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Relación de ejercicios: Integrales dobles y triples
Matemáticas 1. Ingeniería Química.
- Sea f : A → R , calcular su integral en los siguientes casos:
a) f (x, y) = 1 siendo A la región limitada por y^2 = x^3 , y = x.
b) f (x, y) = x^2 siendo A la región limitada por xy = 16, y = x, y = 0, x = 8.
c) f (x, y) = x siendo A el triángulo de vértices (0, 0), (1, 1), (0, 1).
d ) f (x, y) = x siendo A la región limitada por la recta que pasa por (0, 2) y (2, 0) y la circunferencia de centro (0, 1) y radio 1.
e) f (x, y) = e
x y (^) siendo A la región limitada por y^2 = x, x = 0, y = 1.
f ) f (x, y) = x x^2 +y^2 siendo^ A^ la región limitada por^ y^ =^
x^2 2 , y^ =^ x.
g) f (x, y) = xy 2 siendo A la región limitada por y 2 = 2x, x = 1.
h) f (x, y) = xy siendo A la región limitada por la semicircunferencia superior (x − 2) 2
i) f (x, y) = 4 − y^2 siendo A la región limitada por y^2 = 2x y y^2 = 8 − 2 x
j ) f (x, y) = ex
2 siendo el conjunto A el triángulo formado por las rectas 2 y = x, x = 2 y el eje x
- Hallar el volumen del sólido limitado superiormente por z = x + y e inferiormente por el
triángulo de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0)
- Hallar el volumen del sólido limitado superiormente por z = 2x + 1 e inferiormente por
el conjunto {(x, y) ∈ R 2 : x 2
- Hallar el volumen del sólido comprendido entre el paraboloide de ecuación z = x^2 + y^2 y
el disco unidad
- Hallar el volumen del sólido limitado superiormente por z = 4 − y^2 − 1 4 x
(^2) e inferiormente
por el disco {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + (y − 1)^2 ≤ 1 }
- Utilizar el cambio a coordenadas polares para calcular las integrales de las siguientes
funciones en los recintos que se indican:
a) f (x, y) =
1 − x^2 − y^2 , A = B((0, 0), 1)
b) f (x, y) =
x^2 + y^2 , A = [0, 1] × [0, 1]
c) f (x, y) = y, A = {(x, y) ∈ B(( 1 2 ,^ 0),^
1 2 ) :^ y^ ≥^0 } d ) f (x, y) = x^2 + y^2 , A = B((1, 0), 1)
e) f (x, y) = x 2
- y 2 , A = {(x, y) ∈ R 2 : 4 ≤ x 2
- y 2 ≤ 9 }
- Calcúlese la integral de f : A → R en cada uno de los siguientes casos:
a) f (x, y) = x, A = {(x, y) ∈ R 2 : x 2
b) f (x, y) = x
1 − x^2 − y^2 , A = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 1 , x, y ≥ 0 }
c) f (x, y) = exp( x y ),^ A^ =^ {(x, y)^ ∈^ R
2 : y 3 ≤ x ≤ y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 }
d ) f (x, y) = exp
y−x y+x
, A = {(x, y) ∈ R^2 : x, y ≥ 0 , x + y ≤ 2 }
e) f (x, y) = (x^2 + y^2 )−^
3 (^2) , A = {(x, y) ∈ R^2 : x ≤ y, x + y ≥ 1 , x^2 + y^2 ≤ 1 }
f ) f (x, y) = x 2
- y 2 , A = {(x, y) ∈ R 2 : (x 2
- y 2 ) 2 ≤ 4(x 2 − y 2 ), x ≥ 0 }
g) f (x, y) = x^2 + y^2 , A = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 2 y, x^2 + y^2 ≤ 1 , x ≥ 0 }
h) f (x, y, z) = (x + y + z) 2 , A = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2
- y 2
- z 2 ≤ 1 , x 2
- y 2
- z 2 ≤ 2 z}
i) f (x, y, z) = z, A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 4
2 9 ≤ 1 , z ≥ 0 }
j ) f (x, y, z) = z, A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 ≤ z^2 , 0 ≤ z ≤ 1 }
k ) f (x, y, z) = x^2 , A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x ≥ 0 , x^2 +y^2 +(z −1)^2 ≤ 1 , 4 z^2 ≥ 3(x^2 +y^2 )}
l ) f (x, y, z) = zy
x^2 + y^2 A = {(x, y, z) ∈ R 3 : 0 ≤ z ≤ x 2
2 x − x^2 }
m) f (x, y, z) = z, A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 ≤ 2 , x^2 + y^2 ≤ z}
n) f (x, y, z) = z 2 , A = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2
- y 2
- z 2 ≤ R 2 , x 2
- y 2
- z 2 ≤ 2Rz}
ñ) f (x, y, z) =
x^2 + y^2 + z^2 , A = {(x, y, z) ∈ R^3 :
x^2 + y^2 ≤ z ≤ 3 }
- Calcular el volumen del conjunto A en cada uno de los siguientes casos:
a) A =
(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 ≤ z ≤
x^2 + y^2
b) A =
(x, y, z) ∈ R^3 : x
2 a^2
y^2 b^2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤
x^2 a^2
y^2 b^2
c) A = {(x, y, z) ∈ R^3 : 0 ≤ z ≤ x^2 + y^2 , x + y ≤ 1 , x, y ≥ 0 }
d ) A =
(x, y, z) ∈ R^3 : 0 ≤ z ≤
x^2 + y^2 , x^2 + y^2 ≤ 2 y
e) A = {(x, y, z) ∈ R^3 : 0 ≤ z ≤ 4 − y^2 , 0 ≤ x ≤ 6 }
f ) A = {(x, y, z) ∈ R 3 :
x ≤ y ≤ 2
x, 0 ≤ z ≤ 9 − x}
g) A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 ≤ z^2 , x^2 + y^2 + z^2 ≤ 2 z}
h) A = {(x, y, z) ∈ R 3 : 4 + z 2 ≤ x 2
