingenier´ıa El´ectrica

Cap´ıtulo 2. Estudio local 2.1 Extremos 2.2 Extremos condicionados

Estudio local

M´aximos y m´ınimos

Sean f : Rn^ −→ R y x 0 ∈ Rn. Decimos que x 0 es un m´aximo local de f si existe un entorno V de x 0 tal que f (x) ≤ f (x 0 ) para todo x ∈ V. Es un m´aximo local estricto de f si existe un entorno V de x 0 tal que f (x) < f (x 0 ) para todo x ∈ V \ {x 0 }. Definici´on an´aloga para m´ınimo local y m´ınimo local estricto. Un extremo local es un m´aximo o m´ınimo local. Un punto en el que se anula el gradiente se denomina punto cr´ıtico.

Estudio local

M´aximos y m´ınimos

Sean f : Rn^ −→ R y x 0 ∈ Rn. Decimos que x 0 es un m´aximo local de f si existe un entorno V de x 0 tal que f (x) ≤ f (x 0 ) para todo x ∈ V. Es un m´aximo local estricto de f si existe un entorno V de x 0 tal que f (x) < f (x 0 ) para todo x ∈ V \ {x 0 }. Definici´on an´aloga para m´ınimo local y m´ınimo local estricto. Un extremo local es un m´aximo o m´ınimo local. Un punto en el que se anula el gradiente se denomina punto cr´ıtico.

Estudio local

M´aximos y m´ınimos

Sean f : Rn^ −→ R y x 0 ∈ Rn. Decimos que x 0 es un m´aximo local de f si existe un entorno V de x 0 tal que f (x) ≤ f (x 0 ) para todo x ∈ V. Es un m´aximo local estricto de f si existe un entorno V de x 0 tal que f (x) < f (x 0 ) para todo x ∈ V \ {x 0 }. Definici´on an´aloga para m´ınimo local y m´ınimo local estricto. Un extremo local es un m´aximo o m´ınimo local. Un punto en el que se anula el gradiente se denomina punto cr´ıtico.

Estudio local

Puntos cr´ıticos

Teorema Si f es diferenciable en x 0 y f presenta en x 0 un extremo local, entonces x 0 es un punto cr´ıtico de f , es decir, ∇f (x 0 ) = 0.

Un punto cr´ıtico que no es un extremo local se denomina punto de silla.

Estudio local

Puntos cr´ıticos en R^2

Sea f : R^2 −→ R y sea x 0 un punto cr´ıtico de f , es decir, ∇f (x 0 ) = 0. Consideremos la cantidad, llamada discriminante

D = det Hf (x 0 ) = ∂^2 f ∂x^2

∂^2 f ∂y 2

( (^) ∂ (^2) f ∂x∂y

x 0

Teorema

Si D > 0 y ∂^2 f ∂x^2

0, entonces x 0 es un m´ınimo local (estricto) de f.

Si D > 0 y ∂^2 f ∂x^2

< 0, entonces x 0 es un m´aximo local (estricto) de f. Si D < 0 entonces x 0 es un punto de silla de f. Si D = 0 no podemos concluir nada.

Estudio local

Puntos cr´ıticos en R^2

Sea f : R^2 −→ R y sea x 0 un punto cr´ıtico de f , es decir, ∇f (x 0 ) = 0. Consideremos la cantidad, llamada discriminante

D = det Hf (x 0 ) = ∂^2 f ∂x^2

∂^2 f ∂y 2

( (^) ∂ (^2) f ∂x∂y

x 0

Teorema

Si D > 0 y ∂^2 f ∂x^2

0, entonces x 0 es un m´ınimo local (estricto) de f.

Si D > 0 y ∂^2 f ∂x^2

< 0, entonces x 0 es un m´aximo local (estricto) de f. Si D < 0 entonces x 0 es un punto de silla de f. Si D = 0 no podemos concluir nada.

Estudio local

Puntos cr´ıticos en R^2

Sea f : R^2 −→ R y sea x 0 un punto cr´ıtico de f , es decir, ∇f (x 0 ) = 0. Consideremos la cantidad, llamada discriminante

D = det Hf (x 0 ) = ∂^2 f ∂x^2

∂^2 f ∂y 2

( (^) ∂ (^2) f ∂x∂y

x 0

Teorema

Si D > 0 y ∂^2 f ∂x^2

0, entonces x 0 es un m´ınimo local (estricto) de f.

Si D > 0 y ∂^2 f ∂x^2

< 0, entonces x 0 es un m´aximo local (estricto) de f. Si D < 0 entonces x 0 es un punto de silla de f. Si D = 0 no podemos concluir nada.

Estudio local

Puntos cr´ıticos en Rn

Sea f : Rn^ −→ R y sea x 0 un punto cr´ıtico de f. Teorema Si todos los autovalores de la matriz Hf (x 0 ) son estrictamente positivos, entonces x 0 es un punto m´ınimo local estricto de f. Si todos los autovalores son estrictamente negativos, entonces x 0 es un punto m´aximo local estricto de f. Si dos autovalores tienen distinto signo, entonces x 0 es un punto de silla de f.

Estudio local

Puntos cr´ıticos en Rn

Sea f : Rn^ −→ R y sea x 0 un punto cr´ıtico de f. Teorema Si todos los autovalores de la matriz Hf (x 0 ) son estrictamente positivos, entonces x 0 es un punto m´ınimo local estricto de f. Si todos los autovalores son estrictamente negativos, entonces x 0 es un punto m´aximo local estricto de f. Si dos autovalores tienen distinto signo, entonces x 0 es un punto de silla de f.

Estudio local

Puntos cr´ıticos en Rn

Sea f : Rn^ −→ R y sea x 0 un punto cr´ıtico de f. Teorema Si todos los autovalores de la matriz Hf (x 0 ) son estrictamente positivos, entonces x 0 es un punto m´ınimo local estricto de f. Si todos los autovalores son estrictamente negativos, entonces x 0 es un punto m´aximo local estricto de f. Si dos autovalores tienen distinto signo, entonces x 0 es un punto de silla de f.

Extremos condicionados

Queremos estudiar el problema de maximizar o minimizar una funci´on f : Rn^ −→ R sujeto a una restricci´on g (x 0 ) = c. Por ejemplo { calcular el m´aximo de x^2 + y 2 sujeto a la restricci´on xy = 1

Consideramos entonces las funciones f (x, y ) = x^2 + y 2 , g (x, y ) = xy.

Extremos condicionados

Queremos estudiar el problema de maximizar o minimizar una funci´on f : Rn^ −→ R sujeto a una restricci´on g (x 0 ) = c. Por ejemplo { calcular el m´aximo de x^2 + y 2 sujeto a la restricci´on xy = 1

Consideramos entonces las funciones f (x, y ) = x^2 + y 2 , g (x, y ) = xy.

Extremos condicionados