intro derivadas y integrales, Apuntes de Cálculo

¡Descarga intro derivadas y integrales y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!

Ejercicios de derivadas e integrales

Este material puede descargarse desde http://www.uv.es/~montes/biologia/matcero.pdf

Departament d’Estad´ıstica i Investigaci´o Operativa

Universitat de Val`encia

Reglas de derivaci´on (continuaci´on)

d dx (sin^ x) = cos^ x^

d dx [sin^ f^ (x)] = cos^ f^ (x)f^

′(x)

Trigonom´etricas d dx (cos x) = − sin x d dx [cos f (x)] = − sin f (x)f ′(x)

d dx (tan x) = 1 + tan^2 x d dx [tan f (x)] = [1 + tan^2 f (x)]f ′(x)

d dx (arcsin x) =

1 − x^2

d dx [arcsin f (x)] = f ′(x) √ 1 − f (x)^2

Funciones de arco d dx (arc cos x) = √−^1 1 − x^2

d dx [arc cos f (x)] = −f^

′(x) √ 1 − f (x)^2

d dx (arctan x) =

1 + x^2

d dx [arctan f (x)] = f ′(x) 1 + f (x)^2

d dx (ex) = ex^ d dx (ef^ (x)) = ef^ (x)f ′(x) Exponenciales d dx (ax) = ax^ ln a d dx (af^ (x)) = af^ (x)^ ln af ′(x)

d dx (ln x) =

x

d dx (ln f (x)) = f ′(x) f (x) Logar´ıtmicas d dx (lga x) =^1 x

ln a

d dx (lga f (x)) = f^

′(x) f (x)

ln a

Ejercicios de derivadas

1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = x^3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´on.- a) 3/4, b) 3.
2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes. Soluci´on.- a) -4, b) -1.
3. Hallar la derivada de la funci´on y = x^4 + 3x^2 − 6. Soluci´on.- y′^ = 4x^3 + 6x.
4. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x^3 − x^2. Soluci´on.- y′^ = 18x^2 − 2 x.
5. Hallar la derivada de la funci´on y = x 5 a+b −^

x^2 a−b. Soluci´on.- y′^ = 5 x 4 a+b −^

2 x a−b.

6. Hallar la derivada de la funci´on y = x (^3) −x (^2) + 5. Soluci´on.- y′^ = 3 x^2 − 5 2 x.
7. Hallar la derivada de la funci´on y = 2ax^3 − x 2 b +^ c. Soluci´on.- y′^ = 6ax^2 − (^2) bx.
8. Hallar la derivada de la funci´on y = 6x 72 + 4x 52 + 2x. Soluci´on.- y′^ = 21x 52 + 10x 32 + 2.
9. Hallar la derivada de la funci´on y =

3 x + 3

x + (^1) x. Soluci´on.- y′^ =

√ 3 2 √x +^

1 3 √^3 x^2 −^

1 x^2.

10. Hallar la derivada de la funci´on y = (x+1)

3 x 32

Soluci´on.- y′^ = 3(x+1) (^2) (x−1) 2 x 52

11. Hallar la derivada de la funci´on y = 3

x^2 − 2

x + 5. Soluci´on.- y′^ = 23 √ (^31) x − √^1 x.

12. Hallar la derivada de la funci´on y = ax 2 √ (^3) x + (^) x√bx −

√√ (^3) x x. Soluci´on.- y′^ = 53 ax (^23) − 32 bx−^ (^52)

• 16 x−^ (^76) .

13. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 4x^3 )(1 + 2x^2 ). Soluci´on.- y′^ = 4x(1 + 3x + 10x^3 ).
14. Hallar la derivada de la funci´on y = x(2x − 1)(3x + 2). Soluci´on.- y′^ = 2(9x^2 + x − 1).

29. Hallar la derivada de la funci´on y = sin^2 x.

Soluci´on.- y′^ = sin 2x.

30. Hallar la derivada de la funci´on y = 2 sin x + cos 3x.

Soluci´on.- y′^ = 2 cos x − 3 sin 3x.

31. Hallar la derivada de la funci´on y = tan(ax + b).

Soluci´on.- y′^ = (^) cos (^2) (aax+b).

32. Hallar la derivada de la funci´on y = (^) 1+cossin^ x x.

Soluci´on.- y′^ = (^) 1+cos^1 x.

33. Hallar la derivada de la funci´on y = sin 2x cos 3x.

Soluci´on.- y′^ = 2 cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x.

34. Hallar la derivada de la funci´on y = cot^2 5 x.

Soluci´on.- y′^ = −10 cot 5x csc^2 5 x.

35. Hallar la derivada de la funci´on f (t) = t sin t + cos t.

Soluci´on.- f ′(t) = t cos t.

36. Hallar la derivada de la funci´on f (t) = sin^3 t cos t.

Soluci´on.- f ′(t) = sin^2 t(3 cos^2 t − sin^2 t).

37. Hallar la derivada de la funci´on y = a

cos 2x. Soluci´on.- y′^ = − √a^ sin 2cos 2xx.

38. Hallar la derivada de la funci´on y = 12 tan^2 x.

Soluci´on.- y′^ = tan x sec^2 x.

39. Hallar la derivada de la funci´on y = ln cos x.

Soluci´on.- y′^ = − tan x.

40. Hallar la derivada de la funci´on y = ln tan x.

Soluci´on.- y′^ = (^) sin 2^2 x.

41. Hallar la derivada de la funci´on y = ln sin^2 x.

Soluci´on.- y′^ = 2 cot x.

42. Hallar la derivada de la funci´on y = tansec^ x −x 1.

Soluci´on.- y′^ = sin x + cos x.

43. Hallar la derivada de la funci´on y = ln

1+sin x 1 −sin x. Soluci´on.- y′^ = (^) cos^1 x.

44. Hallar la derivada de la funci´on f (x) = sin(ln x).

Soluci´on.- f ′(x) = cos(ln x x).

45. Hallar la derivada de la funci´on f (x) = tan(ln x).

Soluci´on.- f ′(x) = sec

(^2) (ln x) x.

46. Hallar la derivada de la funci´on f (x) = sin(cos x).

Soluci´on.- f ′(x) = − sin x cos(cos x).

47. Hallar la derivada de la funci´on y = ln 1+ 1 −xx.

Soluci´on.- y′^ = (^1) −^2 x 2.

48. Hallar la derivada de la funci´on y = log 3 (x^2 − sin x).

Soluci´on.- y′^ = (^) (x (^22) −x−sincos x) ln 3^ x.

49. Hallar la derivada de la funci´on y = ln 1+x 2 1 −x^2. Soluci´on.- y′^ = (^1) −^4 xx 4.
50. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x^2 + x).

Soluci´on.- y′^ = (^2) xx (^2) ++1x.

51. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x^3 − 2 x + 5).

Soluci´on.- y′^ = (^) x (^33) −x^22 −x+5^2.

52. Hallar la derivada de la funci´on y = x ln x.

Soluci´on.- y′^ = ln x + 1.

53. Hallar la derivada de la funci´on y = ln^3 x.

Soluci´on.- y′^ = 3 ln (^2) x x.

54. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x +

1 + x^2 ). Soluci´on.- y′^ = √1+^1 x 2.

55. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(ln x).

Soluci´on.- y′^ = (^) x ln^1 x.

56. Hallar la derivada de la funci´on y = e(4x+5).

Soluci´on.- y′^ = 4e(4x+5).

57. Hallar la derivada de la funci´on y = ax 2 . Soluci´on.- y′^ = 2xax^2 ln a.
58. Hallar la derivada de la funci´on y = 7(x^2 +2x).

Soluci´on.- y′^ = 2(x + 1)7(x^2 +2x)^ ln 7.

59. Hallar la derivada de la funci´on y = ex(1 − x^2 ).

Soluci´on.- y′^ = ex(1 − 2 x − x^2 ).

60. Hallar la derivada de la funci´on y = e x− 1 ex+. Soluci´on.- y′^ = (^) (ex^2 +1)ex 2.

Integrales

Tabla de integrales inmediatas

xpdx = xp+ p + 1 +^ C^ (p^6 =^ −1)

f (x)pf ′(x)dx = f (x)p+ p + 1 +^ C^ (p^6 =^ −1)

∫ 1 x dx = ln |x| + C

f ′(x) f (x) dx = ln |f (x)| + C

sin xdx = − cos x + C

f ′(x) sin f (x)dx = − cos f (x) + C

cos xdx = sin x + C

f ′(x) cos f (x)dx = sin f (x) + C

cos^2 x dx = tan x + C

f ′(x) cos^2 f (x) dx = tan f (x) + C

sin^2 x dx = − cot x + C

f ′(x) sin^2 f (x) dx = − cot f (x) + C

1 + x^2 dx = arctan x + C

∫ (^) f ′(x) 1 + f (x)^2 dx = arctan f (x) + C

1 − x^2

dx = arcsin x + C

f ′(x) √ 1 − f (x)^2

dx = arcsin f (x) + C

7. Calcular la integral

e^5 xdx.

Soluci´on.-

e^5 x^ + C.

8. Calcular la integral

cos 5xdx.

Soluci´on.- sin 5x 5

+ C.

9. Calcular la integral

sin axdx. Soluci´on.- − cos ax a

+ C.

10. Calcular la integral

∫ (^) ln x x dx. Soluci´on.-

ln^2 x + C.

11. Calcular la integral

sin^2 3 x

dx.

Soluci´on.- − cot 3x 3

+ C.

12. Calcular la integral

cos^2 7 x dx.

Soluci´on.- tan 7x 7

+ C.

13. Calcular la integral

3 x − 7 dx.

Soluci´on.-

ln | 3 x − 7 | + C.

14. Calcular la integral

1 − x dx. Soluci´on.- − ln | 1 − x| + C.

15. Calcular la integral

5 − 2 x dx.

Soluci´on.- −

2 ln^ |^5 −^2 x|^ +^ C.

16. Calcular la integral

tan 2xdx.

Soluci´on.- −

ln | cos 2x| + C.

17. Calcular la integral

sin^2 x cos xdx.

Soluci´on.- sin

(^3) x 3

+ C.

18. Calcular la integral

cos^3 x sin xdx.

Soluci´on.- − cos^4 x 4

+ C.

19. Calcular la integral

x

x^2 + 1dx.

Soluci´on.-

(x^2 + 1)^3 + C.

20. Calcular la integral

∫ (^) x √ 2 x^2 + 3

dx.

Soluci´on.- 1 2

2 x^2 + 3 + C.

21. Calcular la integral

∫ (^) cos x sin^2 x dx.

Soluci´on.- −

sin x

+ C.

22. Calcular la integral

∫ (^) sin x cos^3 x dx.

Soluci´on.-

2 cos^2 x

+ C.

23. Calcular la integral

∫ (^) tan x cos^2 x dx.

Soluci´on.- tan^2 x 2 +^ C.

24. Calcular la integral

∫ (^) cot x sin^2 x dx.

Soluci´on.- − cot^2 x 2 +^ C.

25. Calcular la integral

∫ (^) ln(x + 1) x + 1 dx.

Soluci´on.- ln^2 (x + 1) 2

+ C.

26. Calcular la integral

∫ (^) cos x √ 2 sin x + 1

dx.

Soluci´on.-

2 sin x + 1 + C.

27. Calcular la integral

∫ (^) sin 2x (1 + cos 2x)^2 dx.

Soluci´on.-

2(1 + cos 2x)

+ C.

28. Calcular la integral

∫ (^) sin 2x √ 1 + sin^2 x

dx.

Soluci´on.- 2

1 + sin^2 x + C.

29. Calcular la integral

∫ √tan x + 1 cos^2 x dx.

Soluci´on.-

(tan x + 1)^3 + C.

42. Calcular la integral

9 − x^2

dx.

Soluci´on.- arcsin x 3

+ C.

43. Calcular la integral

4 + x^2 dx.

Soluci´on.-

2 arctan^

x 2 +^ C.

Integraci´on por partes

Recordemos la f´ormula de la deriva del producto de funciones d dx [u(x)v(x)] = u′(x)v(x) + u(x)v′(x),

que expresada bajo forma de diferencial da lugar a

d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)].

De donde se obtiene, u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)]. Integrando ahora ambos miembros tendremos ∫ u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) −

v(x)d[u(x)],

que se escribe tambi´en en forma abreviada, ∫ udv = uv −

vdu. (1)

Esta expresi´on es conocida como la f´ormula de la integraci´on por partes y es de gran utilidad para la resoluci´on de integrales. Se aplica a la resoluci´on de las integrales

udv a partir de la integral

vdu que se supone m´as sencilla. La aplicaci´on de (1) exige primero identificar adecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemplo

Ejemplo 1 Si queremos calcular la integral ∫ x^3 ln xdx,

observemos que la integral de x^3 es inmediata y que la derivada de ln x es tambi´en muy sencilla. As´ı, si asignamos u = ln x y dv = x^3 dx,

tendremos

du = dx x y v = x^4 4

+ C 1 ,

si integramos ahora ∫ x^3 ln xdx =

ln x

[

d

x^4 4

+ C 1

)]

x^4 4

+ C 1

ln x −

∫ (^ x 4 4

+ C 1

dx x

=

x^4 4

+ C 1

ln x −

x^3 4

C 1

x

dx

x^4 4 ln^ x^ −^

x^4 16 +^ C. Observemos que la primera constante de integraci´on C 1 se cancela de la respuesta final (C 1 ln x− C 1 ln x). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´actica, nunca incluimos una constante de integraci´on en v(x), simplemente tomaremos para v(x) cualquier primitiva de dv(x).

Ejercicios de integrales definidas y c´alculo de ´areas

1. Calcular la integral definida

0 x

(^4) dx.

Soluci´on.-

2. Calcular la integral definida

0 e xdx. Soluci´on.- e − 1.

3. Calcular la integral definida

∫ π 2 0 sin^ xdx. Soluci´on.- 1.

4. Calcular la integral definida

0

1 + x^2 dx. Soluci´on.- π 4

5. Hallar el ´area de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x^2 y el eje X. Soluci´on.- 10

6. Hallar el ´area de la figura comprendida entre las curvas y^2 = 9x e y = 3x. Soluci´on.-

7. Hallar el ´area de la figura limitada por la hip´erbola equil´atera xy = a^2 , el eje X y las rectas x = a y x = 2a. Soluci´on.- a^2 ln 2.