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UNIDAD 6: INTERÉS SIMPLE
El interés es el beneficio o la cantidad de dinero que se cobra cuando se presta el dinero o cuando se deposita en un banco durante un tiempo establecido. También se le llama interés a la cantidad de dinero que se tiene que pagar cuando se utiliza el dinero ajeno. En un negocio de préstamo o depósito a interés, los elementos que intervienen son los siguientes: Capital (C): Es la cantidad de dinero prestado, depositado o tomado en calidad de préstamo. Tasa de interés (i): Es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada $100, también llamada por ciento (%). Tiempo (t): Período durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y genera intereses. Interés (I): Es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del capital durante todo el tiempo. El interés, puede ser simple o compuesto. El interés es simple cuando se calcula sobre un capital inicial que permanece invariable y siempre será el mismo en cada intervalo igual de tiempo. Dicho interés no se reinvierte y cada vez se calcula sobre la misma base. En esta parte sólo trataremos el interés simple y más adelante abordaremos el interés compuesto 6.1 INTERÉS SIMPLE El interés (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo (t), y a la tasa de interés (i): Esto significa que mientras mayor es la cantidad invertida mayor es el beneficio que se obtiene. Mientras mayor es el tiempo de la inversión mayor es el beneficio y mientras mayor es la tasa de interés a la que se invierte, mayor es el beneficio. O sea: I = C · i · t 6.2 TIEMPO EXACTO Y TIEMPO APROXIMADO Cuando hay que calcular la cantidad de días transcurridos entre dos fechas dadas, éste cálculo se puede hacer de manera aproximada o en forma exacta a) Tiempo aproximado: El tiempo aproximado transcurrido entre dos fechas dadas, se calcula en base al año de 360 días. En este caso se considera que cada mes tiene 30 días. Ejemplo 1 : Calculemos en forma aproximada la cantidad de días transcurridos desde el 5 de marzo hasta el 8 de julio del mismo año. Si se trata de una inversión, la cantidad invertida ganaría intereses durante el tiempo siguiente: Si la inversión se hace el 5 de marzo, en este mes se gana interés durante 25 días. En el mes de abril se gana interés durante 30 días al igual que en mayo y en junio. En julio sólo se ganaría interés por los días transcurridos, que son 8. Sumando estos días tendremos: Marzo: 25 días Abril: 30 días Mayo: 30 días Junio: 30 días Julio: 8 días Total: 123 días
También podemos calcular el tiempo aproximado, restando a la fecha más avanzada ( 8 de julio), la fecha anterior (3 de marzo). En este caso: Años meses días. ____ 7 8 ____ 3 5 4 meses 3 días Teniendo en cuenta que cada mes tiene 30 días, en 4 meses y 3 días hay 4x30 +3= 123 días Ejemplo 2 : Calcular el tiempo aproximado transcurrido desde el 5 de marzo del año 2013 al 15 de abril del año 2016 2016 4 15 2013 3 5 3 años 1 mes 10 días 3x360 +1x30 +10= 1,120 días b) Tiempo exacto: El tiempo exacto transcurrido entre dos fechas dadas, se calcula tomando como base el año de 365 días y 366 días en el caso del año bisiesto. En el ejemplo 1, la cantidad de días exactos transcurridos desde el 5 de marzo hasta el 8 de julio, serán: En marzo que tiene 31 días, se obtiene beneficios por 26 días. En abril por 30 días, en mayo por 31, en junio por 30 y en julio por los 8 días transcurridos, o sea: Marzo,,,,,,,,,,26 días Abril………. 30 días Mayo…….. .31 días Junio ……...30 días Julio ………. 8 días Total……..125 días Para calcular el número de días exactos, podemos auxiliarnos de la tabla de la izquierda, donde aparecen numerados cada uno de los días del año. Para calcular el número exacto de días transcurridos desde el 5 de marzo al 8 de agosto del mismo año, sólo tenemos que restar los números con que están marcadas cada una de estas fechas: El 8 de julio está marcado con el número 189 y el 5 de marzo está marcado con el número 64, por tanto: 189-64=125 días. Esta cantidad es igual a la obtenida calculando los días transcurridos en cada mes Ejemplo: Calculemos ahora el interés que se obtiene al invertir $5,000 al 8% desde el 5 de marzo al 8 de julio del mismo año Tabla para calcular el tiempo exacto transcurrido Nino entre dos fechas dadas Dias En. Feb. Mar. Abril Mayo Jun Julio Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. 1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 31 31 90 151 212 243 304 365
Veamos algunos ejercicios con el objetivo de practicar el manejo del tiempo. Conviene recordar que para operar con la tasa de interés, hay que expresarla primero, en forma fraccionaria o en forma decimal. No se puede operar con el símbolo: % En los ejemplos siguientes, la tasa dada es i=5%, por lo que operamos con 5/100 ó con 0.05.Obtenga el resultado en cada caso Ejemplo 1 ¿Qué interés simple se obtiene cuando se invierten $25,000 al 5% durante 4 años? En este caso la tasa de interés no indica el tiempo, se entiende que es anual y el tiempo está dado en años. Están en la misma unidad, por tanto, no hay que hacer conversión. I=$25,000x____x____=$5, Ejemplo 2 ¿Qué interés simple se obtiene cuando se invierten $25,000 al 5% durante 7 meses? La tasa de interés está dada en años y el tiempo está dado en meses, por tanto, hay que convertir de meses a años I=$25,000x0.05 ___ ____= Ejemplo 3 ¿Qué interés simple se obtiene cuando se invierten $25,000 al 5% durante 45 días? La tasa de interés está dada en años y el tiempo está dado en días, por tanto, hay que convertir de días a años I=$25,000x0.05x____ ____=____ Ejemplo 4 ¿Qué interés simple se obtiene cuando se invierten $25,000 al 5% mensual durante 4 años? La tasa de interés está dada en meses y el tiempo está dado en años, por tanto, hay que convertir de años a meses I=$25,000x0.05x4x____= Ejemplo 5 ¿Qué interés simple se obtiene cuando se invierten $25,000 al 5% mensual durante 7 meses? La tasa de interés está dada en meses y el tiempo está dado en meses, por tanto, no hay que convertir I=$25,000x0.05x____= Ejemplo 6 ¿Qué interés simple se obtiene cuando se invierten $25,000 al 5% mensual durante 45 días? La tasa de interés está dada en meses y el tiempo está dado en días, por tanto, hay que convertir de días a meses I=$25,000x0.05x45/____= Ejemplo 7 ¿Qué interés simple se obtiene cuando se invierten $25,000 al 5% diario durante 4 años? La tasa de interés está dada en días y el tiempo está dado en años, por tanto, hay que convertir de años a días I=$25,000x0.05x4x____= Ejemplo 8 ¿Qué interés simple se obtiene cuando se invierten $25,000 al 5% diario durante 7 meses? La tasa de interés está dada en días y el tiempo está dado en meses, por tanto, hay que convertir de meses a días I=$25,000x0.05x7x____= Ejemplo 9 ¿Qué interés simple se obtiene cuando se invierten $25,000 al 5% diario durante 45 días? La tasa de interés está dada en días y el tiempo está dado en días, por tanto, no hay que convertir I=$25,000x0.05x____= De la fórmula del interés simple I=Cxixt, podemos despejar el capital(C), la tasa de interés (i) y el tiempo(t) Para despejar C se dividen los dos miembros entre ixt:
Para despejar i se dividen los dos miembros entre Cxt: i= Para despejar t se dividen los dos miembros entre Cxi: Ejemplo 1: ¿Qué cantidad hay que invertir al 4% mensual durante 1 año , para tener un beneficio de $1, C= C=$3, Ejemplo 2: Un banco paga el 5% de interés simple, ¿Cuánto hay que invertir para tener un interés de $8,200 en 3 años? C= C=$54666. Ejemplo 3: Si José tiene que pagar $200 diarios de interés por un dinero que tomó prestado al 0.2% diario, ¿cuanto tomó prestado José? C= C=$100, Ejemplo 4: ¿A qué tasa de interés mensual hay que invertir $100,000 el día 5 de marzo hasta el 12 de agosto del mismo año para tener un beneficio de $15,000? En la tabla 1 encontramos que el 12 de agosto está marcado con el número 224 y el 5 de marzo está marcado con el número 64 .La cantidad de días transcurridos es de 224-64= i= i= i=0.028125=2.81% Ejemplo 5 : ¿Cuál es la tasa de interés que le cobran a Natalia si todos los años tiene que pagar tiene $2,500, de interés, por $85,000 que tomó prestado? i= i= i=0.02941176 =2.94% Ejemplo 6 : ¿A que tasa de interés hay que invertir $100,000 para tener un beneficio de $5,000 en 8 meses? i= i = i=0.075 =6.5 % Ejemplo 7: ¿En qué tiempo $40,000 invertidos al 5% de interés simple producen un beneficio de $3,500? Nota : En los casos donde se pide calcular el tiempo, el resultado se expresa en la misma unidad de tiempo que indica la tasa de interés t= t=1.75 años (1 año, 9 meses) Ejemplo 8: Si usted invierte $60,000 al 6% de interés simple mensual, ¿En que tiempo tiene un beneficio de $3,000? t= t=1.111111 meses (1 mes y 3 días) Ejemplo 9: Se toma un préstamo de $10,000 al 1/2 % diario, ¿En que tiempo habría que pagar $250. de interés?
De lo anterior se puede deducir que: S=C + I. Pero sabemos que I=Cxixt. Sustituyendo tendremos : S=C+Cxixt Factorizando nos queda : S=C(1 + i x t). Resolviendo el ejemplo anterior con esta fórmula para hallar el monto tendremos: S= $100,000(1+0.04x 2x12)= $196, En general, podemos decir que el monto es el valor del dinero en una fecha posterior a la fecha de inversión Ejemplo 2: Si usted adquiere una deuda de $80,000 y le cobran el 12%, ¿con que cantidad saldarás la deuda en 8 meses? Sustituyendo en la fórmula del monto tendremos: S=$80,000(1+0.12x8/12) S=$86, Es evidente que si al monto le restamos el capital, la resta es el interés que se paga por la deuda I=S-C I=$86,400-$80,000=$6,400. Ejemplo 3: Si usted le presta $25,000 a Julián al 10% mensual, el día 15 de junio del 2014 por 150 días, a) ¿Cuál es la fecha de vencimiento? b) ¿Cuánto tiene que pagar Julián para saldar la deuda? a) En la tabla 1, el 15 de junio está numerado con 166. le sumamos 150 y la suma es 316. Buscamos de nuevo en la tabla 1 y vemos que la fecha marcada con el número 316 es el 12 de noviembre. Esta es la fecha de vencimiento. b) Para saber la cantidad con que Julián salda la deuda, calculamos el monto: S=$25,000(1+0.10x150/30) S=$37, 6.5 VALOR PRESENTE Toda transacción financiera, es avalada por un documento donde se establecen las condiciones que indican la cantidad tomada en préstamo o capital, la tasa de interés y el plazo o tiempo en el que tiene que pagar la deuda. Al banco no le conviene que le salden la deuda antes de la fecha de vencimiento, porque dejaría de obtener beneficios. A usted le beneficia pagar antes de la fecha de vencimiento, porque paga menos interés. El documento que usted le firmó al banco estipula la fecha de vencimiento y acepta que usted salde la deuda antes de de esa fecha ,sólo porque al hacerlo le descarga una tasa de interés menor que la tasa a que está contratada la deuda y tiene la opción de reinvertir de nuevo el capital a la tasa a que estaba contratada y a usted le gana interés a una tasa menor que ésta por el tiempo que falta a la fecha de vencimiento. Veamos un ejemplo: Ejemplo 1: Una deuda de $50,000 está contratada al 12% por un año. ¿Con qué cantidad se salda la deuda en 5 meses si se tiene un rendimiento del 10%? Calculemos primero el monto, que es la cantidad con la que se saldaría la deuda en la fecha de vencimiento:
S=C(1+ i.t). S=$50,000(1+0.12x1) S=$56,000. Si la deuda se quiere saldar antes de la fecha de vencimiento, entonces hay que calcular el valor presente. El valor presente es el valor del dinero en una fecha anterior a la fecha de vencimiento. Si el valor presente se calcula el día de la inversión, entonces el valor presente es igual al capital. De la fórmula del monto S=C(1 + i x t). podemos despejar C (valor presente) : C = En este caso, la deuda está contratada al 12 % y el banco descarga o no cobrará el 10%, lo que significa que usted pagará el 2% por el tiempo que falta a la fecha de vencimiento. S Sustituyendo en la fórmula para valor presente, teniendo en cuenta que el tiempo a utilizar es el tiempo que falta para la fecha de vencimiento, tendremos C = C =$52,913. Ejemplo 2: Una deuda de $40,000 vence en 14 meses. Si el banco otorga un rendimiento del 8%, ¿con qué cantidad se salda la deuda el día de hoy? $40, 000 0 14 meses El monto está dado, puesto que no se estipula la tasa de interés a que está contratada la deuda, por tanto: S=$40,000; i=8%; t= 14 meses C= $36,585. Ejemplo 3 : José compra una nevera a crédito por $60,000, pagando $15,000 de inicial y acuerdan pagar el resto en 10 meses. a) Si le cobran interés del 14%, ¿con que cantidad salda la deuda en 10 meses? b) Si José consigue el dinero para saldar la deuda tres meses antes de la fecha de vencimiento, ¿con qué cantidad la salda si le otorgan una tasa de rendimiento de 8%? a) S=C(1+i.t) S=45,000(1+0.14x10/12) b) C =
C
mese s 0 1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 0 7 10 Meses S=$50,
- Una deuda de $20,000 está contratada al 15% por 18 meses y vence en 10 meses, ¿Con qué cantidad se salda la deuda en 6 meses si se obtiene un rendimiento del 12%? R: $23,557.
- María tiene que pagar $18,000 el día 15 de agosto por un dinero que tomó prestado el 17 de abril del mismo año. Si la deuda está contratada al 8% ¿Cuánto tomó prestado María? R: $17,532.
- Se adquiere una deuda de $125,000 al 14% de interés simple, por 2 años y vence en 10 meses. ¿Con que cantidad se salda la deuda 7 meses antes de la fecha de vencimiento, si se tiene un rendimiento del 10%? R: $151,181. 6.7 PAGOS PARCIALES Es importante resaltar, que en el tema anterior se trataba sólo de una deuda que era saldada con un solo pago, efectuado ya sea en la fecha de vencimiento (S) o en una fecha anterior a la fecha de vencimiento( C). Una deuda también puede ser saldada mediante varios pagos parciales efectuados dentro del período de la transacción. Después de haber efectuado estos pagos parciales, y teniendo en cuenta que no se pueden sumar o restar cantidades ubicadas en fechas diferentes, se presenta el problema de determinar cuál seria la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento para terminar de saldar la deuda. Este problema se puede resolver mediante dos métodos que son: 1) Regla comercial 2) Regla de saldos insolutos. 6.8 REGLA COMERCIAL Con esta regla se calcula primero el monto total de la deuda y luego se calculan los intereses obtenidos por cada uno de los pagos parciales, desde la fecha en que se efectúan hasta la fecha de vencimiento. De esta manera, tanto la deuda como los pagos parciales se sitúan en la fecha de vencimiento y podemos entonces restarle al monto, la suma de los pagos parciales con los intereses y determinar cuál es la cantidad que aún se adeuda para terminar de pagarla en la fecha de vencimiento. Ejemplo 1: Una deuda de $50,000 esta contratada al 8% por 1 año .El deudor paga $20,000 en 3 meses y $25,000 cuatro meses mas tarde. ¿Con qué cantidad se termina de saldar la deuda en la fecha de vencimiento? a) Calculamos el monto de la deuda o la cantidad con que se saldaría en la fecha de vencimiento: S= $50,000(1+0.08x1) S=$54, Calculemos ahora, los intereses obtenidos por cada uno de los pagos parciales, con el tiempo que falta a la fecha de vencimiento. Para visualizar el tiempo a utilizar en el cálculo del interés, nos
auxiliamos de una recta donde aparecen las fechas donde se han efectuado cada uno de los pagos parciales: Primer pago parcial……………………...$20, Interés de $20,000 en 9 meses…………$ .1, Segundo pago parcial…………………...$ 25, Interés de $25,000 en 5 meses……… ..$ 833. Total pagado…………………………... ..$47,033. La cantidad a pagar en la fecha de vencimiento para terminar de saldar la deuda es: $54,000 - $47,033.33=$6,966. 6.9 REGLA DE SALDOS INSOLUTOS Con esta regla se calcula el interés vencido de la deuda original hasta la fecha del primer pago parcial. La suma de la deuda original con los intereses es la cantidad vencida en la fecha del primer pago parcial. Sabiendo ya cuál es la deuda en esta fecha se efectúa el primer pago parcial y tenemos el saldo insoluto en esta fecha. Este procedimiento se repite a cada una de las fechas en que se efectúa un pago parcial hasta tener la cantidad vencida en la fecha de vencimiento. La cantidad vencida en la fecha de vencimiento es la cantidad a pagar para terminar de saldar la deuda Resolviendo el ejemplo anterior con este método tendremos: Deuda original…………………………………$50, Interés de $50,000 en 3 meses……............$ 1, Cantidad vencida en 3 meses …………… $51, Primer pago parcial……………………………$20, Saldo insoluto en 3 meses…………………...$31, Interés de $31,000 en 4 meses…………… .$ 826. Cantidad vencida en 7 meses ………...........$31,826. Segundo pago parcial…………………. ……..$25, Saldo insoluto en 7 meses……………………$6,826. Interés de $6,826.67en 5 meses…………….$ 226. Cantidad vencida en 1 año………………… $7,054. Esta es la cantidad con la que se termina de saldar la deuda en la fecha de vencimiento. Si comparamos los resultados obtenidos en cada uno de los métodos, es evidente que resulta más beneficioso utilizar la regla de saldos insolutos Cuando en un problema donde se plantean varios pagos parciales, resulta muy laborioso el procedimiento que acabamos de emplear. Resulta más simple programar una tabla en Excel donde solamente habría que ingresar los datos del problema, como son: las fechas y los pagos parciales efectuados en dicha fecha. Excel se encarga de hacer los cálculos necesarios y obtener los datos que faltan en cada caso
mese s 0 1 2 3 4 5 6 7 89 1011 12 $20,000 $25,
S=$54,
$15,000 $20,000 $22, $15,000 $20,000^ $22,
a) Regla comercial: Cálculo del tiempo: (Restando a la fecha más avanzada la fecha anterior) S= C(1+ ixt ) Años meses días S=75,000*(1+0.06x9/12) 2011 2 7 S=$78,375 2010 5 7 0 años 9 meses 0 días Para mejor comprensión del tiempo a utilizar, nos auxiliamos de una recta donde aparecen las fechas de cada uno de los pagos y la fecha de vencimiento. 7-5-10 7-7-10 7-8-10 7-11-10 7-2- Primer pago parcial…………………………………$15, Interés de $15,000 en 7 meses…………………...$ Segundo pago parcial……………………………...$20, Interés de $20,000 en 6 meses…………………...$ Tercer pago parcial…………………………………$22, Interés de $22,000 en 3 meses…………………...$ $58, La cantidad a pagar en la fecha de vencimiento para terminar de saldar la deuda es: $78,375- $58,455 = $19, b) Regla de saldos insolutos 7-5-10 7-7-10 7-8-10 7-11-10 7-2- Deuda original………………………………… $ 75, Interés de $75,000 en 2 meses…………….. 7, Cantidad vencida en 7-7-10…………………. 75, Primer pago parcial…………………………… 15, Saldo insoluto el 7-7-10……………………… 60, Interés de $60,750 en 1 mes……………….. 303. Cantidad vencida el 7-8-10 ……………….… 61,053. Segundo pago parcial…………………….….. 20, Saldo insoluto el 7-8-10……………………… 41,053. Interés de $41053.75 en 3 meses…….......... 615. Cantidad vencida el 7-11-10………………… 41,669. Tercer pago parcial………………………..…. 22, Saldo insoluto el 7-11-10……………………. 19,669. Interés de $19669.56 en 3 meses……….…. 295. Cantidad vencida en la fecha de venc..……... 19,964. Auxiliándose de Excel, si utiliza la tabla previamente elaborada, se obtiene el mismo resultado, sólo debe hacer los cambios con los nuevos datos del problema Fecha Meses Saldo Insoluto Interés Cantidad Vencida Pagos Parciales $
6.10 EJERCICIOS
- Pavel tiene una deuda de $40,000 contratada al 8% por 18 meses. Pavel abona $15,000 en 7 meses y $ 20,000 en 1 año. ¿Con qué cantidad termina Pavel de saldar la deuda en la fecha de vencimiento? a) Regla comercial R:$7,900 b) Regla de saldos insolutos R: $8072.
- Una deuda de $100,000 está contratada al 7% de interés simple por 1 año. El deudor quiere saldar la deuda mediante 2 pagos iguales efectuados el primero en 5 meses y el otro en 9 meses. ¿A cuanto equivale cada pago si se .aplica la regla comercial? R; $51,983.
- El día de 20 de Febrero un señor contrae una deuda de $25,000 al 12% de interés simple y vence el 15 de septiembre del mismo año. Si el deudor abona $ 10,000 el 14 de abril y $12,000 el 20 de Julio, ¿Cuál es la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento para saldar las deudas? R:$4015.
- Un señor contrae una deuda de $60,000 al 12% de interés simple el 7 de abril del 2012 y vence el 9 de julio del 2013. El señor hace los siguientes pagos: $14,000 el 18 de junio del 2012, $ 9, el 20 de diciembre del 2012, $15,000 el 10 de febrero del 2013 y $ 12,000 el 10 de junio del 2013. ¿Cuánto tiene que pagar en la fecha de vencimiento? R:$16,322.
- El 5 de marzo del 2013 se contrae una deuda de $ 20,000, y se hacen los siguientes abonos: $4,000 el 15 de abril ,$7,000 el 10 de mayo y $9,361.11 el 24 de junio con el cual termina de saldar la deuda. Utilice la regla comercial y determine la tasa de interés a que estaba contratada la deuda. R 8% 6.11 ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES Si analizamos los problemas tratados en el interés simple y en los pagos parciales, podemos ver que en el interés simple siempre se trata de una deuda donde se desconoce el pago que hay que hacer para saldarla, ya sea en la fecha de vencimiento o en una fecha anterior, mientras que en los pagos parciales tenemos una deuda y varios pagos Ahora se presenta la situación donde se tiene una o varias deudas que se saldan mediante uno o varios pagos. En este caso se plantea una igualdad donde se establece que la suma de todo lo que se paga tiene que ser igual a la duma de todo lo que se debe para que las deudas queden saldadas. Ya sabemos que no se pueden sumar ni restar cantidades ubicadas en fechas diferentes, por tanto, esta igualdad se establece en la misma fecha llamada fecha focal. Generalmente se elige como fecha focal , la fecha donde se efectúa el último pago. Ejemplo 1: Una deuda de $25,000 está contratada al 10% por 2 años y vence en 5 meses. Otra deuda de $35,000 vence en un año. El deudor quiere saldar sus deudas pagando $15,000 hoy,
6.12 EJERCICIOS
- Una deuda de $40,000 está firmada con intereses del 8% por 2 años y vence en 1 año y otra de $ 20,000 vence en 3 meses. El deudor y el acreedor se ponen de acuerdo en que para saldar la deuda debe pagar $30,000 el día de hoy y el resto en 9 meses. ¿Con qué cantidad se termina de saldar las deudas en 9 meses si se acuerda un rendimiento del 6%? R:$34,964.
- Se tiene dos deudas: una de $15,000 con vencimiento el día de hoy y otra de $20,000 con vencimiento en 10 meses. ¿Con qué cantidad se saldará las deudas en 4 meses si se acuerda un rendimiento del 7%? R:$34,673.
- Una deuda de $15,000 contratada por 20 meses al 8% vence en 7 meses, Las deudas se quieren saldar mediante 2 pagos iguales efectúales uno en 3 meses y el otro en 10 meses. ¿A cuánto equivale cada pago si se tiene un rendimiento del 6%? R:$8479.
- Un señor deposita $10,000 dentro de 4 meses y retira $6,000 dentro de 6 meses. Deposita $15,000 en 10 meses y retira $16,000 en 14 meses. Determine el balance de su cuenta en 12, meses con un rendimiento del 10%. R:$3,878.
- Rosa está vendiendo su carro y recibe dos ofertas: a) $75,000 ahora, $40,000 en 5 meses y $30,000 en 1 año b) $90,000 en 3 meses, $30,000 en 5 meses y $ 15,000 en 9 meses. Si la tasa del mercado es de 12% ¿Qué oferta le conviene más? R: a) $139,880. 6.13 DESCUENTO SIMPLE Existen dos tipos de descuento simple que son: el descuento racional y el descuento bancario. Hasta ahora hemos tratado con varias formas de saldar deudas, entre ellas cuando el deudor salda la deuda en una fecha anterior a la fecha de vencimiento con el objetivo de saldarla con una cantidad menor que la que tendría que pagar en la fecha de vencimiento, pero ¿qué cantidad se ahorra cuando se paga antes de la fecha de vencimiento? 6.14 DESCUENTO RACIONAL En la fecha de vencimiento la deuda se salda con el monto (S). Si la deuda de salda en una fecha anterior a la de vencimiento, se salda con el valor presente(C). La cantidad que se ahorra el deudor por pagar antes de la fecha de vencimiento es: Dr = S-C. Ejemplo 1: Una deuda de $25,000 vence en 10 meses, ¿con qué cantidad se salda la deuda en 3 meses con un rendimiento del 8%? El monto está dado: S=$25, El valor presente es C =$23,885.
El descuento racional es: Dr=S-C Dr=$25,000-$23,885.35= $1,114. Ejemplo 2: Una deuda de $50,000 esta contratada al 12% por 2 años y vence en 15 meses, ¿con qué cantidad se salda la deuda en 7 meses si se tiene un rendimiento del 10%? ¿Cuál es el descuento racional? S= =$62, C= = $58,125 Dr=$62,000 - $58125= $3, 6.15 DESCUENTO BANCARIO Cuando se hace la solicitud de un préstamo en una entidad financiera, ésta le cobra al solicitante una cantidad para fines de seguro de la cuenta, trámites legales y gasto de cierre. A esta cantidad que cobra el banco por adelantado, es a lo que se denomina descuento bancario. Lo mismo sucede cuando el acreedor o propietario del documento, lo negocia antes de la fecha de vencimiento ofreciéndolo a un tercero, a una empresa por ejemplo, a un precio menor del
estipulado en el propio documento.
La cantidad de menos que se paga por el documento también se le llama descuento bancario. El descuento bancario (D), es directamente proporcional a la cantidad solicitada (S), a la tasa de descuento (d) y al tiempo de la solicitud (t), o sea: D=Sxdxt. Si es por motivo de venta del documento, el descuento bancario (D), es directamente proporcional al monto (S), a la tasa de descuento (d) y al tiempo que falta a la fecha de vencimiento, o sea: D=Sxdxt. Debemos tener en cuenta que si el descuento es por adelantado, S es la cantidad que se solicita al banco, pero cuando el documento es vendido antes de la fecha de vencimiento, S es el valor del documento en la fecha de vencimiento o monto. Ejemplo 1: Si usted le solicita $100,000 a un banco para pagar en un año y el banco cobra el 6% de interés por adelantado, ¿Cuánto cobra el banco? D= Sxdxt D=100,000x0.06x1=$6, Cuando se hace la solicitud del préstamo, el descuento bancario o cantidad que cobra el banco en el mismo momento de la transacción implica que se recibirá del banco la cantidad solicitada menos la cantidad que cobra el banco, o sea: C= S-D En el ejemplo anterior, la cantidad que se recibirá del banco será: C=$100,000-$6,000= $94,
D= 65.000x0.06x3/12 D=$ b) El banco B pagará por el documento: C=S-D C=$65,000-$975=$64,025. En este tipo de problemas, en algunos casos se presenta la situación de que el monto no está dado y para su cálculo necesitamos la tasa de interés, o conocemos la tasa de interés pero no conocemos la tasa de descuento para calcular el descuento por lo que se hace necesario calcular una de estas tasas conociendo la otra 6.16 TASAS EQUIVALENTES (i d) Si una cantidad invertida a una tasa de interés produce un monto S, la tasa de descuento será equivalente a la tasa de interés si la cantidad invertida es igual a la cantidad que se recibe del banco y el monto es igual a la cantidad que se solicita: Monto a una tasa de interés: S= C(1+ixt) Cantidad que se solicita a una tasa de descuento: S= Si C(1+ixt) y , son ambas iguales a S, entonces por la propiedad transitiva :C(1+ixt)= Puesto que C=C, podemos dividir los dos miembros entre C y nos queda: (1+ixt)= Ahora tenemos una proporción y sabemos que el producto de los extremos es igual al producto de los medios (1+ixt)(1-dxt)=1. Efectuamos la multiplicación:1-dxt+ixt-ixdxt = Despejando d, tendremos:-dxt-ixdxt Sacando factor común d y despejando, se tiene: d=. Tasa de descuento equivalente a una tasa de interés. De la misma forma podemos obtener el valor de i en función de la tasa de descuento De la igualdad: dxt+ixdxt = ixt, despejamos i: dxt= ixt- ixdxt ixt(1-,dxt)=dxt i=. Tasa de interés equivalente a una tasa de descuento Ejemplo 1 : Se solicitan $75,000 a un banco que cobra el 6% de interés por adelantado, para pagar en 10 meses. ¿Qué descuento hace el banco?, ¿con qué cantidad se salda la deuda en la fecha de vencimiento? Calculando el descuento bancario: D=Sxdxt; cantidad solicitada S=$75,000; tasa de descuento 0.06; tiempo 10 meses D=75,000x0.06x10/12 D=$3,
Necesitamos calcular el monto, para lo cual hace falta la tasa de interés. La podemos obtener sabiendo que i= .Sustituyendo en esta fórmula tendremos: i. Conociendo la tasa de interés podemos calcular el monto : S=C(1+ixt). S=$75,000(1+0.0632x10/12) S=$78,950. Esto significa que el banco, además de cobrar $3,750 por adelantado, también cobra $3,950 de interés El banco recibe beneficios en total de $7,700 por la deuda de $75, Ejemplo 2: Una deuda de $50,000 está contratada por 18 meses al 12 % y vence en 7 meses. a) ¿con qué cantidad se salda la deuda en 4 meses si se tiene un rendimiento del 10%? b) ¿Con qué cantidad se salda la deuda en la fecha de vencimiento? c) ¿Cuál es el descuento racional?, d) ¿Qué cantidad descuenta el banco? Puesto que la deuda está a una tasa de interés debemos calcular el monto: b) S=c(1+ixt) S=50,000(1+0.12x18/12)=$59, a) Para calcular el descuento racional debemos conocer el valor presente: C=
C= =$57,560.
c) Dr=S-C Dr=$59,000-$57,560.98=$1439. d) Para calcular el descuento bancario, debemos conocer primero la tasa de descuento: d=. d= = 0.1017=10.17% D= 50,000x0.1017x18/12=$7,626. 6.17 EJERCICIOS
- Si usted solicita $100,000 a un banco que carga el 6% de interés por adelantado, ¿Cuánto se recibe del banco ¿Cuál es el descuento? La solicitud se hace para pagar en 10 meses
