Interacción Numérica, Apuntes de Métodos Numéricos

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INTEGRACIÓN NUMÉRICA

MÉTODO DE TRAPECIO

• FÓRMULA

MÉTODO DE TRAPECIO (ejemplo)

Sabemos que a= 1 , b= 2 y n= 8 , con fórmula

Construyo tabla de valores a sustituir:

20/05/2020 I.Q. XDMR 4

𝒏 𝒙𝒌 𝒇(𝒙𝒌) 0 𝟏 𝒇 𝟏 = 𝒙𝟑^ = (𝟏)𝟑 (^1) 𝟏 + 𝟏ൗ^ 𝟖

= 𝟗ൗ^

𝟑

𝟑 = 𝟏. 𝟒𝟐𝟑𝟖𝟐𝟖 2 𝟗ൗ^ 𝟖

+ 𝟏ൗ^

= 𝟏𝟎ൗ^

𝟑 = 𝟏. 𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓 3 𝟏𝟏ൗ^ 𝟖

4 𝟏𝟐ൗ^

5 𝟏𝟑ൗ^

6 𝟏𝟒ൗ^

7 𝟏𝟓ൗ^

8 𝟏𝟔ൗ^

MÉTODO DE TRAPECIO (ejemplo)

Con los datos calculados sustituimos en fórmulas:

= 𝟏 𝟏𝟔 𝟏 + 𝟐. 𝟖𝟒𝟕𝟔𝟓𝟔 + 𝟑. 𝟗𝟎𝟔𝟐𝟓 + 𝟓. 𝟏𝟗𝟗𝟐𝟏𝟖 + 𝟔. 𝟕𝟓 + 𝟖. 𝟓𝟖𝟐𝟎𝟐 + 𝟏𝟎. 𝟕𝟏𝟖𝟕𝟓 + 𝟏𝟑. 𝟏𝟖𝟑𝟓𝟗𝟒 + 𝟖 = 𝟏 𝟏𝟔 𝟔𝟎. 𝟏𝟖𝟕𝟒𝟖𝟖 = 𝟑. 𝟕𝟔𝟏𝟕𝟏𝟖

MÉTODO DE SIMPSON 1/

• FÓRMULA 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) 𝟑𝒏 𝒇 𝒙𝟎 + 𝟒𝒇 𝒙𝟏 + 𝟐𝒇 𝒙𝟐 + 𝟒𝒇 𝒙𝟑 + 𝟐𝒇 𝒙𝟒 … + 𝟒𝒇 𝒙𝒏−𝟐 + 𝟐𝒇 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒇 𝒙𝒏

MÉTODO DE SIMPSON 1/3 (ejemplo)

Utilice la regla de Simpson 1 / 3 para aproximar con n= 8 y

compare con el resultado integrando directamente, obtenga errores. Utilice 6

decimales.

Obtenemos la integral directa:

𝟏 𝟐

𝟑

𝟒

𝟒

𝟏

MÉTODO DE SIMPSON 1/3 (ejemplo)

Con los datos calculados sustituimos en fórmulas:

= 𝟏 𝟐𝟒 𝟏 + 𝟓. 𝟔𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐 + 𝟑. 𝟗𝟎𝟔𝟐𝟓 + 𝟏𝟎. 𝟑𝟗𝟖𝟒𝟑𝟔 + 𝟔. 𝟕𝟓 + 𝟏𝟕. 𝟏𝟔𝟒𝟎𝟒 + 𝟏𝟎. 𝟕𝟏𝟖𝟕𝟓 + 𝟐𝟔. 𝟑𝟔𝟕𝟏𝟖𝟖 + 𝟖 = 𝟏 𝟐𝟒 𝟖𝟗. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟕𝟔 = 𝟑. 𝟕𝟒𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑰 = (𝒃 − 𝒂) 𝟑𝒏 𝒇 𝒙𝟎 + 𝟒𝒇 𝒙𝟏 + 𝟐𝒇 𝒙𝟐 + 𝟒𝒇 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝟐𝒇 𝒙𝒏−𝟐 + 𝟒𝒇 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒇 𝒙𝒏

Sabemos que la integral original es:

Cálculo de errores:

Para obtener el error de truncamiento primer obtenemos 𝒇

′′

𝑬𝒂𝒃𝒔 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐 − 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐 = 𝟑. 𝟕𝟓 − 𝟑. 𝟕𝟒𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 𝑬𝒓𝒆𝒍 % = 𝑬𝒂𝒃𝒔 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐 ∗ 𝟏𝟎𝟎% = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟑. 𝟕𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟎% = 𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝒙𝟏𝟎

= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔% 𝒇 (𝟒) 𝝃 = ׬ 𝒂 𝒃 𝒇 𝑰𝑽 𝒙 𝒅𝒙 (𝒃 − 𝒂) ′′ = ׬ 𝟏 𝟐 𝟎 𝒅𝒙 (𝟐 − 𝟏) = 𝟎 𝟏 = 𝟎

𝟑

𝟐

′′

𝑬𝒕𝒓𝒖𝒏𝒄𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝒃 − 𝒂 𝟓 𝟏𝟖𝟎𝒏 𝟒 𝒇 𝟒 𝝃 = 𝟐 − 𝟏 𝟓 𝟏𝟖𝟎 𝟖 𝟐 𝟎 = 𝟎

′′′

𝑰𝑽

Al darnos ceo en error de truncamiento nos dice que no existe aportación del error de truncamiento a los valores de error

absoluto o relativo así que pueden deberse a errores de otra índole como redondeo, etc.