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Integral definida
La integral definida tiene que ver con el estudio del área que determina una función con los ejes o dos funciones entre sí.
Si quiero estudiar el área de una región que viene dada por un polígono, puedo partir este en trozos cuya área sepa hallar. Con un recinto como el de la figura lo que haremos será algo parecido: lo partiremos en rectángulos suficientemente pequeños, que llenen el recinto.
Para eso, definimos algunos conceptos:
Def: Se llama PARTICIÓN del intervalo 𝑎, 𝑏 a una sucesión P de puntos del intervalo de modo que: 𝑃 = 𝑥 0 , 𝑥 1 , … , 𝑥𝑛 tal que 𝑥 0 = 𝑎 , 𝑥𝑛 = 𝑏 y 𝑥 0 < 𝑥 1 < ⋯ < 𝑥𝑛
Ejemplo: Considero el intervalo 1,3 ; una partición posible sería: 1 , 1′^ 5 , 2 , 2′^ 5 , 3 ; otra partición podría ser: 1 , 1′^ 1 , 1′^ 5 , 2 , 3 (los trozos no tienen por qué medir lo mismo)
Consideramos ahora una función continua f en 𝑎, 𝑏 y 𝑃 = 𝑥 0 , 𝑥 1 , … , 𝑥𝑛 una partición de 𝑎, 𝑏
Como f es continua en 𝑎, 𝑏 , lo es en cada uno de los intervalos 𝑥𝑖− 1 , 𝑥𝑖 ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑛
Por el Teorema de Weierstrass :
f es continua en 𝑥𝑖− 1 , 𝑥𝑖 f alcanza máximo Mi y mínimo mi en cada intervalo:
Def: Se llama SUMA SUPERIOR DE RIEMANN de f asociada a P;
𝑛
𝑖=
(si f≥ 0 , suma de las áreas de los rectángulos de altura Mi)
Def: Se llama SUMA INFERIOR DE RIEMANN de f asociada a P;
𝑛
𝑖=
(si f≥ 0 , suma de las áreas de los rectángulos de altura mi)
(VER GRÁFICAS PÁGINA 294 libro)
Para 𝑓 ≥ 0 : 𝑠 𝑓, 𝑃 ≤ 𝐴 ≤ 𝑆 𝑓, 𝑃
Propiedades
𝑠 𝑓, 𝑃 ≤ 𝑆 𝑓, 𝑃
Si considero el conjunto de particiones P 1 , P 2 , …, Pn de modo que 𝑛 → ∞ (es decir, cojo cada vez más intervalos):
𝑠 𝑓, 𝑃 1 ≤ 𝑠 𝑓, 𝑃 2 (si cojo más intervalos, el área es mayor)
𝑠 𝑓, 𝑃𝑛 forma una sucesión creciente acotada superiormente , por lo cual, tiene límite:
𝑛→∞^ lim 𝑠 𝑓,^ 𝑃𝑛^ =^ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
A este límite se le llama INTEGRAL INFERIOR DE RIEMMAN
- De la misma manera, 𝑆 𝑓, 𝑃𝑛 forma una sucesión decreciente acotada inferiormente, por lo cual, tiene límite:
𝑛→∞^ lim 𝑆 𝑓,^ 𝑃𝑛^ =^ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
A este límite se le llama INTEGRAL SUPERIOR DE RIEMMAN
4) 𝑛→∞lim 𝑠 𝑓, 𝑃𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑓, 𝑃𝑛
FUNCIÓN INTEGRAL
Veamos la relación entre una función y sus primitivas, para poder hallar las integrales definidas:
Def: Sea 𝑓 ∶ 𝑎, 𝑏 → 𝐼𝑅 continua, se define FUNCIÓN INTEGRAL de f como
𝑥
𝑎
Ejemplos:
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
Sea 𝑓 ∶ 𝑎, 𝑏 → 𝐼𝑅 continua y 𝐹 𝑥 = 𝑎^ 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡. Entonces:
a) 𝐹 𝑥 es derivable en 𝑎, 𝑏 y 𝐹′^ 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)
(es decir, F es una primitiva de f)
b) 𝐹 𝑥 es continua ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
REGLA DE BARROW
Sea 𝑓 ∶ 𝑎, 𝑏 → 𝐼𝑅 continua y sea G(x) una primitiva de f. Entonces:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑏 − 𝐺 𝑎 = 𝐺(𝑥) 𝑎^ 𝑏
𝑏
𝑎
Aplicación de la integral definida en el cálculo de áreas
(1) Si 𝑓 ≥ 0 en 𝑎, 𝑏 :
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
(Área de la región del plano limitada por 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 𝑒 𝑦 = 0 )
(2) Si 𝑓 ≤ 0 en 𝑎, 𝑏 :
Á𝑟𝑒𝑎 = −𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
(3) Si hay partes en el dominio donde la función es positiva, y partes donde es negativa:
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑥 1
𝑎
𝑏
𝑥 2
𝑥 2
𝑥 1
(4) El área entre dos funciones:
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
(Área de la región del plano limitada por y=f(x) e y=g(x), la función que está encima menos la de debajo)
