Tema 5.- Integrales curvilíneas y de superficie
Domingo Martínez
Dept. de Física Aplicada y Electromagnetismo
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Integrales de Línea, Superficie y Teoremas de Green y Stokes, Diapositivas de Cálculo
Integrales de linea, integrales de superfice, teoremas de Green, Stokes y Gauss
Tipo: Diapositivas
2019/2020
1 / 49
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Tema 5.- Integrales curvilíneas y de superficie
Domingo Martínez Dept. de Física Aplicada y Electromagnetismo
Índice
5.1 Integrales de línea.5.2 Integrales de superficie.5.3 Teorema de Green en el plano.5.4 Teorema de Stokes5.5 Teorema de Gauss-Ostrogradski.
Curva
C
a lo largo de una trayectoria
Definición 1.
Una
trayectoria
en
R
n^
es una aplicación
:[
a
,^
b
]^
R
R
n.
La colección
C
de puntos
cuando
t^
recorre [
a
,^
b
] se llama
curva
y
y
son sus extremos.
( t r
r
( a r
( b r
t^
parámetro
^ ( ) r t
( ) r a
^ ( ) r b
En
R
(^3)
r
: R
R
t^
r t
x t
y t
z t
r
a
b
t
curva
C
imagen de
( t r
parametriza la curva
C
( t r Una misma curva
C
admite
diferentes
parametrizaciones
Ejemplo Las trayectorias de
R
R
2
(en el plano):
parametrizan la misma curva
C
(en sentido opuesto)
2
(cos ,sin ) ;
[0,
/ 2]
[0,1]
r t
t^
t^
t
p t
t^
t^
t
Recordemos:
5.1- Integrales de línea
( ) r t
( ) r a
( ) r b
En
R
(^3)
Curva
C
a lo largo de una trayectoria
Definición 5.1.
Una trayectoria
en
R
n^
es de
clase C
1
si es continua
y
existe y es continua
t
[
a
,^
b
]. Es de
clase C
1
a trozos
si [
a
,^
b
] se
puede dividir en subintervalos, en cada uno de los cuales
es de clase
C
( t r
r^
t
( t r
Definición 5.1.
Si
C
es una curva parametrizada por
, es una
curva suave
si
es de clase
C
1
y
t
[
a
,^
b
]. Una curva formada por curvas
suaves unidas de manera continua se llama
curva suave a trozos
r^
t ^
( t r
( t r
r´
t )
velocidad
C
es suave si
x
( t
y
( t
) y
z
( t
) tienen
primeras derivadas continuas queno se anulan simultáneamente.
curva suave a trozos
r
t^
x t i
y t
j^
z t k
^
^
^
5.1- Integrales de línea
5.1- Integrales de línea^ (*) La definición se extiende fácilmente a trayectorias y funciones en
R
n
Integral de línea de una función escalar
(*) La definición se extiende fácilmente a trayectorias y funciones en
R
n
( )
ds
r^
t^
dt
elemento de arco
Si
)^
f^
x y
C
f^
x y ds
Área de la valla de altura^ f
x
,^
y ) y perfil dado por
C
s k
En el plano:
Definición 5.1.
Sea
C
una curva suave, parametrizada por
:[
a
,^
b
]^
R
R
3
y
f
x
,^
y
,^
z ) una función escalar en
R
3
continua, tal que la función compuesta
f^
(^
) es continua en [
a
,^
b
]. La
integral de f a lo largo de C
r es:
( t r
,^
)^
b
C^
a
f^
x y z ds
f r t
r
t^
dt
5.1- Integrales de línea
Integral de línea de una función escalar
ds
r^
t^
dt
elemento de arco
Ejemplo 1 Calcula la integral de
f
x
,^
y
xy
2
a lo largo
de
un
cuarto
de
circunferencia
de
radio
unidad, en el primer cuadrante. Ejemplo 2 Calcula la integral de
f
x
,^
y, z
x-3y
2
z
a lo
largo del segmento de recta
C
que une el
origen con el punto (1,1,1).
( )
(^
)^
,^
[0,1]
r t
a^
b^
a t
t
^
^
Segmento de recta que une A (
𝑎⃗ሻ
y B (
𝑏ሻ
:
(0, 0, 0)
Definición 5.1.
Sea
C
una curva suave, parametrizada por
:[
a
,^
b
]^
R
R
3
y
f
x
,^
y
,^
z ) una función escalar en
R
3
continua, tal que la función compuesta
f^
(^
) es continua en [
a
,^
b
]. La
integral de f a lo largo de C
r es:
( t r
,^
)^
b
C^
a
f^
x y z ds
f r t
r
t^
dt
C 1
C 2
5.1- Integrales de línea Masa, centro de masas y momentos de inercia de figuras filiformes
CM
C
CM
C
CM
C
x
x
ds
M
y
y
ds
M
z^
z^
ds
M
^
C
M
dm
dm
ds
x
,^
y, z
)^
densidad lineal de masa
Masa:Centro de masas
Momentos de inercia
2
2
2
2
2
2
(^
(^
(^
x^
C
y^
C
z^
C
I^
y
z^
ds
I^
x
z^
ds
I^
x
y
ds
Ejemplo 1
Calcula el momento de inercia de
un
anillo
uniforme
(radio
R
y
masa
M
)
respecto de un eje que pasa por un diámetro.
Ejemplo 2
Calcula el centro de masas
del alambre filiforme y uniforme enforma de la hélice de la figura.
k t j t i t t
r^
^
sin
cos ) (
[0, 2
]
t
( ) r t
( ) r a
( ) r b
r´
( t
C
5.1- Integrales de línea^ Integral de línea de un campo vectorial
Definición 5.1.
Sea
un campo vectorial en
R
3
(R
2 ), con componentes
continuas definidas a lo largo de una curva suave
C
, parametrizada por la
trayectoria
:^
t^
[ a
,^
b
]^
R
R
3
(R
2 ). La
integral de línea de
a lo largo de
C
es:
r
F
F( ( ))
b
C^
a
dr
r t
r^
t dt
^
F
F
k
j
i
F
(^
z y x P z y x N z y x M z y x
O en función de las componentes:
T
vector unitario tangente a la trayectoria
Integral de línea de la componentedel campo tangente a la trayectoria
F
F T
C^
C
dr
ds
^
F
C
C
dr
Mdx
Ndy
Pdz
^
Integral de línea de la formadiferencial del campo
T( )
r^
t
t^
r^
t
^
Si
C
cerrada
:^
F
F
C
C
dr
dr
^
Circulación de
F
a lo largo de
C
Nota: si
C
suave a trozos
:^
𝐹⃗ · 𝑑𝑟⃗ൌ
𝐹⃗ · 𝑑𝑟⃗
𝐹⃗ · 𝑑𝑟⃗ మ
⋯
భ
5.1- Integrales de línea
F
F T
F( ( ))
( )
b
C^
C^
a
C
dr
ds
r t
r^
t dt
Mdx
Ndy
Pdz
^
^
^
^
^
^
^
Ejemplos Ejemplo 1
Calcula el trabajo realizado por el
campo de fuerzasdesde (0,0,0) hasta (1,1,1) a lo largo de latrayectoria
2
F( ,
,^
)^
(
3 )
3
x y z
x^
x i
zj
k
^
^
2
3
( )
,^
[0,1]
r t
ti
t^
j^
t k
t
^
A
B
t=a
t=b
F
T
F
T
A) Trabajo realizado por un campo de fuerzas
Ejemplo
2
Calcula
la
circulación
del
campo vectorial (en polares):a lo largo de la trayectoria cerrada de lafigura.
F(
,^
)^
sin
3cos
u
u
^
^
B) Circulación de un campo vectorial
y
x
^
= 3
(0,3)
(3,0)
O
C
1
C
2
C
3
5.1- Integrales de línea
La integral de línea de un campo vectorial a lolargo de una curva simple
C
no depende de la
parametrización, solo de la orientación (signo).
Definición 5.1.
Una
curva simple
C
es una curva parametrizada por una
trayectoria
: [
a
,^
b
]^
R
R
3
(R
2 ) de clase
C
1
a trozos e
inyectiva
en [
a
,^
b
],
es
decir
la
curva
no
se
corta
a
sí
misma
.^
Si
los
extremos
coinciden
) y es inyectiva en (
a
,^
b
), es una
curva cerrada simple
r
Dos posibles orientaciones:
T
F F T
F
F T
C
C
dr
ds
^
F
F
C
C
dr
dr
^
curva simple orientada
(abierta o cerrada)
solo depende de
C
y el sentido en que se recorre
(para un campo escalar solo depende de
C
5.1- Integrales de línea
Campos conservativosTeorema 5.1.
Sea
un campo vectorial
C
1
en
R
3 , excepto tal vez en un
número finito de puntos. Las siguientes condiciones son equivalentes:i) Para cualquier curva orientada cerrada y simple
ii) Para dos curvas orientadas simples cualesquiera
C
1
y
C
2
con los mismos
extremos
(independencia del camino).
iii)
es un campo gradiente,
iv)
Un campo vectorial que satisface una de (y por tanto, todas) las condiciones
anteriores se denomina
campo conservativo
F
C
dr
1
2
F
F
C^
C
dr
dr
^
F
F
F=
f
^
F
Corolario (Teorema 5.1.2)
Si
es un campo vectorial
C
1
en
R
2 , es conservativo si y solo si se cumple:
F( ,
)^
( ,
)i
( ,
) j
x y
M x y
N x y
^
M
N
y^
x
¡Ojo!. En
R
2
también se cumple el teorema, pero si no hay puntos excepcionales.
¡Ojo!. El corolario puede ser falso si
F
no es
C
1
incluso en un único punto.
5.1- Integrales de línea
Ejemplo 2 Dado el campo vectorial en
R
3 , expresado en coordenadas cilíndricas como:
Analiza si es conservativo y, en su caso, encuentra una función potencial.
cos
F(
,^
,^
)^
sin
con
z
z
z^
u
u
^
^
Ejemplo 1 Dado el campo vectorial en
R
a) Analiza si es conservativo y, en su caso, encuentra una función potencial.b) Calcula
, siendo C:
2
2
F( ,
)^
)^
(^
x y
xy i
x
y
j
^
^
(^
sin ,
cos );
[0,
]
t^
t
r t
e
t e
t^
t
F
C
dr
^
Campos conservativos
5.2- Integrales de superficie
5.2- Integrales de superficie^ IntroducciónCurvas en el plano:
Forma
explícita
:^
y
f
x
Forma
implícita
:^
F
x
,^
y
Forma
paramétrica
:^
[ ,
]
r t
x t i
y t
j^
t^
a b
Superficies en el espacio:
Forma
explícita
:^
z^
f
x, y
Forma
implícita
:^
F
x
,^
y, z
Forma
paramétrica
Hay muchas superficies que no sepueden expresar como una gráficade una función
f
x
,^
y