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Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos
Tema 3: Integración numérica
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Marzo 2008, versión 1.
Contenido
- Fórmulas de cuadratura
- Fórmulas de Newton-Cotes
- Fórmulas compuestas
1 Fórmulas de cuadratura
Aproximar la integral
I =
Z (^) b
a
f (x) dx
usando una combinación lineal de valores de f (x) en puntos del intervalo
[a, b],
a ≤ x 0 < x 1 < · · · < xn ≤ b,
Z (^) b
a
f(x) dx ' α 0 f(x 0 ) + α 1 f(x 1 ) + · · · + αnf(xn).
La fórmula de cuadratura es
F (f) = α 0 f (x 0 ) + α 1 f (x 1 ) + · · · + αnf (xn).
E (f) = I − F (f )
Z (^) b
a
f (x) dx − [α 0 f(x 0 ) + α 1 f(x 1 ) + · · · + αnf(xn)].
Ejemplo 1.1 Consideramos la integral
I =
Z
1
0
x sin x dx.
- Aproxima el valor de I con la fórmula de cuadratura
F (f ) =
b − a
f(a) + 4f
μ a + b
- Calcula el valor exacto de la integral y el valor del error.
- Valor aproximado.
Tenemos
a = 0, b = 1, f (x) = x sin x,
F (f ) =
(0 + 4 · (0.5) sin (0.5) + sin 1) = 0. 30005.
- Valor exacto y error.
Calculamos una primitiva de f (x)
Z
x sin x dx = integramos por partes
μ u = x du = dx
dv = sin x dx v = − cos x
= −x cos x −
Z
(− cos x) dx
= −x cos x +
Z
cos x dx
= −x cos x + sin x + c
El valor exacto es
Z (^1)
0
x sin x dx = [−x cos x + sin x]
x= x=0 =^ −^ cos 1 + sin 1 = 0.^30117.
Error
|E (f )| = |I − F (f )| = | 0. 30117 − 0. 30005 | = 0.00 112.
La fórmula de cuadratura ha producido una aproximación con 2 decimales
exactos. ¤
Dado un intervalo [a, b], decimos que una fórmula de cuadratura
F (f) = α 0 f (x 0 ) + α 1 f (x 1 ) + · · · + αnf (xn)
tiene grado de precisión g si es exacta para todos los polinomios de grado
≤ g (y no lo es para alguno de grado g +1). Es decir, si p(x) es un polinomio
de grado ≤ g, entonces la fórmula de cuadratura es exacta para p(x)
Z (^) b
a
p(x) dx = α 0 p(x 0 ) + α 1 p(x 1 ) + · · · + αnp(xn).
La fórmula de cuadratura tiene grado de precisión 3, y es exacta para todas
las integrales Z 2
0
p(x) dx
con p(x) polinomio de grado ≤ 3. Por ejemplo, tomemos
p(x) = x
3 − x,
Z
2
0
x
3 − x
dx =
x
4
x
2
0
F (p) =
[0 + 4· (1 − 1)
| {z }
p(1)
| {z }
p(2)
] =
2 Fórmulas de Newton-Cotes
Las fórmulas de Newton-Cotes se obtienen integrando el polinomio interpo-
lador construido con nodos igualmente espaciados.
- Estrategia
- Dividimos [a, b] en n subintervalos de longitud
h =
b − a
n
los puntos de división son de la forma
x 0 = a,
x 1 = a + h,
x 2 = a + 2h,
. . .
xj = a + jh,
. . .
xn = a + nh = b.
- Calculamos el polinomio pn(x) que interpola f(x) en los nodos
x 0 , x 1 , x 2 ,... , xn.
- Tomamos Z (^) b
a
f (x) dx '
Z (^) b
a
pn(x) dx.
2.1 Fórmula del trapecio y de Simpson
Es la fórmula de Newton-Cotes de 2 puntos.
Z (^) b
a
p 1 (x) dx =
f(a) + f (b)
(b − a).
FT (f) =
b − a
[f (a) + f(b)].
Si tomamos h = b − a
FT (f ) =
h
[f(x 0 ) + f(x 1 )] ,
x 0 = a, x 1 = a + h,
h = b − a.
Es la fórmula de Newton-Cotes de 3 puntos.
h =
b − a
x 0 = a, x 1 = a + h, x 2 = a + 2h = b.
- Valor exacto y errores.
Z (^2)
1
x
dx = [ln x]
2 1 = ln 2 = 0.^69315 ,
|ET (f )| = |I − FT (f)| = | 0. 69315 − 0. 75 | = 0.0 5685,
|ES (f )| = |I − FS (f)| = | 0. 69315 − 0. 69444 | = 0.00 129.
Con la fórmula Simpson, hemos obtenido 2 decimales exactos. ¤
2.2 Errores
Sea f (x) de clase C
2 [a, b],
x 0 = a, x 1 = b, h = b − a.
Se cumple
I =
Z
b
a
f (x) dx =
h
[f (x 0 ) + f (x 1 )] −
h
3
f
(2) (t) , t ∈ (a, b).
Valor absoluto del error
|ET (f )| = |I − FT (f)| =
h
3
¯f
(2) (t)
¯ , t ∈ (a, b).
Cota superior de error
|ET (f)| ≤
h
3
M 2 , M 2 = max x∈[a,b]
¯f(2)^ (x)
Sea f (x) de clase C
4 [a, b],
x 0 = a, x 1 = a + h, x 2 = b, h =
b − a
Se cumple
I =
Z (^) b
a
f (x) dx =
h
[f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + f (x 2 )] −
h
5
f
(4) (t) , t ∈ (a, b).
Valor absoluto del error
|ES (f )| = |I − FS (f )| =
h
5
¯f^
(4) (t)
¯ ,^ t^ ∈^ (a, b)^.
Cota superior de error
|ES (f )| ≤
h
5
M 4 , M 4 = max x∈[a,b]
¯f (4)^ (x)
Ejemplo 2.2 Consideramos la integral
I =
Z 2
1
x ln x dx.
- Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio; calcula una cota
superior de error.
- Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson; calcula una cota
superior de error.
- Calcula el valor exacto de la integral y verifica los resultados.
- Aproximación trapecio.
Tenemos
a = 1, b = 2, h = 2 − 1 = 1, f(x) = x ln x,
FT (f ) =
(1 ln 1 + 2 ln 2) = ln 2 = 0. 69315.
Cota de error
|ET (f )| ≤
h
3
M 2 , M 2 = max x∈[1,2]
¯f(2)^ (x)
Calculamos las derivadas
f
0 (x) = ln x + 1,
f
00 (x) =
x
f
00 (x) es positiva si x ∈ [1, 2]. La función objetivo es
g(x) =
¯f^
(2) (x)
x
g
0 (x) =
x^2
la derivada g
0 (x) es negativa, por lo tanto g(x) es decreciente en el intervalo
y resulta
M 2 = max x∈[1,2]
¯f^
(2) (x)
¯ =^ g(1) = 1.
La cota de error es
|ET (f)| ≤
h
3
M 2 =
- Aproximación por Simpson.
Tenemos
h =
El valor exacto, con cinco decimales, es
Z (^2)
1
x ln x dx =
x
2
ln x −
x
2
¸x=
x=
= (2 ln 2 − 1) −
μ 1
ln 1 −
= 2 ln 2 − 1 + 1/4 = 0. 63629.
Error trapecio
|ET (f )| = |I − FT (f )| = | 0. 63629 − 0. 69315 | = 0.0 5686,
cota error trapecio
|ET (f)| ≤ 0. 083333.
Error Simpson
|ES (f )| = |I − FS (f)| = | 0. 63629 − 0. 63651 | = 0.000 22,
cota error Simpson
|ES (f )| ≤ 0 .0006 94.
Observamos que los errores son inferiores a las cotas de error correspondien-
tes. ¤
3 Fórmulas compuestas
3.1 Trapecio compuesto
- Estrategia
- Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud
h =
b − a
n
y obtenemos n + 1 puntos
x 0 = a, x 1 = a + h, x 2 = a + 2h,... , xn = a + nh = b.
Los n subintervalos son
A 1 = [x 0 , x 1 ], A 2 = [x 1 , x 2 ] ,... , Aj = [xj− 1 , xj ] ,... , An = [xn− 1 , xn].
- Aplicamos la fórmula del trapecio a cada subintervalo
A 1 = [x 0 , x 1 ] ⇒ F
(1) T =^
h
[f (x 0 ) + f (x 1 )] ,
. . .
Aj = [xj− 1 , xj ] ⇒ F
(j) T
h
[f (xj− 1 ) + f (xj )] ,
An = [xn− 1 , xn] ⇒ F
(n) T =^
h
[f (xn− 1 ) + f (xn)].
- Tomamos como aproximación global la suma de las aproximaciones
sobre los subintervalos
F
(n) T C =^ F^
(1) T +^ F^
(2) T +^ · · ·^ +^ F^
(j) T +^ · · ·^ +^ F^
(n) T.
- Fórmula de trapecio compuesto
F
(n) T C
h
[f(x 0 ) + 2f (x 1 ) + · · · + 2f (xj ) + · · · + 2f (xn− 1 ) + f (xn)] ,
h =
b − a
n
Si agrupamos términos, obtenemos
F
(n) T C
h
[f(x 0 ) + f (xn)] + h
nX− 1
j=
f (xj ) , h =
b − a
n
Si f(x) es de clase C
2 [a, b], se cumple
¯E
(n) T C
Z (^) b
a
f(x)dx − F
(n) T C
¯ ≤^
b − a
h
2 M 2 , h =
b − a
n
M 2 = max x∈[a,b]
¯f
(2) (x)
- Demostración de la cota de error
Ejemplo 3.1 Calcula Z (^2)
1
x ln x dx
con 2 decimales exactos usando la fórmula del trapecio compuesto.
- Cálculo del número de intervalos.
a = 1, b = 2, f(x) = x ln x.
Tenemos la acotación
¯ ¯ ¯E
(n) T C
¯ ≤^
b − a
h
2 M 2 , h =
b − a
n
M 2 = max x∈[1,2]
¯f
(2) (x)
Hemos visto en el Ejemplo 2.2 que
M 2 = max x∈[1,2]
¯f
(2) (x)
entonces (^) ¯
¯ ¯E
(n) T C
¯ ≤^
h
2 .
Exigimos ¯ ¯ ¯E
(n) T C
h
2 ≤ 0. 5 × 10
− 2
y resulta
h
2 ≤ 12 ·
0. 5 × 10
− 2
h ≤
Como
h =
n
n
resulta 1
n
≤ 0. 24495 ⇒ n ≥
Necesitamos 5 subintervalos.
- Valor de la aproximación.
Con n = 5, el valor del step es
h =
Obtenemos los nodos
x 0 = 1, x 1 = 1. 2 , x 2 = 1. 4 , x 3 = 1. 6 , x 4 = 1. 8 , x 5 = 2.
La fórmula del trapecio compuesto con 5 subintervalos es
F
(5) T C =^
h
[f (x 0 ) + f (x 5 )] + h
X^4
j=
f (xj ) ,
en nuestro caso resulta
F
(5) T C
(1 ln 1 + 2 ln 2) + (0.2) (1.2 ln 1.2 + 1.4 ln 1.4 + 1.6 ln 1.6 + 1.8 ln 1.8)
- Error exacto.
Valor exacto con 5 decimales
I =
Z 2
1
x ln x dx = 0. 63629.
Error
¯ ¯ ¯E
(5) T C
¯I^ −^ F^
(5) T C
¯ =^ |^0.^63629 −^0.^63860 |^ = 0.00 231.^ ¤
3.2 Fórmula de Simpson compuesto
La idea es dividir el intervalo [a, b] en m subintervalos de igual longitud
A 1 , A 2 ,... , Am
y aplicar la regla simple de Simpson a cada subintervalo. Para centrar ideas,
expondremos el caso m = 3.
- Para aplicar la regla de Simpson, debemos tomar el punto medio de
cada intervalo. Por lo tanto, la distancia entre nodos (step) es
h =
b − a
2 m
Los nodos son
x 0 = a, x 1 = a + h, x 2 = a + 2h,... , xn = a + 2mh = b.
Si m = 3, la distancia entre nodos será
h =
b − a
y tendremos 2 m + 1 = 7 nodos
Si f(x) es de clase C
4 [a, b], se cumple
¯E
(m) SC
Z (^) b
a
f(x)dx − F
(m) SC
b − a
h
4 M 4 , h =
b − a
2 m
M 4 = max x∈[a,b]
¯f
(4) (x)
- Demostración de la cota de error
El procedimiento es muy parecido al empleado en la demostración de la cota
de error para la fórmula del trapecio compuesto. Tenemos
Z (^) b
a
f (x) dx =
Z
A 1
f (x) dx +
Z
A 2
f (x) dx + · · · +
Z
Am
f (x) dx
= I 1 + I 2 + · · · + Im.
F
(m) SC =^ F^
(1) S +^ F^
(2) S +^ · · ·^ +^ F^
(m) S ,
donde F
(j) S
es el valor de la fórmula simple de Simpson sobre el intervalo
Aj = [x 2 j− 2 , x 2 j ]. Entonces
¯E
(m) SC
Z (^) b
a
f (x) dx − F
(m) SC
¯(I 1 + I 2 + · · · + Im) −
F
(1) S +^ F^
(2) S +^ · · ·^ +^ F^
(m) S
I 1 − F
(1) S
I 2 − F
(2) S
Im − F
(m) S
¯I 1 − F
(1) S
¯I 2 − F
(2) S
¯Im − F
(m) S
¯E
(1) S
¯E
(2) S
¯E
(m) S
donde
¯E
(j) S
¯ representa el error de Simpson simple en el intervalo Aj. Sabe-
mos que se cumple
¯E
(j) S
h
5
M
(j) 4 ,^ M
(j) 4 = max x∈Aj
¯f
(4) (x)
entonces ¯ ¯ ¯E
(m) SC
¯ ≤^
h
5
M
(1) 4 +^
h
5
M
(2) 4 +^ · · ·^ +^
h
5
M
(m)
Si tomamos
M 4 = max x∈[a,b]
¯f
(4) (x)
se cumple para todos los intervalos
M
(j) 4 = max x∈Aj
¯f
(4) (x)
¯ ≤ max x∈[a,b]
¯f
(4) (x)
¯ = M 4 ,
por lo tanto
¯E
(m) SC
h^5
M 4 +
h^5
M 4 + · · · +
h^5
M 4
≤ m
h
5
M 4 = m
b − a
2 m
h
4
M 4
b − a
h
4 M 4. ¤
Ejemplo 3.2 Calcula Z (^2)
1
x ln x dx
con 4 decimales exactos usando la fórmula de Simpson compuesto.
- Cálculo del número de intervalos.
a = 1, b = 2, f(x) = x ln x.
Tenemos la acotación
¯ ¯ ¯E
(m) SC
¯ ≤^
b − a
h
4 M 4 , h =
b − a
2 m
M 4 = max x∈[a,b]
¯f
(4) (x)
Hemos visto en el Ejemplo 2.2 que
M 4 = max x∈[1,2]
¯f^
(4) (x)
entonces (^) ¯
¯ ¯E
(m) SC
h
4 · 2.
Exigimos
1
h
4 · 2 ≤ 0. 5 × 10
− 4 ,
h
4 ≤
0. 5 × 10
− 4
h ≤
4
Como
h =
2 m
2 m
resulta 1
2 m
≤ 0. 259 ⇒ m ≥
Necesitamos tomar m = 2. Se trata de Simpson doble, con 2 m = 4 subin-
tervalos.
