Materátesis I - Semana 9: Cálculo Integral: Métodos de Integración Indefinida, Esquemas y mapas conceptuales de Física

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MATEMÁTICAS I - SEMANA 9

Docentes:

Xyoby Chávez Pacheco

Sergio Quispe Rodríguez

Cristina Navarro Flores

Naudy López Rodríguez

Patricia Reynoso Quispe

Cordelia Khouri de Arciniegas

Logro R

4

Definir y calcular integrales indefinidas mediante

diversos métodos (sustitución, partes, sustitución

trigonométrica, fracciones parciales)

Antiderivada

Definición: Una función 𝐹 recibe el nombre de antiderivada de 𝑓

en un intervalo 𝐼 si:

Teorema:

Una función 𝐹 es una antiderivada de 𝑓 en un intervalo 𝐼,

entonces la antiderivada mas general de 𝑓 en 𝐼 es :

𝐹 𝑥 + 𝐶 , donde 𝐶 es una constante arbitraria

Es decir:

′

Antiderivada (^) Antiderivada

Integración por partes

Denotando 𝑢 = 𝑓 𝑥 𝑦 𝑣 = 𝑔(𝑥) entonces los diferenciales son

′

(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑔

′

𝑥 𝑑𝑥 por la regla de sustitución:

Ejemplo: Determinar

Veamos:

𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 (^) ⇒ 𝑢 = − cos 𝑥

Ejercicio 01:

Solución

2

5

Integrar:

Se hace un cambio de variable: 𝑢 = 4 𝑥

2

− 3 por lo que^ 𝑑𝑢^ =^ 8𝑥𝑑𝑥

Sustituyendo en la integral dada se tiene:

න 8x 4 𝑥

2

− 3

5

dx = න 4 𝑥

2

− 3

5

8𝑥𝑑𝑥

5

𝑑𝑥

6

• 𝐶

2

− 3 )

6

+𝐶

Ejercicio 03:

Solución:

Determinar:

2

ln(𝑥)𝑑𝑥

Elija las funciones 𝑢 y 𝑣 de modo que (^) ׬ 𝑣𝑑𝑢 sea más fácil de evaluar que (^) ׬ 𝑢𝑑𝑣. Así:

𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥

2

𝑑𝑥

3

2

ln(𝑥)𝑑𝑥 = න(𝑙𝑛(𝑥))

𝒖

2

𝑑𝑥

𝒅𝒗

𝒖

ฑ 1

3

𝒗

3

𝒗

𝒅𝒖

3

ln 𝑥 −

2

𝑑𝑥 =

3

ln 𝑥 −

3

• 𝐶

3

ln 𝑥 −

3

• 𝐶

Ejercicio 04:

Solución

Integrar:

2𝑥

𝑑𝑥 = න ฎ𝑥

𝒖

2𝑥 𝑑𝑥

𝒅𝒗

𝒖

1

2𝑥

𝒗

2𝑥

𝒗

𝒅𝒖

2𝑥

−

2𝑥

• 𝐶

2𝑥

• 𝐶

Eligiendo apropiadamente las funciones 𝑢 y 𝑣 se tiene:

2𝑥

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒

2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 =

1

2

𝑒

2𝑥