Teorema de Green
Sea C una curva simple cerrada y suave (o al menos por pedazos) que límita la región R del
plano 1
( , ) ( ( , ), ( , )); sobre la región
F x y p x y q x y F C= ∈ R entonces podemos afirmar que.
[ ]
( , ) ( , )
( , ) ( , )
C C R
q x y p x y
F dL p x y dx q x y dy dA
x y
∂ ∂
= − = −
∂ ∂
∫ ∫ ∫∫
i
Ejemplo.
2 2
Sea ( , ) (3 ,2 ) y R la región limitada por
las curvas: ; 2
verifique el teorema de Green
F x y xy x y x y x x
= = = −
Corolario del Teorema de Green:
El área de la región R limitada por la curva C cerrada simple y suave o al menos por
pedazos está dada por: 1
2
A ydx xdy
= − +
∫
Teorema de la Divergencia de Gauss
1
Sea S una superficie cerrada suave o al
menos por pedazos que encierra la región
T del espacio
Sea ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) sobre T
Sea el vector normal unitario exterior a S entonce
F x y z P x y z Q x y z R x y z F C
n
= ∈
s:
( , , )
S S T
F dS F nds F x y z dV= = ∇
∫∫ ∫∫ ∫∫∫
i i i
Ejemplo
Verifique el teorema de la divergencia d
e Gauss para ( , , ) ( , , )
donde es la superficie limitada en el primer octal por 1
F x y z x y y z x z
S x y z
= + + +
+ + =
Teorema de Stokes
3 3 1
1 2 3
Sea una superficie orientada, acotada y suave o al menos por pedazos en el esp
acio, con frontera
positivamente orientada : ; ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ));
en una región del
S C
F F x y z f x y z f x y z f x y z F C→ = ∈
espacio que contenga a S entonces:
C S
F dL F dS= ∇×
∫ ∫∫
i i
Ejemplo
{ }
2
3 2 2
comprobar el teorema de para ( , , ) (2 , , )
siendo S la superficie definida por: ( , ,
) ; 4 - 0
es la curva en el plano
Ejemplo
Stokes F x y z z x y
x y z z x y z
C xy
=
∈ = − ∧ ≥
