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Teorema Fundamental del Cálculo
Integración
1 Teorema Fundamental del Cálculo
Ejercicio 1. Halla las derivadas de cada una de las funciones siguientes:
a) F ( x ) =
∫ (^) x a sen
(^3) ( t ) dt ,
b) F ( x ) =
∫ (^) b x
1 1 + t^2 +sen^2 ( t ) dt ,
c) F ( x ) =
∫ (^) b a
x 1 + t^2 +sen^2 ( t ) dt. Solución 1.
a) F ′( x ) = sen^3 ( x )
b) F ′( x ) = − (^1) + x (^2) +^1 sen (^2) ( x )
c) F ′( x ) =
∫ (^) b a
dt 1 + t^2 +sen^2 ( t )
Ejercicio 2. Halla las derivadas de cada una de las funciones siguientes:
a) F ( x ) =
∫ (^) x 2 0 sen(log(1^ +^ t ))^ dt ,
b) F ( x ) =
x^2 sen
(^3) ( t ) dt ,
c) F ( x ) =
∫ (^) x 3 x^2 cos
(^3) ( t ) dt.
Solución 2.
a) F ′( x ) = sen
log(1 + x^2 )
2 x ,
b) F ′( x ) = − sen^3
x^2
2 x ,
c) F ′( x ) = cos( x^3 )3 x^2 − cos( x^2 )2 x.
E Ejercicio 3. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f : R+^ → R definida como
f ( x ) =
∫ (^) x (^3) − x 2
0
e − t
2 dt.
Como consecuencia, estudiar los extremos relativos de dicha función.
Solución 3. La función f es derivable con f ′( x ) = e −( x^3 − x^2 )^2 (3 x^2 − 2 x ). Por tanto, los únicos puntos críticos son x = 0 y x = 23. Como f ′^
3
< 0 y f ′(2) > 0 , f es estrictamente decreciente
Teorema Fundamental del Cálculo
en
]
]
y estrictamente creciente en
[ 2
3 ,^ +∞
[
. En consecuencia f alcanza su mínimo absoluto (y relativo) en x = 23.
E^ Ejercicio 4.^ Calcula el siguiente límite:
lim x → 0
∫ (^) sen( x )
x^2 + x
e − t
2 dt sen^2 ( x )
Solución 4. Se trata de un límite que presenta una indeterminación del tipo “ 00 ” ya que el deno- minador es claro que tiende a cero cuando x → 0 , asi como el numerador, ya que:
lim x → 0
∫ (^) sen( x )
x^2 + x
e − t^2 dt =
0
e − t^2 dt = 0
Además, tanto el numerador como el denominador son funciones derivables. El primero es deri- vable gracias al teorema fundamental del Cálculo y el segundo, por ser la función seno elevada al cuadrado. Entonces, haciendo uso de la siguiente regla de derivación (consecuencia del teorema fundamental del Cálculo y de la regla de la cadena): (∫ (^) h ( x )
g ( x )
f ( t ) dt
( x ) = f ( h ( x )) h ′( x ) − f ( g ( x )) g ′( x )
y de la primera regla de L’Hôpital, el límite que tenemos que estudiar es:
x^ lim→ 0
e −sen( x )^2 cos( x ) − e −( x^2 + x )^2 (2 x + 1) 2 sen( x ) cos( x ) Este límite vuelve a presentar en el cero la misma indeterminación que teníamos al principio, así que vamos a volver a aplicar la regla de L’Hôpital. Pero antes separamos el límite en dos factores: el primero no va a darnos ningún problema, mientras que el segundo va a ser en el que vamos a aplicar dicha regla. Esto es:
lim x → 0
e −sen( x )^2 cos( x ) − e −( x^2 + x )^2 (2 x + 1) 2 sen( x ) cos( x )
= lim x → 0
2 cos( x )
lim x → 0
e −sen( x )^2 cos( x ) − e −( x^2 + x )^2 (2 x + 1) sen( x ) Nos ocupamos entonces del segundo factor:
lim x → 0 −2 sen( x ) cos( x )
(^2) e −sen( x )^2 − sen( x ) e −sen( x )^2 2( x (^2) + x ) (2 x + 1) (^2) e −( x^2 + x )^2 − 2 e −( x^2 + x )^2 cos( x ) =^
1 =^ −^2.
Por tanto, como lim x → (^0) 2 cos(^1 x ) = 1 / 2 , el límite que nos piden es:
lim x → 0
∫ (^) sen( x ) x^2 + x e
− t^2 dt sen^2 ( x ) =^ −^2 /^2 =^ −^1.
E Ejercicio 5. Calcula el máximo absoluto de la función f : [1, +∞[→ R definida por
f ( x ) =
∫ (^) x − 1
0
( e − t^2 − e −^2 t ) dt.
Sabiendo que (^) x →lim+∞ f ( x ) = 12 (
π − 1), calcula el mínimo absoluto de f.
Cálculo de primitivas
Para encontrar los intervalos de monotonía de f tendremos que analizar el signo de la derivada. Para ello factorizamos la función derivada: f ′( x ) = e −( x
(^3) − x (^2) ) 2 x (3 x − 2).
Como la función exponencial es siempre positiva, la función derivada se anulará siempre y cuando x = 0 o x = 2 / 3 ; concretamente:
f ′( x ) = e −( x
(^3) − x (^2) ) 2 x (3 x − 2) = 0 ⇐⇒ x (3 x − 2) = 0 ⇐⇒ x = 0 o x =
Tenemos entonces que f tiene dos puntos críticos que nos van a permitir descomponer el domi- nio de f de la forma siguiente:
i) Si x < 0 , entonces f ′( x ) > 0 (se puede evaluar f ′^ en un punto cualquiera negativo) y, por tanto, f es estrictamente creciente en ] − ∞, 0[.
ii) Si 0 < x < 2 / 3 , entonces f ′( x ) < 0 y, por tanto, f es estrictamente decreciente en ]0, 2 /3[.
iii) Si x > 2 / 3 , f ′( x ) > 0 y, por tanto, f es estrictamente creciente en ]2/ 3 , +∞[.
b) Con la información que tenemos del apartado anterior podemos concluir que f alcanza un máximo relativo en 0 (la función pasa de ser creciente a decreciente) y un mínimo relativo en 2 / 3 (pasa de ser decreciente a creciente).
c) El límite planteado presenta una indeterminación del tipo “ 00 ” y, como es posible aplicar la regla de L’Hôpital, tenemos:
lim x → 0
f ′( x ) cos( x^3 − x^3 )(3 x^2 − 2 x ) =^ lim x → 0
e −( x^3 − x^2 )^2 (3 x^2 − 2 x ) cos( x^3 − x^3 )(3 x^2 − 2 x ) Simplificamos el cociente:
lim x → 0^ e
−( x^3 − x^2 )^2 cos( x^3 − x^2 )
= 1 =⇒ lim x → 0^ f^ ( x ) sen( x^3 − x^2 )
donde hemos tenido en cuenta que lim x → 0 ex^ = e^0 = 1 y que lim x → 0 cos( x ) = cos(0) = 1.
2 Cálculo de primitivas
2.1 Integrales inmediatas y cambio de variable
Ejercicio 8. Calcula las siguientes primitivas
a)
5 x^6 dx b)
x ( x + 1)( x − 2) dx c)
(2 + 3 x^3 )^2 dx
d)
∫ (^) dx √ nx e)
( a^23 − x^23 )^3 dx
f)
∫ (^) x (^2) + 1 x − 1 dx
Solución 8.
a)
5 x^6 dx = 57 x^7
b)
x ( x + 1)( x − 2) dx = 14 x^4 − 13 x^3 − x^2
Cálculo de primitivas
c)
(2 + 3 x^3 )^2 dx = 4 x + 3 x^4 + 97 x^7
d)
∫ (^) dx √ nx = x 1 − (^1) n 1 − (^1) n
e)
( a^23 − x^23 )^3 dx = a^2 x − 95 a^4 /^3 x^5 /^3 + 97 a^2 /^3 x^7 /^3 − x 33
f)
∫ (^) x (^2) + 1 x − 1 dx^ =^ x^ +^
x^2 2 +^ 2 log(−^1 +^ x ) Ejercicio 9. Calcula las siguientes primitivas
a)
∫ √ (^31) +log( x ) x dx^
b)
∫ (^) dx ex + 1 c)^
x (2 x + 5)^10 dx
Solución 9.
a) Hacemos el cambio de variable 1 + log( x ) = y , ∫ √ (^31) + log( x ) x dx^ =
y^1 /^3 dy =
4 +^
3 log( x ) 4
(1 + log( x ))^1 /^3
b) Sumamos y restamos ex , ∫ dx ex^ + 1
1 + ex 1 + ex^
− e
x 1 + ex
dx = x − log ( 1 + ex )^.
c) Hacemos el cambio de variable 2 x + 5 = y , ∫ x (2 x + 5)^10 dx =
[
2 x + 5 = y =⇒ x =
2 ( y^ −^ 5)
]
2 ( y^ −^ 5) y
(^10) dy
y^11 − 5 y^10 dy = 1 4
y^12 12
− 5 y
11 11
(2 x + 5)^12 12
11 11
2.2 Integración por partes
Ejercicio 10. Calcula las siguientes primitivas
a)
log( x ) dx b)
arctan( x ) dx c)
arcsen( x ) dx
d)
x sen( x ) dx e)
xe − xdx f)
x^2 e^3 xdx
g)
x sen( x ) cos( x ) dx
Solución 10.
a) Integrando por partes ∫ log( x ) dx =
[ (^) u = log( x ) =⇒ du = 1 x dx dv = dx =⇒ v = x
]
= x log( x ) −
dx = x log( x ) − x.
b) Integrando por partes
Cálculo de primitivas
a) Puesto que numerador y denominador tienen el mismo grado, comenzamos dividiendo
∫ (^) x (^2) − 5 x + 9
x^2 − 5 x + 6
dx =
x^2 − 5 x + 6
dx
= x + 3
∫ (^) dx x^2 − 5 x + 6
descomponemos en fracciones simples y usamos el apartado anterior,
= x + 3
dx ( x − 2)( x − 3)
= x + 3
x − 3
x − 2
= x + 3 log | − 3 + x | − 3 log | − 2 + x |.
b) Dividimos y descomponemos en fracciones simples,
∫ (^5) x (^3) + 2
x^3 − 5 x^2 + 4 x
dx =
25 x^2 − 20 x + 2 x^3 − 5 x^2 + 4 x
dx
2 x −^
3( x − 1) +^
6( x − 4)
dx
= 5 x +
6 log(−^4 +^ x )^ −^
3 log^ | −^1 +^ x^ |^ +^
log | x |
c) Descomponemos en fracciones simples e integramos:
∫ (^) dx x ( x + 1)^2
∫ (^1
x
x + 1
( x + 1)^2
dx
1 + x
- log | x | − log | 1 + x |.
d) Descomponemos en fracciones simples y resolvemos,
∫ (^) dx
( x^2 − 4 x + 3)( x^2 + 4 x + 5)
∫ (^4 x + 15
130( x^2 + 4 x + 5)
20( x − 1) +^
52( x − 3)
dx
130 arctan(2^ +^ x )^ +^
52 log^ | −^3 +^ x^ | −^
20 log^ | −^1 +^ x^ |
log
∣ 5 + 4 x + x^2
e) Descomponemos en fracciones simples, (^) ( x + a )(^1 x + b ) = (^) ( b − a^1 )( x + a ) + (^) ( a − b )(^1 x + b ) y sustituimos ∫ dx ( x + a )( x + b )
( b − a )( x + a )
dx +
( a − b )( x + b )
dx = log^ |^ a^ +^ x^ | − a + b
Cálculo de primitivas
Ejercicio 12. Calcula las siguientes primitivas
a)
∫ (^) dx x^3 + 1 b)
∫ (^) dx ( x +1)^2 ( x^2 +1)^2
c)
∫ (^) dx ( x^4 −1)^2
Solución 12.
a) Descomponemos en fracciones simples e integramos, ∫ dx x^3 + 1
3( x + 1)
− x^ −^2 x^2 − x + 1
dx
arctan
− (^1) √+ 2 x 3
log | 1 + x | − 1 6
log
∣ 1 − x + x^2
b) Utilizando la descomposición ∫ (^) dx
( x + 1)^2 ( x^2 + 1)^2
a 0 + a 1 x + a 2 x^2 ( x + 1)( x^2 + 1)
∫ (^ b 0 x + 1 +^
b 1 + b 2 x x^2 + 1
dx
se demuestra que ∫ (^) dx
( x + 1)^2 ( x^2 + 1)^2
4(1 + x ) +^
4(1 + x^2 )
arctan( x ) 4 +^
2 log^ |^1 +^ x^ | −^
4 log(1^ +^ x
c) Como ( x^4 − 1)^2 = ( x − 1)^2 ( x + 1)^2 ( x^2 + 1)^2 , tenemos la descomposición ∫ (^) dx
( x^4 − 1)^2
a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 ( x − 1)( x + 1)( x^2 + 1)
∫ (^ b 0 x + 1 +^
b 1 x − 1 +^
b 2 + b 3 x x^2 + 1
dx.
Derivando y calculando los coeficientes se obtiene que ∫ (^) dx
( x^4 − 1)^2
x 4(− 1 + x^4 )
3 arctan( x ) 8 −^
16 log^ | −^1 +^ x^ |^ +^
16 log^ |^1 +^ x^ |^.
2.4 Integración de funciones trigonométricas
Ejercicio 13. Calcula las siguientes primitivas
a)
cos^3 ( x ) dx b)
sen^5 ( x ) dx
Cálculo de primitivas
Solución 14.
a) Hacemos el cambio y = tan
( (^) x 2
cos( x ) 1 + cos( x )
dx =
1 − y^2 1 + y^2
dy
∫ (^2
1 + y^2
dy = 2 arctan( y ) − y
= x − tan
( (^) x 2
b) Como la función es par en seno y coseno, utilizamos el cambio tan( x ) = t ,
∫ 1 + tan( x ) 1 − tan( x ) dx^ =
1 + t (1 − t )(1 + t^2 )
dt
t t^2 + 1
t − 1
dx
= 12 log
tan^2 ( x ) + 1
− log (tan( x ) − 1).
c) El integrando es par pero antes de hacer el cambio y = tan( x ) lo “arreglamos” un poco. ∫ (^) dx 1 + cos^2 (3 x ) =^ [3 x^ =^ t ]^ =^
∫ (^) dt 1 + cos^2 ( t ) =^
[
tan( t ) = y
]
∫ (^) dy 2 + y^2
eliminamos el 2 del denominador buscando un arcotangente,
dy 2
( (^) y √ 2
) 2 )^ =^
[
y =
2 z
]
dz 1 + z^2
arctan
tan(3 x ) √ 2
d) Aprovechamos que el integrando es una función par en seno y coseno para realizar el cambio de variable tan( x ) = t , ∫ (^) dx
3 sen^2 ( x ) + 5 cos^2 ( x )
cos^2 ( x ) dx 5 + 3 tan^2 ( x )
= [tan( x ) = t ]
dt 5 + 3 t^2
dt 5
1 + 35 t^2
[
y =
3 5 t
]
= √^1
dy 1 + y^2
= √^1
arctan
3 5 tan( x )
e) Utilizamos las fórmula del ángulo doble, y hacemos el cambio de variable y = sen^2 ( x ),
Cálculo de primitivas
sen(2 x ) 1 + sen^2 ( x )
dx =
2 sen( x ) cos( x ) 1 + sen^2 ( x )
dx =
dy 1 + y
= log | 1 + y | = log
1 + sen^2 ( x )
2.5 Integración de funciones irracionales
Ejercicio 15. Calcula las siguientes primitivas
a)
∫ (^) x 3 √ x − 1 dx b)
∫ (^) dx √ x + 1 +^ √( x +1) 3
c)
∫ (^) dx √ x + √ (^3) x d)
∫ √ x + 1 + 2 ( x +1)^2 −√ x + 1 dx
Solución 15.
a) Hacemos el cambio de variable x − 1 = t^2 ∫ (^) x 3 √ x − 1
dx = 2
( t^2 + 1)^3 dt =
− 1 + x
35 +^
16 x 35 +^
12 x^2 35 +^
2 x^3 7
b) Hacemos el cambio de variable x + 1 = t^2 , ∫ dx √ x + 1 +
( x + 1)^3
dt 1 + t^2
= 2 arctan ( t ) = 2 arctan
x + 1
c) Utilizando el cambio de variable x = t^6 , ∫ 1 √ x + 3
x
dx =
6 t^3 t + 1
dt = 6
t^2 − t + 1 − 1 t + 1
dt
t^3 3
− t
2 2
x − 3 3
x + 6
x − log
x + 1
d) Hacemos el cambio de variable x + 1 = t^2 , ∫ √ x + 1 + 2
( x + 1)^2 −
x + 1
dx =
∫ (^2) t ( t + 2) t^4 − t dt^ =
∫ (^ − 2 t − 2 t^2 + t + 1 +^
t − 1
dt
= − log
t^2 + t + 1
arctan
2 t + 1 √ 3
= − √^2
arctan
x + 1 √ 3
+^ 2 log^
x + 1 + 1
− log
x + 1 + x + 2
Ejercicio 16. Calcula las siguientes primitivas
a)
∫ (^) x (^2) dx √ x (^2) − x + 1 b)
∫ (^) dx x^5 √ x^2 − 1 c)
∫ (^) x 5 √ 1 − x^2 dx
d)
∫ (^) x 6 √ 1 + x 2 dx
Solución 16.
Un poco de todo
c)
0 √^ dx 9 − x^2 =^
π 2
d)
0 √^ x^2 1 − x^6 dx^ =^
π 6
e)
1
x − 1 x^3 − 3 x^2 + x + 5 dx^ =^
3 π+log(2) 10
f)
0
x 3 + x^4 dx^ =
√ 3 π 12
g)
−∞
dx ex + e − x^ =^
π 2
Solución 17.
a) Ya sabemos la primitiva de esta función, la calculamos en el Ejercicio 9 b, con lo que ∫ (^1)
0
dx 1 + ex^
= [ x − log ( 1 + ex )]^10 = 1 − log(1 + e ) + log(2) = 1 + log
1 + e
b) Teniendo en cuenta que 20 − 8 x + x^2 = 36 − ( x − 4)^2 , y haciendo el cambio de variable y = x − 4 se tiene que ∫ (^1) / 2
0
dx √ 20 + 8 x − x^2
0
dx √ 36 − ( x − 4)^2
− 4
dy √ 36 − y^2
− 4
dy 6
( (^) t 6
hacemos el cambio t = y / 6 ,
− 2 / 3
dt √ 1 − t^2
= arcsen
− arcsen
c)
0 √^ dx 9 − x^2 =^
0
dx 3
1 −( 3 x )^2
[ (^) x 3 =^ y
]
0 √^ dy 1 − y^2 =^ arcsen(1)^ −^ arcsen(0)^ =^
π 2
d)
0 √^ x^2 1 − x^6 dx^ =^
[
y = x^3
]
0 √^ dy 1 − y^2 =^
1 3 (arcsen(1)^ −^ arcsen(0))^
π 6
e) Descomponemos (^) x (^3) − 3 xx − (^21) + x + 5 como suma de fracciones simples:
x − 1 x^3 − 3 x^2 + x + 5
= A
x + 1
- Bx^ +^ C x^2 − 4 x + 5 Desarrollando se obtiene que A = − 15 , B = 15 y C = 0. Entonces ∫ (^) x − 1 x^3 − 3 x^2 + x + 5 dx^ =
x x^2 − 4 x + 5 −^
x + 1 dx^ (2)
= − 1 5
log | x + 1 | + 1 5
x x^2 − 4 x + 5
dx.
Calculamos por separado una primitiva de ∫ x x^2 − 4 x + 5
dx = 1 2
(2 x − 4) + 4 x^2 − 4 x + 5
dx = 1 2
log
x^2 − 4 x + 5
dx x^2 − 4 x + 5
Un poco de todo
completamos cuadrados x^2 − 4 x + 5 = ( x − 2)^2 + 1 ,
log
x^2 − 4 x + 5
dx 1 + ( x − 2)^2
= 1 2
log
x^2 − 4 x + 5
Usando (2) y (3), ∫ (^) +∞
1
x − 1 x^3 − 3 x^2 + x + 5 dx = 1 5
[
− log | x + 1 | + 1 2
log
∣ (^) x^2 − 4 x + 5
∣ (^) + 2 arctan( x − 2)
]+∞
1
=
log
x^2 − 4 x + 5 x + 1
+ arctan( x − 2)
+∞
1
3 π + log(2)
f) Utilizando el cambio de variable y = x^2 pasamos a una integral sencilla: ∫ (^) +∞
0
x 3 + x^4
dx = (^12)
0
dy 3 + y^2
y →^ lim+∞ arctan( y )^ −^ arctan(0)
3 π
g) Usamos el cambio de variable ex^ = t , ∫ (^) +∞
−∞
dx ex^ + e − x^ =
0
dt 1 + t^2
= (^) x lim→+∞ arctan( t ) − arctan(0) = π 2.
Ejercicio 18. Prueba que existen las siguientes integrales y que tienen el valor que se indica en cada caso:
a)
− 1
1 − x^2 dx = π 2
b)
∫ (^) π −π(1^ +^ cos( x ))
(^2) dx = 3 π
c)
∫ (^) π/ 2 −π/ 2 |^ sen( x )|
(^3) dx = 4 3
d)
∫ (^) π/ 2 0 sen
(^2) ( y ) cos (^2) ( y ) dy = π 16
Solución 18.
a) Mediante el cambio de variable x = sen( t ), nos queda que ∫ (^1)
− 1
1 − x^2 dx =
∫ (^) π/ 2
−π/ 2
cos^2 ( t ) dt =
∫ (^) π/ 2
−π/ 2
2 (1^ +^ cos(2 t ))^ dt^ =^
π
b) Desarrollamos el cuadrado,
∫ (^) π
−π
(1 + cos( x ))^2 dx =
∫ (^) π
−π
1 + 2 cos( x ) + cos^2 ( x ) dx
∫ (^) π
−π
1 + 2 cos( x ) +
2 (1^ +^ cos(2 x ))^ dx^ =^3 π.
