Curso 2016–17 Cálculo Grupos B y G
Tema 6
83. Evaluar la integral de línea del problema 68 aplicando el teorema de Green.
84. Comprobar que se cumple el teorema de Green para el campo vectorial F(x, y ) =(x +y3)i+(x −x3)jy la
curva γdada por
γ(t) =
(t, −1−t) −1à t à 0,
(sin t, −cos t) , 0à t à 3π/2.
85. Comprobar el teorema de Stokes para el campo vectorial F=(x2+y−4)i+3xy j+(2x z +z2)ken la parte
de la superficie z=4−x2−y2con z á 0.
86. Resolver el problema 81 aplicando el teorema de Stokes.
87. Calcular el flujo del rotacional del campo vectorial F(x, y , z) =(z, x , y) a través de la región Sde la esfera
x2+y2+z2=1 comprendida entre los planos z=0 y z=1/2. ¿Qué relación hay entre este flujo y las integrales
del campo Fa lo largo de las dos circunferencias que limitan S?
88. Sea γla curva cerrada formada por los segmentos que unen los puntos (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)y(0,0,1)(en
ese orden). Calcular RγF·dr, donde F=z3i−3(x +y)k, expresándola en téerminos de una integral de superficie.
89. Si Ses una superficie cerrada orientable y F:R3→R3es un campo vectorial de clase C1en S, probar
que RS∇ × F·dS=0.
90. Sea Suna superfice regular y orientable, y sean f , g :R3→Rfunciones de clase C2. Expresar el flujo del
campo vectorial ∇f× ∇ga través de la superficie Scomo una integral de línea a lo largo de la frontera ∂S de S.
91. Sea f:R3→R3una función armónica, y sea Ω⊂R3un abierto conexo medible Jordan cuya frontera ∂Ω
es una superficie cerrada orientable. Si ∇fes tangente a ∂Ωen todo punto, probar que fes constante en Ω.
[Ayuda: aplicar el teorema de Gauss a f∇f.]
92. Calcular el flujo del campo vectorial F=x2i+y2j+z2ka través de la frontera del cubo unidad [0,1]3
orientada con la normal exterior, directamente y utilizando el teorema de Gauss.
93. Evaluar la integral RSF·dS, donde F=xz i+y z j+kySes el casquete esférico x2+y2+z2=25, z á 3
orientado con la normal exterior, utilizando el teorema de Gauss.
94. Evaluar las integrales de superficie de los problemas 79 y 80 aplicando el teorema de Gauss.
95. Comprobar el teorema de Gauss para el campo vectorial F(x, y , z) =4xi−2y2j+z2ken la región del cilindro
x2+y2à4 con 0 à z à 3.
96. Hallar el flujo del campo vectorial F(x, y , z) =3x y 2i+3x2yj+z3khacia el exterior de la esfera unidad.
97. Calcular el flujo del campo vectorial F(x, y , z) =(x y2, x 2y, (x 2+y2)z) a través de la región del cono z=
qx2+y2con z à 2, directamente y utilizando el teorema de Gauss.
98. Hallar el flujo del campo vectorial F(r)=xy z r/r4que atraviesa hacia el exterior la región de la esfera
x2+y2+z2=a2situada en el primer octante.
