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El pdf “Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas” de James Stewart es una obra fundamental en el estudio del cálculo multivariable. Explica los conceptos y técnicas necesarios para analizar funciones de varias variables, incluyendo derivadas parciales, gradientes, planos tangentes, optimización y ecuaciones diferenciales. Además, desarrolla el cálculo integral múltiple, abordando integrales dobles y triples, sus aplicaciones geométricas y físicas, y el uso de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. También introduce el cálculo vectorial, incluyendo campos vectoriales, teoremas de Green, Stokes y Gauss. Su enfoque combina teoría, ejemplos prácticos y problemas aplicados, permitiendo comprender cómo el cálculo se utiliza para modelar fenómenos reales en ingeniería, física y otras ciencias. (≈ 985 caracteres)
Tipo: Ejercicios
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Evalúe ∬
𝑦 sin(𝑥𝑦)𝑑𝐴
𝑅
,donde R= [ 1 , 2 ] × [ 0 , 𝜋].
SOLUCIÓN 1 Si se integra primero con respecto a x se obtiene
En este paso, se establece la integral doble como una integral iterada. El orden de
integración es primero con respecto a x y luego con respecto a y.
∬ sin(𝑋𝑌)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑌 sin(𝑋𝑌)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [− cos(𝑥𝑦)]
𝜋
0
2
1
𝜋
0
= ∫ (− cos 2 𝑦 + cos 𝑦)𝑑𝑥
𝜋
0
sin 2 𝑦 + sin 𝑦
SOLUCIÓN 2 Si se invierte el orden de integración, se obtiene
En este paso, se invierte el orden de integración para resolver la integral doble.
Ahora, la integración es primero con respecto a Y y luego con respecto a x.
∬ 𝑌 sin
𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑌 sin
𝜋
0
2
1
𝑅
Para evaluar la integral interna se emplea la integración por partes con
𝑢 = 𝑦 𝑑𝑣 = sin(𝑥𝑦)𝑑𝑦
cos(𝑥𝑦)
y, por lo tanto, ∫
𝑦 sin(𝑥𝑦) 𝑑𝑦 = −
𝑦 cos(𝑥𝑦)
𝑥
𝜋
0
1
𝑥
cos(𝑥𝑦)𝑑𝑦
𝜋
0
𝜋 cos 𝜋𝑥
2
[sin(𝑥𝑦)]
𝜋 cos 𝜋𝑥
sin 𝜋𝑥
2
Si ahora se integra el primer término por partes con 𝑢 = −
𝜋 cos 𝜋 𝑥 𝑑𝑥, se obtiene 𝑑𝑢 =
2
⁄ 𝑣 = sin 𝜋𝑥, 𝑦
trascendentes tempranas
sexta edición
