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Interpolación polinómica Interpolación polinómica
Interpolación polinómica
9.1 Interpolación polinómica 169 9.2 Interpolación de Lagrange 170 9.3 Poli- nomio de Taylor 173
9.1 Interpolación polinómica
Dados dos puntos del plano (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), sabemos que hay una recta que pasa por ellos. Dicha recta es la gráfica de un polinomio de grado 1, en este caso la función es
f (x) = f (x 2 ) +
f (x 2 ) − f (x 1 ) x 2 − x 1 (x − x 2 ).
Por ejemplo, la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 1) es
(%i1) recta(x1,y1,x2,y2):=y2+(x-x2)*(y2-y1)/(x2-x1)$
(%i2) recta(1,2,3,1);
(%o2)
3-x
y la gráfica
(%i3) wxplot2d(recta(1,2,3,1),[x,0,4]);
(%t3)
El problema general es cómo se busca una función que tome unos valores en unos puntos con- cretos. También se puede exigir que las derivadas de algún orden tengan un valor predeterminado.
Interpolación de Lagrange Interpolación polinómica
9.2 Interpolación de Lagrange
El problema más clásico de interpolación es la interpolación de Lagrange: Dados n+ 1 pares de puntos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ),..., (xn, yn), encuéntrese el polinomio P de grado menor o igual que n tal que P(xi) = yi, i = 0 , 1 , ..., n. Los puntos x 0 , x 1 ,..., xn se llaman nodos de interpolación.
9.2.1 Dos o tres nodos
Comencemos con un caso sencillo. Dada una lista de un par de puntos y un par de valores, ¿cuál es el polinomio que pasa por esos puntos?
(%i4) nodos:[1,2];
(%o4) [1,2]
(%i5) valor:[3,7];
(%o5) [3,7]
Necesitamos un polinomio de grado uno:
(%i6) define(f(x),a*x+b);
(%o6) f(x):=ax+b
que debe verificar que f (1) = 3 , f (2) = 7. Con estas dos condiciones planteamos un sistema de ecuaciones que nos permite calcular a y b:
(%i7) solve([f(nodos[1])=valor[1],f(nodos[2])=valor[2]],[a,b]);
(%o7) [[a=4,b=-1]]
Podemos aplicar la misma técnica para encontrar el polinomio, de grado 2 en este caso, que pasa por los puntos (1, 3), (2, 7) y (3, 1):
(%i8) nodos:[1,2,3]$
(%i9) valor:[3,7,1]$
(%i10) define(f(x),axˆ2+bx+c)$
(%i11) solve([f(nodos[1])=valor[1],f(nodos[2])=valor[2],
f(nodos[3])=valor[3]],[a,b,c]);
(%o11) [[a=-5,b=19,c=-11]]
Vamos a resolver este mismo problema de otra forma. Busquemos tres polinomios de orden 2, L1,
L2 y L3 verificando que valen 1 en uno de los nodos y cero en el resto. En concreto, buscamos L1,
Interpolación de Lagrange Interpolación polinómica
P(x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + · · · + ynLn(x)
cumple que P(xi) = yi para i = 0 , 1 ,...,n. El siguiente teorema recoge toda la información que hemos presentado.
Teorema 9.2. Sean x 0 , x 1 ,..., xn números reales distintos. Entonces dados y 0 , y 1 ,..., yn existe un único polinomio Pn(x) de grado menor o igual que n verificando que
Pn(xi) = yi, i = 0 , 1 ,... , n.
Fórmula de La- Dicho polinomio viene dado por grange del po- linomio de in- terpolación
P(x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + · · · + ynLn(x), (9.1)
donde Li(x) =
(x − x 0 )(x − x 1 ) · · · (x − xi− 1 )(x − xi+ 1 ) · · · (x − xn) (xi − x 0 )(x 0 − x 1 ) · · · (xi − xi− 1 )(xi − xi+ 1 ) · · · (xi − xn) para i = 0 , 1 ,..., n_._
La identidad (9.1) se llama fórmula de Lagrange del polinomio de interpolación.
Ventajas e inconvenientes
Los polinomios de Lagrange son muy fáciles de calcular. Es por ello que se utilizan como uno de los primeros ejemplos de polinomios interpoladores. Su interés práctico es limitado y suelen presentarse más bien como ejemplo teórico de interpolación. Su principal inconveniente se presenta cuando el conjunto de nodos es muy grande. En ese caso el grado del polinomio también es muy grande. Esto implica dificultades para el cálculo y, además, hay una alta tendencia a que el polinomio oscile mucho entre dos nodos.
9.2.3 El paquete interpol
Puedes pensar en alguna forma de calcular los polinomios de Lagrange en un conjunto de no- dos, pero en Maxima disponemos del paquete interpol que calcula el polinomio interpolador de Lagrange. En primer lugar cargamos el módulo
(%i12) load(interpol)$
y podemos usar la orden lagrange para calcular el polinomio que interpola una lista de pares
(nodo, valor)
(%i13) lagrange([[1,3],[2,1],[3,4]]);
(%o13) 2(x-2)(x-1)-(x-3)(x-1)- 3(2-x)(x-3)
(%i14) expand(%);
(%o14)
5xˆ 2
19x
Interpolación polinómica Polinomio de Taylor
o, en el caso de que los nodos sea 1, 2, 3, 4, etc., simplemente dando la lista de valores
(%i15) expand(lagrange([3,1,4]));
(%o15) 5xˆ^2
19x
lagrange([[nodo1,valor1],[nodo2,valor2],...]) polinomio de Lagrange
lagrange([valor1,valor2,...]) polinomio de Lagrange
9.2.4 Ejercicios
Ejercicio 9.1. ¿Cuál es el error cuando aproximamos
102 utilizando el valor de la función raíz cuadrada en 81, 100 y 121? Representa las gráficas de la función raíz cuadrada y compárala con la gráfica del polinomio.
Ejercicio 9.2. Utiliza los valores de la función raíz cuadrada en n = 2 , 3 ,... , 10 puntos, elegidos por tí, para calcular el polinomio de interpolación y aproximar el valor en 102. Haz una animación que represente la función raíz cuadrada y el polinomio de interpolación de Lagrange en función de su grado.
Ejercicio 9.3. Calcula la fórmula de la suma de los cubos de los primeros n naturales sabiendo que es un polinomio de grado cuatro.
9.3 Polinomio de Taylor
En el Capítulo 7 hemos visto cómo la recta tangente a una función en un punto aproxima local- mente a dicha función en ese punto. Es decir, que si sustituimos una función por su recta tangente en un punto, estamos cometiendo un error como se puede ver. En efecto, si dibujamos en una misma gráfica la función f (x) = cos(x) y su recta tangente en cero, es decir t(x) = f (0) + f ′(0)(x − 0) = 1 obtenemos
(%i16) f(x):=cos(x);
(%o16) f(x):=cos(x)
(%i17) t(x):=1;
(%o17) t(x):=
(%i18) plot2d([f(x),t(x)],[x,-3,3],[y,-2,2]);
(%o18)
-1.
-0.
0
1
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
cos(x) 1
Interpolación polinómica Polinomio de Taylor
(%i21) plot2d([f(x),taylor(f(x),x,0,8)],[x,-4,4],[y,-2,2]);
(%o21)
-1.
-0.
0
1
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
1-x^2 /2+x^4 /24-x^6 /720+x^8 /40320cos(x)
Pero si aumentamos el dominio podemos ver que el polinomio de Taylor se separa de la función cuando nos alejamos del origen.
(%i22) plot2d([f(x),taylor(f(x),x,0,8)],[x,-8,8],[y,-2,2]);
(%o22)
-1.
-0.
0
1
2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
1-x 2 /2+x^4 /24-x 6 /720+x 8 /40320cos(x)
Esto es lo esperable: la función coseno está acotada y el polinomio de Taylor, como todo polino- mio no constante, no lo está. Eso sí, si aumentamos el grado del polinomio de Taylor vuelven a parecerse:
(%i23) plot2d([f(x),taylor(f(x),x,0,14)],[x,-8,8],[y,-2,2]);
(%o23)
-1.
-0.
0
1
2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
1-x 2 /2+x^4 /24-x 6 /720+x 8 /40320-x 1 0/3628800+x 1 2/479001600-x 1 4/87178291200cos(x)
El hecho de que la función coseno y su polinomio de Taylor se parezcan tanto como se quie- ra, con sólo aumentar el grado del polinomio lo suficiente, no es algo que le ocurra a todas las funciones. Para la función arcotangente la situación no es tan buena:
Polinomio de Taylor Interpolación polinómica
(%i24) g(x):=atan(x);
(%o24) g(x):=atan(x)
(%i25) plot2d([g(x),taylor(g(x),x,0,8)],[x,-8,8],[y,-2,2]);
(%o25)
-1.
-0.
0
1
2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
x-x 3 /3+x^5 atan(x)^ /5-x^7 /
sólo se parecen, al menos eso se ve en la gráfica, en el intervalo ] − 1 , 1[ (a ojo). Observación 9.3. Maxima tiene dos formas de representar internamente los polinomios. Sin entrar en detalles, no se guardan de la misma forma un polinomio de Taylor y un polinomio cual- quiera. Esto puede dar lugar a algunas sorpresas. Por ejemplo, hemos visto cómo el polinomio de Taylor nos sirve para aproximar una función, pero, en lugar de representar la función y dicho polinomio, podríamos representar la diferencia. Veamos que ocurre^11. Definimos las funciones,
(%i26) f(x):=cos(x);
(%o26) f(x):=cos(x)
(%i27) define(g(x),taylor(f(x),x,0,5));
(%o27) g(x):=1-
xˆ 2
xˆ 4
y dibujamos la diferencia
(%i28) plot2d(f(x)-g(x),[x,-5,5]);
(%o28)
-0.
0
1
-4 -2 0 2 4
x
¿Cómo puede salir 0? ¿Es que no hay diferencia? Sí la hay. Ya lo sabemos: si evaluamos en algún punto podemos ver que el resultado no es cero.
(^11) Este ejemplo está hecho con la versión 5.18 de Maxima. Es posible que el resultado sea distinto en otras versiones.
Polinomio de Taylor Interpolación polinómica
nos permite dibujar los primeros 20 polinomios de Taylor de la función f. En la Figura 9.2 tienes algunos pasos intermedios representados.
Observación 9.4. Hemos usado la orden block para definir una función intermedia que nos
permita realizar la animación. No vamos a entrar en más detalles sobre cómo utilizarla en la defini- ción de funciones. Puedes consultar la ayuda de Maxima , si tienes interés, donde encontrarás una explicación detallada de su uso.
0
1
2
3
-10 -5 0 5 10
y
x
1+x-x 2 /2-x^3 /6+xsin(x)+cos(x)^4 /24+x 5 /
0
1
2
3
-10 -5 0 5 10
y
x
sin(x)+cos(x)fun
Orden 5 Orden 10
0
1
2
3
-10 -5 0 5 10
y
x
sin(x)+cos(x)fun
0
1
2
3
-10 -5 0 5 10
y
x
sin(x)+cos(x)fun
Orden 15 Orden 20 Figura 9.2 Función sen(x) + cos(x) y sus polinomios de Taylor
9.3.1 Ejercicios
Ejercicio 9.4. ¿Es cierto o falso que el polinomio de Taylor de una función al cuadrado es el cuadrado del polinomio?
Ejercicio 9.5. Estudia los extremos relativos del polinomio de orden 5 centrado en el origen de la función f (x) = cos(x) + ex.
