¡Descarga Integrales Interadas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Integrales Iteradas
Junio de 2020, El Salvador
Integrales múltiples
Las integrales múltiples son una extensión de las integrales definidas de funciones
escalares a campos escalares de dos o más variables.
Una integral doble se puede escribir en la forma, donde
f ( x , y )
está definida en una
región rectangular
R
del plano:
a ≤ x ≤ b ; c ≤ y < d
y
dA
tiene el sentido de
diferencial de área.
Integrales iteradas
Como no se puede evaluar la integral doble mediante su definición, porque esta no es operativa, se
recurre a un procedimiento llamado integración sucesiva, que indicamos a continuación:
Una integral doble por cálculo sucesivo de dos integrales: primero se integra con respecto a una
variable y luego se integra el resultado con respecto a la otra variable. Cuando se realiza esta
integración parcial sucesiva, se opera de dentro hacia fuera como se puede ver en las expresiones
siguientes:
f ( x , y ) dxdy = ∫[∫
f ( x , y ) dx ]
dy
Las integrales de este tipo se llaman integrales iteradas.
Ejemplo 1
Evaluar las siguientes integrales iteradas:
∫
0
2
∫
1
3
x
2
ydydx ;
∫
1
3
∫
0
2
x
2
ydxdy
Solución
∫
0
2
∫
1
3
x
2
ydydx =
∫
0
2
∫
1
3
x
2
ydydx =
∫
0
2
x
2
y
2
|
1
3
dx =
∫
0
2
x
2
(
)
dx =
∫
0
2
4 x
2
dx = 4
x
3
|
0
2
∫
1
3
∫
0
2
x
2
ydxdy =
∫
1
3
y
x
3
|
0
2
dy =
∫
1
3
y
(
)
d y =
∫
1
3
y d y =
y
2
|
1
3
Ejemplo 2
Evaluar las siguientes integrales iteradas:
∫
− 1
1
∫
0
1
x ydydx ;
∫
0
1
∫
− 1
1
x ydxdy
Solución
∫
−¿ ¿
∫
0
1
x ydydx =
∫
−¿ ¿
1 x
y
2
|
0
1
dx =
∫
− 1
1
x
(
)
dx =
∫
− 1
1
x dx =
x
2
|
− 1
1
Integrales Iteradas
Junio de 2020, El Salvador
∫
0
1
∫
− 1
1
x ydxdy =
∫
0
1
y
x
2
|
− 1
1
dy =
∫
0
1
y ( 0 ) dx = 0
Notemos que en el ejemplo previo, se obtuvo la misma respuesta cuando integramos primero con
respecto a y, que cuando integramos primero con respecto a x. El siguiente teorema indica,
efectivamente, que bajo ciertas condiciones, las dos integrales iteradas dan el mismo valor
numérico, es decir que el orden de integración no altera el resultado. Este teorema proporciona
además un método para evaluar una integral doble expresándola como integral iterada (en
cualquier orden):
Teorema de Fubini
Sea
f ( x , y )
una función continua sobre un rectángulo R:
a ≤ x ≤ b ; c ≤ y < d
Entonces se puede calcular la integral doble
∫
R
∫
f ( x , y ) dA
por integración iterada en
cualquier orden, es decir:
∫ R
∫
f ( x , y ) dA = ∫
c
d
∫
a
b
f ( x , y ) dxdy = ∫
a
b
∫
c
d
f ( x , y ) dydx
Es decir, para calcular una integral doble se puede calcular una cualquiera de las integrales
iteradas:
∫
c
d
[
∫
a
b
f ( x , y ) dx
]
dy = ∫
a
b
[
∫
c
d
f ( x , y ) dy
]
dx
Ejercicio 3
Calcule ∫
0
2
∫
3
4
x ydxdy
Solución
Podemos escribir esta integral en la forma
∫
0
2
[
∫
3
4
xydx
]
dy
∫
0
2
[
∫
3
4
x ydx
]
dy =
∫
0
2
y
x
2
|
3
4
dy =
∫
0
2
y
(
)
dy =
∫
0
2
y d y = 7
y
2
|
0
2
De donde
∫
0
2
∫
3
4
xydxdy = 7
; por Fubini
∫
3
4
∫
0
2
xydydx = 7
Ejercicio 4
Calcule
∬
R
( 2 − y ) dA
Donde R es el rectángulo del plano
xy
cuyos vértices son
( 0 , 0 ) ,( 3 , 0 ) ,( 3 , 2 ) y ( 0 , 2 ).
Solución
Integrales Iteradas
Junio de 2020, El Salvador
Siendo
J =[ 1 , 2 ] x [ 0 , 2 ]
Solución
∫
1
2
∫
0
2
Cosxdydx =
∫
1
2
yCosx |
0
2
dx =
∫
1
2
2 cosxdx = 2 Senx |
1
2
= 2 ( Sen 2 − Sen 1 )
∫
0
2
∫
1
2
Cosxd x d y =
∫
0
2
Senx |
1
2
d y =
∫
0
2
( Sen 2 − Sen 1 ) dy =( Sen 2 − Sen 1 ) y |
0
2
2 ( Sen 2 − Sen 1 )
Ejercicio 7
Calcular
Siendo
J ={( x , y ) ∈ R
2
: 0 ≤ x ≤ 1 , y ≥ 0 , x ≤ 2 − y
2
}
Solución
x ≤ 2 − y
2
; y ≥ 0 ; 0 ≤ x ≤ 1
x = 2 − y
2
⟹ y
2
= 2 − x ⟹ y = √
2 − x
∫
0
1
∫
0
√ 2 − x
y
x + 1
dydx =
∫
0
1
y
2
2 ( x + 1 )
|
0
√
2 − x
dx =
∫
0
1
√ 2 − x
2
2 ( x + 1 )
dx =¿
∫
0
1
2 − x
2 ( x + 1 )
dx ¿
∫
0
1
x − 2
x + 1
dx =¿−
∫
0
1
x + 1 − 3
x + 1
dx =¿−
∫
0
1
(
x + 1
x + 1
x + 1
)
dx ¿ ¿
∫
0
1
(
x + 1
x + 1
x + 1
)
dx =
∫
0
1
(
x + 1
)
dx =
( x − 3 ln( x + 1 ))
|
0
1
∫
0
1
∫
0
√ 2 − x
y
x + 1
dydx =
( 1 − 3 ln ( 2 ) )=
( 3 ln ( 2 )− 1 )
Áreas con integrales iteradas dobles con el orden de integración dy. dx
Caso I
Vamos a considerar una región plana R acotada por:
Integrales Iteradas
Junio de 2020, El Salvador
a ≤ x ≤ b ; g
1
( x ) ≤ y ≤ g
2
( x )
Esta región R está compuesta por infinitos rectángulos dx , representados como
un rectángulo vertical :
Este rectángulo vertical dx tiene dos características muy importantes:
1. Se mueve horizontalmente entre los límites de x , a y b.
2. En función de su posición, va variando su altura adaptándose a las funciones g
2
( x ) y
g
1
( x )
, quedando siempre dentro de ambas funciones, por lo que su altura está limitada
superiormente por la función que de arriba g
2
( x ) e inferiormente por la función de abajo
g
1
( x )
Por tanto, con este rectángulo podemos deducir los límites integración para la variable
x
, que son los dos límites entre los que se puede desplazar el rectángulo horizontalmente,
por tanto, es por eso que el área de esa región viene dada por la integral definida:
∫
a
b
(
g
2
x
− g
1
( x )
)
dx
Por otro lado, podemos reescribir el integrando g
2
( x )− g
1
( x ) como una nueva
integral definida, pero integrada para la variable «y».
Los límites de esta integral están determinados por la altura del rectángulo
dx
, es decir
entre las funciones g
2
( x ) , g
1
( x ) y al ser «y» la variable de integración, el diferencial
en este caso es dy:
∫
g
1
( x )
g
2
( x )
dy = y |
g 1
( x )
g
2
( x )
=¿ g
2
( x )− g
1
( x )¿
Integrales Iteradas
Junio de 2020, El Salvador
∫
h
1
( y )
h ( y )
dx = x
h
1
( y )
h
2
( y )
=¿ h
2
( y )− h
1
( y )¿
Por tanto, sustituyendo en la integral definida anterior el integrando h
2
( y )− h
1
( y )por
la integral con respecto a «x», el área de la región
R
se puede expresar como la integral
iterada:
∫
c
d
∫
h
1
( y )
h
2
( y )
dxdy
Problema 1
Calcúlese el área del recinto D ={( x , y ) ∈ R
2
/ y ≤ x , y ≥ x
2
} mediante
una integral doble.
Solución.
y = x ; y = x
2
Los puntos de corte de ambas
curvas se calculan igualando sus
ecuaciones:
x
2
= x ⟹ x
2
− x = 0 ⟹ x ( x − 1 )= 0
x = 1 , x = 0
Los puntos de corte son ( 0 , 0 ) y
Para escribir la integral doble que
proporciona el área del recinto,
se fija el intervalo de variación
de x ∈
[
]
, y la variable y varía entre la curva y la recta,
x
2
≤ y ≤ x
La integral doble a calcular es:
A =
∫
0
1
∫
x
2
x
dydx =
∫
0
1
y |
x
2
x
dx
∫
0
1
( x − x
2
) dx =¿
x
2
x
3
|
0
1
u
2
A =
∫
0
1
∫
y
√
y
dxdy =
∫
0
1
x |
y
√ y
dy =
∫
0
1
√
y − y ) dy
Integrales Iteradas
Junio de 2020, El Salvador
A =
y
3 / 2
y
2
|
0
1
u
2
dx
Problema 2
Hallar el área limitada por el lazo y
2
= x
2
( 2 − x ) mediante una integral
doble.
Solución.
Los puntos de corte de la curva se
calculemos
Ix : y = 0
y
2
= x
2
( 2 − x ) ⟹ y = x
√
2 − x
x
2
( 2 − x )= 0 ⟹ x = 0 ⟹ 2 − x = 0
x = 0 , x = 2
Los puntos de corte son ( 0 , 0 ) y ( 2 , 0 ).
Para escribir la integral doble que
proporciona el área del recinto, se fija el
intervalo de variación de x ∈ [ 0 , 2 ], y la
variable y varía entre la curva y la recta, 0 ≤ y ≤ x
√
2 − x.
La integral doble a calcular es:
A = 2
∫
0
2
∫
0
x √ 2 − x
dydx = 2
∫
0
2
y |
0
x √
2 − x
∫
0
2
x √ 2 − x dx ¿
Sea
u
2
= 2 − x ⟹ 2 udu =− dx
x = 0 , u
2
= 2 − 0 ⟹ u
2
= 2 ⟹ u =√ 2
x = 2 , u
2
= 2 − 2 ⟹ u
2
= 0 ⟹ u = 0
x = 2 − u
2
2 ( 2 − u
2
) u ( 2 u )= 4 u
2
( 2 − u
2
)=( 8 u
2
− 4 u
4
A =− 2
∫
√ 2
0
( 2 − u
2
) u ( 2 udu )=¿
∫
0
√ 2
(
8 u
2
− 4 u
4
)
du =¿
8 u
3
4 u
5
|
0
√
2
∫
a
b
f ( x ) dx =−
∫
b
a
f ( x ) dx
8 u
3
4 u
5
|
0
√
2
√
3
√
5
√
2
√
√
2
√
2
√
Integrales Iteradas
Junio de 2020, El Salvador
En los problemas siguientes escriba la integral iterada equivalente. No integre, haga el
gráfico.
∫
0
1
∫
1
e
x
f ( x , y ) dydx
Solución
0 ≤ x ≤ 1 ; 1 ≤ y ≤ e
x
∫
1
e
∫
Lny
1
f ( x , y ) dxdy ;
y = e
x
⟹ L ny = x ; x = 1
;
y = e
1
= e
