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Interpolaci´on polinomial
Determinar una funci´on cuya gr´afica pase por varios puntos dados es un problema matem´atico que recibe el nombre de interpolaci´on. Normalmente se buscan funciones polin´omicas.
Problema de interpolaci´on
Dados n + 1 puntos del plano:
(x 0 , y 0 ) (x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 ) · · · (xn, yn)
determinar una funci´on polin´omica f (x) de grado menor o igual que n tal que
f (x 0 ) = y 0 f (x 1 ) = y 1 f (x 2 ) = y 2 · · · f (xn) = yn
Vamos a resolver este tipo de problemas usando un m´etodo llamado de diferencias divididas, que se basa en una idea de Newton.
1. Un ejemplo para comprender la idea de Newton
Ejemplo 1 Si queremos determinar la funci´on polin´omica de grado menor o igual que 3 que verifica
f (1) = 10 f (2) = 15 f (3) = 28 f (4) = 55
Es decir, buscamos una funci´on polin´omica cuya gr´afica pase por los puntos {(1, 10), (2, 15), (3, 28), (4, 55)}:
x
y
Podemos escribir una funci´on polin´omica gen´erica
f (x) = α x^3 + β x^2 + γ x + δ
y determinar los coeficientes α, β, γ, δ resolviendo un sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 inc´ognitas.
El m´etodo de Newton consiste en buscar una funci´on polin´omica escrita en una forma no est´andar que depende de los nodos cuyas im´agenes conocemos. En este caso se debe buscar una funci´on polin´omica escrita en la forma
f (x) = a + b(x − 1) + c(x − 1)(x − 2) + d(x − 1)(x − 2)(x − 3)
La ventaja de escribir el polinomio de esta forma es que el sistema que debemos resolver es escalonado y por tanto mucho m´as f´acil de resolver:
f (1) = 10 → a = 10 f (2) = 15 → a + b = 15 f (3) = 28 → a + 2b + 2c = 28 f (4) = 55 → a + 3b + 6c + 6d = 55
cuya soluci´on es a = 10, b = 5, c = 4, d = 1. Por tanto la funci´on polin´omica es:
f (x) = 10 + 5(x − 1) + 4(x − 1)(x − 2) + (x − 1)(x − 2)(x − 3)
Si queremos, podemos “simplificar” esta expresi´on y escribirla en la forma est´andar:
f (x) = x^3 − 2 x^2 + 4 x + 7
Con el paso del tiempo, el m´etodo de Newton se ha refinado y ha dado lugar al algoritmo de diferencias divididas que presentamos aqu´ı para funciones lineales, cuadr´aticas y c´ubicas. La generalizaci´on para funciones polin´omicas de mayor grado es muy sencilla.
La ventaja del m´etodo de diferencias divididas es que ni siquiera es necesario resolver un sistema de ecuaciones. Como su propio nombre indica tan solo hay que restar y dividir ciertas cantidades.
- Interpolaci´on lineal
Para determinar la funci´on lineal que verifica f (x 0 ) = y 0 f (x 1 ) = y 1
construimos la siguiente tabla:
m x 1 y 1
x 0 y 0
donde m =
y 1 − y 0 x 1 − x 0
recibe aqu´ı el nombre de diferencia dividida. Ahora se˜nalamos los siguientes elementos
de la tabla:
m x 1 y 1
x 0 y 0
y construimos la funci´on f (x) mediante la f´ormula:
f (x) = y 0 + m(x − x 0 )
Es decir, escribimos una suma de t´erminos en los que utilizamos los elementos se˜nalados con un c´ırculo como coeficientes y utilizamos los elementos de la primera columna se˜nalados con un cuadrado como ra´ıces.
Ejemplo 2 Vamos a calcular la funci´on lineal que verifica:
f (1) = 5 f (3) = 13.
Para ello, calculamos la diferencia dividida m =
= 4 y construimos la siguiente tabla:
Marcamos los elementos que vamos a utilizar:
Diferencias divididas de primer orden: 22 −−^41 = − (^2 325) −− 22 = 10
Diferencias divididas de segundo orden: 10 − 5 −(− 1 2)= 124 = 3
Marcamos los elementos que vamos a utilizar:
y construimos la funci´on f (x) = 4 − 2(x − 1) + 3(x − 1)(x − 2). Escrita en la forma est´andar es:
f (x) = 3 x^2 − 11 x + 12
- Interpolaci´on c´ubica
Para calcular funciones polin´omicas que interpolan cuatro o m´as datos se act´ua de un modo similar.
Ejemplo 4 Vamos a calcular el polinomio de interpolaci´on para la tabla de datos
x 2 4 7 10 y 4 − 42 − 6 300
Es decir: queremos determinar la funci´on polin´omica f (x) de grado menor o igual que 3 que cumple:
f (2) = 4 f (4) = − 42 f (7) = − 6 f (10) = 300.
Para ello elaboramos una tabla de diferencias divididas:
Y podemos concluir que la funci´on que buscamos es
f (x) = 4 − 23(x − 2) + 7(x − 2)(x − 4) + (x − 2)(x − 4)(x − 7).
Si desarrollamos la expresi´on obtendremos: f (x) = x^3 − 6 x^2 − 15 x + 50
