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INTEGRALES RACIONALES.
Son integrales del tipo : con P(x) y Q(x) funciones polinómicas.
Suelen ser largas de cálculo, por lo que se convierten en un peñazo, pero a cambio son muy mecánicas y si te aprendes la técnica, son todas iguales y siempre salen.
Racionales Básicas. Debemos aprender algunas elementales para empezar:
I) Del tipo estas integrales son inmediatas del tipo
EJEMPLO:
EJEMPLO:
II) Del tipo Son inmediatas del tipo
EJ:
EJ:
Si fuera un poquito más complicada , siempre podríamos
hacer un cambio de variable sencillito ax+b=t y sería como las anteriores.
EJ:
III) Del tipo
Éstas son más complicadas y son del tipo ( OJO: Si tuviera raíces reales no sería de este tipo Arcotangente, se haría de otra forma porque se podría factorizar el denominador)
Debemos arreglar la integral para que quede de la forma:. Esto se consigue haciendo
un cuadrado perfecto en el denominador (un producto notable + 1). Puede ser sencillo:
EJ:
Si no es tan evidente, un buen método puede ser el que vamos a ver con el siguiente ejemplo:
EJ: ( Multiplicamos numerador y denominador por 4a ) = Como podemos escribir: =
IV) Del tipo Son las más complicadas de todas y se hacen separándolas en dos integrales, una del
tipo logaritmo neperiano y otra del tipo Arcotangente
-Para obtener el logaritmo neperiano debemos conseguir que arriba aparezca la derivada del de abajo. Una vez conseguido esto lo que quede será una del tipo arcotangente.
EJEMPLO: Debemos conseguir que arriba quede (4x+3) , que
es la derivada del denominador.
-Las dos integrales que me han quedado son de los tipos anteriores y por tanto se pueden hacer siempre.
INTEGRALES RACIONALES EN GENERAL.
Para resolver una integral de tipo racional en general debemos recordar de 1º de Bachillerato cómo se descomponía una fracción algebraica como suma de fracciones simples, por lo que si conseguimos esto habremos convertido la integral en suma de integrales más sencillas como las de los tipos I , II , III y IV anteriores.
CASO-1 Sea con grado de P(x) menor que grado de Q(x): 1º .- Se descompone el denominador en producto de factores, y dependiendo de que salgan raíces simples, múltiples o complejas, puede quedar algo así:
En este caso hay dos raíces simples x 1 y x 2 ; una doble x 3 ; una triple x 4 y lo que queda no es factorizable porque sus raíces son complejas.
2º.- Se separa en tantas fracciones como factores tenga el denominador:
CASO-2 Sea con grado de P(x) mayor o igual que grado de Q(x):
En este caso se podrá hacer la división de P(x) entre Q(x) dando lugar a un cociente C(x) y un resto R(x).
Como sabemos: luego: y por lo tanto:
De esta forma, si tenemos que hacer una integral de este tipo, se separa en dos: una de ellas
será un polinomio C(x) que es fácil de integrar y la otra es una fracción como el CASO-
ya que el grado del Resto siempre es menor que el grado del Divisor.
EJEMPLO:
En primer lugar hagamos la división:
Resolviendo se obtiene: A=1 ; B= -1 ; C=
SOLUCIÓN :
2x - 1
