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cálculo financiero
P R O E S A D
Sesión
interés siMPle
1. introDucción
Existen dos modalidades básicas de interés: el interés simple y el interés compuesto , los cuales difieren en la base sobre la cual se calculan los intereses devengados. En este capítulo, nos ocuparemos del interés simple.
El interés simple es el importe que produce un capital generado por una tasa de interés nominal j durante un plazo determinado, en una operación cuya característica fundamental es que dicho capital permanece constante hasta el vencimiento de la misma. La capitalización , que es la adición del interés ganado al capital original, se produce únicamente al término de todo el plazo de la operación.
La capitalización simple es una fórmula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (períodos menores de un año), ya que para períodos más largos se utiliza la “capitalización compuesta o interés compuesto”, que veremos en el siguiente capítulo.
2. interés con PrinciPal Y tasa noMinal constante
Se supone que durante el horizonte temporal de la cuenta a interés simple:
- El principal permanece invariable antes del cierre de la cuenta.
- La tasa de interés nominal j anunciada que se aplica sobre el principal no sufre variaciones.
La fórmula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es la siguiente:
I = Pjn (1) Donde:
“ I ” son los intereses que se generan “ P ” es el capital inicial o principal (en el momento t=0) “ j ” es la tasa de interés nominal que se aplica “ n ” es el tiempo que dura la inversión
U n i v e r s i d a d P e r u a n a U n i ó n
unidad ii
La fórmula anterior calcula el interés simple cuando el principal y la tasa de interés nominal no varían durante el tiempo, cuyo resultado es proporcional al tiempo y al importe del principal; lo que significa que a mayor plazo de vigencia de la cuenta, se percibe mayor interés.
Al utilizar la fórmula (1), se deben tener en cuenta dos aspectos básicos:
- La j se debe utilizar en forma decimal, es decir, sin el símbolo de porcentaje (%). Recuerde que para convertir un porcentaje a forma decimal, éste se divide entre 100.
- La tasa de interés y el tiempo debe estar expresados en la misma unidad de tiempo. Si la tasa es anual, el tiempo debe ir en año, si la tasa es mensual, el tiempo irá en meses, etc.
Dado que la tasa de interés nominal puede referirse a diferentes plazos, se designará con las siguientes siglas:
tabla 1
Plazos de la tasa de interés nominal
ejemplo 1
cálculo del interés (i)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a pagar en un año, a una TNA de 30%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses?
solución: Los datos son:
I =? P = $5. TNA = 30% n = 1 año
La unidad de tiempo de j y n coincide. Por tanto, reemplazando los valores en la ecuación (1) se tiene:
I = 5.000 * 0,30 * 1 = $1.
Carlos pagará al final del plazo $1.500 de interés.
tasa nominal siglas Anual TNA Semestral TNS Cuatrimestral TNC Trimestral TNT Bimestral TNB Mensual TNM Quincenal TNQ Diaria TND
U n i v e r s i d a d P e r u a n a U n i ó n
unidad ii
2.1. calculando el capital inicial o principal (P)
La fórmula que nos sirve para calcular el capital inicial o principal:
P
I
j n
ejemplo 1
cálculo del capital inicial (P)
Por un préstamo que se solicitó al BWS a pagar en un año, Carlos Portanova pagó $1. de interés, ¿qué cantidad se pidió prestado si el banco aplica una TNA del 30%.
solución:
Los datos son:
P =? TNA = 30% I = $1. n = año
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene:
P =
Carlos pidió prestado la suma de $5.000.
ejemplo 2
cálculo del capital inicial (P)
¿A cuánto asciende un préstamo solicitado por Luis Alberto al BWS a pagar en cuatro meses a una TNS de 18%, si el banco durante dicho período me cobró un interés de $1.200?
solución:
Los datos son:
P =?
TNS = 18%
I = 1.
n = 4 meses
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene:
cálculo financiero
P R O E S A D
P =
El préstamo solicitado asciende a $10.000.
ejemplo 3
cálculo del capital inicial (P)
¿A cuánto asciende una inversión que se efectúo el 13 de febrero a una TNM del 2%, si para el 27. de noviembre había ganado $382,67. de interés?
solución:
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene:
P =
La inversión efectuada el 13 de febrero asciende a $2.000, el mismo que devenga un interés de $382,67. en 287. días.
2.2. calculando la tasa de interés (j)
La fórmula a utilizar para calcular la tasa de interés es la siguiente:
j
I
P n
ejemplo 1
cálculo de la tasa de interés (j)
Por un préstamo de $5.000 que se solicitó al BWS a pagar en un año, Carlos Portanova pagó $1.500 de interés, ¿qué TNA aplicó el banco?
solución:
Los datos son:
j =? P = $5. I = $1. n = 1 año
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (3), se obtiene:
cálculo financiero
P R O E S A D
2.3. calculando el tiempo (n)
La fórmula que nos permite para calcular el tiempo (n) es la siguiente:
n
I
P i
ejemplo 1
cálculo del tiempo (n)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a una TNA de 30%. Si el banco cobra $1.500 de interés, ¿cuántos años duró la deuda?
solución:
Los datos son:
n =? TNA = 30% P = $5. I = $1.
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (4), se obtiene:
n = =
La deuda tuvo una duración de un año.
ejemplo 2
cálculo del tiempo (n)
Luis Alberto solicitó un préstamo al BWS por $10.000 a una TNS de 18%. Si el banco le cobró $1.200 de interés, ¿cuántos meses se mantuvo la operación?
Solución:
Los datos son:
n =? TNS = 18% P = $10. I = $1.
Al sustituir los valores numéricos en la ecuación (4), se tiene:
U n i v e r s i d a d P e r u a n a U n i ó n
unidad ii
n = =
La operación duró cuatro meses.
ejemplo 3
cálculo del tiempo (n)
El 13 de febrero se efectúo una inversión por $2.000 a una TNM de 2%. Si pasado cierto tiempo he ganado $382,67. de interés, ¿cuántos días se mantuvo la inversión?
solución:
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene:
n = =
La inversión se mantuvo 287. días.
3. interés con PrinciPal constante Y tasa noMinal variaBle
En los ejemplos anteriores se calculo el interés cuando el principal y la tasa nominal son constantes, pero ¿cómo debe calcularse el interés simple cuando una persona coloca una inversión a un plazo fijo al cual no pueden efectuársele cargos o abonos luego de la apertura y antes del término del horizonte temporal, mientras que la tasa de interés está sujeta a las variaciones del mercado?
Cuando en el horizonte temporal de la cuenta el principal no cambia y se produce variaciones en la magnitud de la tasa de interés nominal, cuyos respectivos plazos pueden cambiar, por ejemplo de TNA a TNS a TNM, etc. (j tiene un comportamiento variable), el interés simple se obtiene al modificar de manera conveniente F, de acuerdo con el plazo de j para que n pueda incluir los plazos de vigencia de las tasas variables durante el horizonte temporal. La fórmula que calcula el interés generado en un horizonte temporal cuando las tasas o los períodos de tasa son variables es la siguiente:
I P j
h k F
k k k
z = ∗
=
∑ 1
Donde:
“z” es el número de subhorizontes, donde la j no sufre variaciones “jk” es la tasa nominal anunciada vigente en k-ésimo horizonte “nk” es el número de periodos de la tasa jk en k-ésimo horizonte “F” es el plazo de la tasa de interés nominal
U n i v e r s i d a d P e r u a n a U n i ó n
unidad ii
solución:
Los datos son:
I =? P = $5. TNA 1 = 28% TNS 2 = 12,5% TNT 3 = 5,5% h 1 = 146 h 2 = 7. 3 h 3 = 68
Este problema es el mismo al ejemplo anterior, en cuanto a horizonte y subhorizontes temporales. Un horizonte temporal total de 287. días y tres subhorizontes de 146, 7.3 y 68 días.
Lo que cambia son las tasas nominales, manteniéndose el principal constante. Reemplazando los valores en la ecuación (5) se tiene:
I = + +
Se puede observar que el resultado es el mismo al del ejemplo anterior. Ante esto surge una pregunta: ¿cómo puede la operación tener el mismo resultado si las tasas nominales son variables? La respuesta es que dichas tasas son equivalentes.
Por ejemplo, la TNA de 25% del ejemplo anterior es equivalente a la TNS de 12,5% del ejemplo actual y la TNA de 22% es equivalente a la TNT de 5,5%.
Para calcular la TNS equivalente de una TNA de 25%, se procede de la siguiente manera:
TNS =
y para calcular la TNT equivalente de una TNA de 22%, se procede de la siguiente manera:
TNS =
De lo anteriormente expuesto, se concluye que el interés generado asciende a $1.029,03.
4. Monto o valor futuro siMPle con PrinciPal Y tasa noMinal variaBle
A la suma del capital más el interés simple ganado se le llama monto simple o valor futuro simple, y se simboliza mediante la letra S. por tanto,
S = P + I (6)
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P R O E S A D
Al sustituir la ecuación (1) en la (5) se obtiene:
S = P + Pjn
Factorizando la expresión anterior se tiene:
S = P[1 + jn] (7)
Las ecuaciones (6) y (7.) indican que si un capital se presta o invierte durante un tiempo n, a una tasa de interés de j% por unidad de tiempo, entonces el capital P se transforma en una cantidad S al final del tiempo n. Debido a esto, se dice que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. Recuerde un dólar hoy vale más que un dólar mañana.
ejemplo 1
cálculo del monto o valor futuro (s)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a pagar en un año, a una TNA de 30%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo?
solución:
Los datos son:
S =? P = $5. TNA = 30% n = 1 año
El monto o valor futuro se puede obtener de dos maneras, veamos cada una de ellas:
Método 1
En primer lugar hallamos el interés, el cual es como sigue:
I = 5.000 * 0,30 * 1 = $1.
Utilizando la ecuación (6) para calcular el valor futuro, se tiene:
S = 5.000 * 0,30 * 1 = $6.
Método 2
El monto o valor futuro se obtiene directamente utilizando la ecuación (7.):
S = 5.000[1 + 0,30 * 1] = $6.
Carlos pagará al final del plazo un monto de $6.500.
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P R O E S A D
ejemplo 1
cálculo del monto cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés simple. La TNA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27. de noviembre. Calcule el monto en la fecha de cierre.
solución:
Los datos son:
S =?
P = $
TNA 1 = 28%
TNA 2 = 25%
TNA 3 = 22%
h 1 = 146 h 2 = 7. 3 h 3 = 68
Reemplazando los valores en la ecuación (8) se tiene:
S = + + +
^
El monto asciende a $6.029,03.
ejemplo 2
cálculo del monto cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000, en un banco que paga una tasa de interés nominal variable. La cuenta se cierra el 27. de noviembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
tasa a partir del TNA 28,0% 13/ TNS 12,5% 09/07. TNT 5,5% 20/
Calcule el monto en la fecha de cierre.
U n i v e r s i d a d P e r u a n a U n i ó n
unidad ii
solución:
Los datos son:
S =? P = $5. TNA 1 = 28% TNS 2 = 12,5% TNT 3 = 5,5% h 1 = 146 h 2 = 7. 3 h 3 = 68
Reemplazando los valores en la ecuación (8) se tiene:
S = + + +
^
El monto asciende a $6.029,03.
6. valor Presente o valor actual siMPle con PrinciPal Y tasa
noMinal constante
El siguiente ejemplo servirá para mostrar el significado del concepto de valor presente, llamado también valor actual.
Suponga que usted, el día de hoy recibe un préstamo de $20.000 a 10 meses de plazo y con una tasa de interés simple de 2% mensual. El monto a pagar será:
S = 20.000[1 + 0,02 * 10] = $24.
Por el capital prestado usted deberá pagar $24.000 dentro de 10 meses. $24.000 es el monto o valor futuro (S) de $20.000. Recíprocamente, se dice que $20.000 es el valor presente o valor actual (P) de $24.000.
La formula para hallar el valor actual simple, se puede hallar despejando P en la ecuación (7.):
P S
jn
ejemplo 1
cálculo del valor presente o valor actual (P)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS a pagar en un año. Si el banco cobra una TNA de 30% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $6.500, ¿qué principal fue lo que solicitó Carlos al BWS?
U n i v e r s i d a d P e r u a n a U n i ó n
unidad ii
ejemplo 3
cálculo del valor presente o valor actual (P)
¿Qué principal tuvo que ser depositado el 13 de febrero, si fue invertido a una TNM del 2%, para que el 27. de noviembre tenga un monto de $2.382,67.?
solución:
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (9), se obtiene:
P =
El 13 de febrero tuvo que depositarse la suma de $2.000.
7. valor Presente o valor actual siMPle con PrinciPal constante Y
tasa noMinal variaBle
El valor presente o valor actual cuando se presentan variaciones en la tasa nominal y el principal constante P que lo produjo puede calcularse con la fórmula siguiente:
P S
j
h k F
k k k
= z
∑
1
ejemplo 1
cálculo del valor actual cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se efectúa un depósito bajo un régimen de interés simple. La TNA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27. de noviembre, la misma que ascendía a un monto de $6.029,03. Calcule la cantidad que tuvo que depositarse el 13 de febrero.
solución:
Los datos son:
P =?
S = $6.029,
TNA 1 = 28%
TNA 2 = 25%
cálculo financiero
P R O E S A D
TNA 3 = 22%
h 1 = 146 h 1 = 7. 3 h 1 = 68
Reemplazando los valores en la ecuación (10) se tiene:
P =
El 13 de febrero tuvo que depositarse la suma de $5.000.
ejemplo 2
cálculo del valor actual cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se abre una cuenta en un banco que paga una tasa de interés nominal variable. La cuenta se cierra el 27. de noviembre. Al término del plazo el monto de la cuenta asciende a $6.029,03; asimismo, se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
tasa a partir del TNA 28,0% 13/ TNS 12,5% 09/07. TNT 5,5% 20/
Calcule la cantidad que fue depositado en el banco.
solución:
Los datos son:
P =? S = $6.029, TNA 1 = 28% TNS 2 = 12,5% TNT 3 = 5,5% h 1 = 146 h 2 = 7. 3 h 3 = 68
Reemplazando los valores en la ecuación (10) se tiene:
P =
La cantidad que fue depositado en el banco asciende a $5.000.
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P R O E S A D
El diagrama de tiempo sería el siguiente:
El 0 representa el momento actual o presente y X representa la cantidad total por pagar el día de hoy para saldar la deuda; esto es, el pago propuesto. La cantidad indica que el valor futuro de $13.400 se traslada al momento actual, debido a que este punto se ha tomado como fecha focal. Trasladar un valor futuro al momento actual significa que se obtiene el valor actual del monto, dos meses antes de su vencimiento. Esto es:
P =
Al trasladar el monto (valor futuro) a la fecha focal, todas las cantidades (7..200, 12.87.7., y X) se encuentran, ya en una fecha común en la que es posible su comparación y, por tanto, se puede plantear la ecuación de valor siguiente:
Valor total de las deudas = Valor total de las deudas Originales propuestas
Esto es:
= X
X = $20.07.7.,
Esta persona tendrá que pagar $20.07.7.,19 el día de hoy y saldar así la deuda.
Anteriormente, se sabía que el resultado depende de la localización de la fecha focal y que si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en otro momento. Para demostrar esta afirmación, consideremos ahora como fecha focal al final de los primeros 30 días; esto es, el primer mes.
En este caso se debe obtener el valor futuro de $7..200 por 1 mes; el valor futuro de X por 1 mes; en cambio a los $13.400 le obtenemos su valor presente por 1 mes. La ecuación de valor sería:
meses Deuda propuesta
Deuda original
x
U n i v e r s i d a d P e r u a n a U n i ó n
unidad ii
^
^
X
X
X
Se observa que en este caso el resultado varía. Esto puede suceder, de hecho sucede, utilizando interés simple.
ejemplo 2
ecuaciones de valor equivalentes
El día 29 de setiembre la empresa Los Amigos S.A.C., tiene una deuda con el Banco Santander de $4.000 que vence el 15 de octubre y otra deuda de $5.000 que vence el 15 de noviembre. Los Amigos S.A.C., renegoció con el banco y consolidó sus deudas en una sola cuenta a interés simple con vencimiento al 30 de diciembre del mismo año, a una TNA constante de 24%. Se requiere saber el monto que cancelará Los Amigos S.A.C. el 30 de diciembre.
solución:
En el problema el día 30/12 parece una fecha focal “natural”, aunque puede elegirse cualquier momento como fecha focal.
Si elegimos como fecha focal el 30/12, entonces la deuda de $4.000 que vence el 15/ y la deuda de $5.000 que vence el 15/11, la tenemos que trasladar hasta la fecha focal.
Por tanto, se puede plantear la siguiente ecuación de valor:
^
^
X
X 667
Los Amigos S.A.C., tendrá que pagar el 30 de diciembre la suma de $9.352,67..
