Practiques, Ejercicios de Cálculo

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DEPARTAMENT D’ESTAD´ISTICA I

INVESTIGACI ´O OPERATIVA

Ejercicios de C´alculo de Probabilidades

Curso acad´emico 2004-

Tema 1: Concepto de Probabilidad y Propiedades. Probabili-

dad condicional. Independencia

1. Se lanzan al aire dos monedas bien construidas. De las siguientes afirmaciones cual, si alguna, te parece la soluci´on correcta a la pregunta ¿cual es la probabilidad de que aparezcan dos caras? Razona la respuesta.

a) Puesto que o aparecen dos caras o no aparecen dos caras la probabilidad es 12. b) El n´umero de caras obtenido puede ser 0, 1 ´o 2. La probabilidad de 2 caras es 13. c) Aunque sean monedas iguales, vamos a considerar que podemos etiquetarlas como ”moneda 1 2 ”moneda 2”. Teniendo en cuenta ese orden, los posibles resultados son CC, C+, +C y ++. La probabilidad de dos caras, CC, es 14.

2. Tres grupos de amigos eligen al azar entre tres bares para ir a cenar, sin restricci´on en el n´umero de grupos por bar.

a) Listar los posibles resultados y, considerando que son equiprobables, calcular la probabili- dad de los sucesos: A = Primer bar vac´ıo; B = Los dos primeros bares vac´ıos y C = Cada bar no tiene m´as de un grupo. b) Hallar las probabilidades de A, B y C si se distribuyen los tres grupos entre n bares, n ≥ 2.

3. Si se lanzan dos dados, ¿cual es la probabilidad de que los dos n´umeros que aparecen sean distintos? ¿Cual es la probabilidad de que al lanzar 3 dados los 3 sean distintos? ¿Y si se lanzan n dados, n ≤ 6?
4. Una pareja planifica su familia de acuerdo con una de las siguientes estrategias y bajo la hip´otesis de que el nacimiento de una ni˜na o un ni˜no son igualmente probables.

a) Tener tres hijos. b) Tener ni˜nos hasta que nace la primera hija o hasta que tenga tres, lo que se produzca antes. Despu´es parar. c) Tener ni˜nos hasta que tenga uno de cada sexo o hasta tener tres, lo que se produzca antes. Despu´es parar.

Sea Bi el suceso consistente en que han nacido i ni˜nos y sea C el suceso consistente en que hay m´as ni˜nas que ni˜nos. Determinar P (B 1 ) y P (C) en cada uno de las tres estrategias anteriores.

5. Sup´ongase que tres corredores del equipo A y tres del equipo B participan en una carrera. Si los seis tienen las mismas aptitudes y no hay empates, ¿cual es la probabilidad de que los tres corredores del equipo A lleguen en primero, segundo y tercer lugar, y los tres corredores del equipo B lleguen en cuarto, quinto y sexto lugar?
6. Una urna contiene 100 bolas, de las cuales r son rojas. Sup´ongase que las bolas son seleccionadas al azar de una en una y sin reemplazo. Determinar:

a) La probabilidad de que la primera bola extra´ıda sea roja. b) La probabilidad de que la quincuag´esima bola extra´ıda sea roja. c) La probabilidad de que la ´ultima bola extra´ıda sea roja.

7. Muestreos con y sin reemplazamiento

a) Muestreo con reemplazamiento. Una moneda bien construida se lanza diez veces. Calcular la probabilidad de los sucesos: A = Se obtienen exactamente tres caras, y B = Se obtienen no m´as de tres caras. b) En el caso anterior, obtener la probabilidad de observar exactamente r caras en n lanza- mientos.

c) Apruebe el te´orico si se sabe que es de los que han aprobado el pr´actico.

15. En cierta poblaci´on, donde la mitad son hombres y la otra mitad mujeres, el 10 % son zurdos. Si el 6 % son hombres zurdos, ¿qu´e porcentaje hay de mujeres diestras?
16. Juan y Marta son poco puntuales. Cuando quedan juntos a una hora, la probabilidad de que Juan sea puntual es 0.4, mientras que la probabilidad de que Marta llegue tarde es 0.55. Sabiendo que la probabilidad de que al menos uno de los dos llegue a la hora acordada es 0.7, calcular la probabilidad de que los dos sean puntuales.
17. Juan (el del ejercicio anterior) ha quedado ahora con su hermano David. La probabilidad de que los dos sean puntuales es 0.1 y la de que los dos lleguen tarde es 0.2. Calcular la probabilidad de que David sea puntual.
18. En una permutaci´on aleatoria de los enteros 1, 2 ,... , n se dice que hay coincidencias si al menos uno de los n´umeros est´a en el sitio correcto.

a) Calcula la probabilidad de coincidencias para n = 2, 3 y 4. Demostrar que, en general, esa probabilidad es (^) 1!^1 − (^) 2!^1 + · · · + (−1)n+1 1 n!. b) ¿Cual es el l´ımite de la probabilidad anterior cuando n tiende a infinito?

19. Sean {A 1 , A 2 y A 3 } tres sucesos arbitrarios, con probabilidades P(A 1 ), P(A 2 ) y P(A 3 ) respec- tivamente. Calcular la probabilidad de que ocurra exactamente uno de ellos.
20. Se lanza un dado bien construido dos veces (lo cual es probabil´ısticamente equivalente a lanzar dos dados bien construidos). Sabiendo que el primer dado ha sacado un 3 o menor, ¿Cu´al es la probabilidad condicionada de que la suma de los dos n´umeros sea impar?
21. Se lanza una moneda bien construida tres veces. Hallar:

a) La probabilidad condicionada de que el primer lanzamiento resulte cara, sabiendo que hubo exactamente una cara (Trata de adivinar la respuesta primero, y entonces usa la definici´on de probabilidad condicionada). b) La probabilidad condicionada de que hubiera exactamente una cara, sabiendo que en el primer lanzamiento sali´o cara. c) La probabilidad condicionada de tres caras, dado que hay al menos dos caras. d ) La probabilidad condicionada de que salgan tres caras, dado que los dos primeros lanza- mientos resultaron dos caras.

22. Piensa acerca de lo que significan las probabilidades condicionadas siguientes y decide los valores que deber´ıan tener. Entonces calc´ulalas usando la definici´on de probabilidad condicionada.

a) P (B | B). b) P (B | Bc). c) P (B | Ω). d ) P (B | ∅). e) P (B | A) cuando A es un subconjunto de B. f ) P (B | A) cuando B es un subconjunto de A.

23. Supongamos que P (B | A) = P (B). ¿Debe ser P (A | B) = P (A)? ¿Por qu´e? Suponer que las probabilidades P(A) y P(B) son mayores que cero.
24. Se extraen tres cartas de una baraja francesa (52 cartas), de una en una y sin reemplazamiento. Hallar la probabilidad de que:

a) Todas sean rojas (i.e. son corazones o diamantes).

b) Las dos primeras sean negras y la tercera sea roja. c) La primera y la tercera sean negras y la segunda sea roja. d ) La segunda y la tercera sean negras y la primera sea roja. e) Exactamente una sea roja. f ) Exactamente una sea negra. ( No es necesario realizar ning´un c´alculo si se sabe la respuesta del apartado e ). g) La primera es un as y la segunda tambi´en. h) La primera no es un as y la segunda s´ı. i) La segunda es un as.

25. En una f´abrica de tornillos hay cuatro m´aquinas trabajando en paralelo. La m´aquina 1 produce el 35 % de los tornillos, y solo el 5 % de ellos son defectuosos. Similarmente las m´aquinas 2, 3 y 4 producen el 30 %, el 20 % y el 15 % del total, y sus porcentajes de tornillos defectuosos son 4 %, 2 % y 2 % respectivamente. Calcular las probabilidades de que un tornillo elegido al azar entre los fabricados por esas m´aquinas sea:

a) Defectuoso y fabricado por la m´aquina i (i = 1, 2 , 3 , 4). b) Defectuoso. c) No defectuoso. d ) Fabricado por la m´aquina 2 y no defectuoso.

26. El 28 % de los Republicanos, el 75 % de los Dem´ocratas y el 42 % de los independientes est´an a favor del candidato A. Adem´as, el 40 % de los votantes son Republicanos, el 43 % Dem´ocratas y el 17 % independientes. ¿Que proporci´on de los votantes est´an a favor del candidato A?
27. Se compran tres ordenadores iguales para el aula de inform´atica, sabiendo que la probabilidad de que falle algo dentro del per´ıodo de garant´ıa es p en cada ordenador.

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que se produzca al menos un fallo durante la garant´ıa? b) ¿Para que valor de p esa probabilidad es exactamente 0.5?

28. Esquema de urna de P´olya. Una urna contiene, inicialmente, cierta combinaci´on de bolas azules y blancas. Se extrae una bola, se anota su color y entonces se devuelve a la urna y se a˜nade otra bola del mismo color a la urna. De esta forma, la extracci´on de una bola aumenta ligeramente la probabilidad de que la siguiente sea del mismo color. Supongamos que la urna contiene originalmente tres bolas azules y siete bolas blancas. Sean los sucesos Ai = La i-´esima extracci´on sale bola azul, y Bi = la i-´esima extracci´on es blanca. Hallar las probabilidades siguientes:

a) P (A 1

A 2

B 3 )

b) P (A 1

B 2

A 3 ). Comparar con el apartado a. c) P (B 1

A 2

A 3 ). Comparar de nuevo. d ) P (A 2 ). Compara con P (A 1 ). ( Sugerencia para P (A 2 ): A 2 es la uni´on de dos sucesos disjuntos A 1

A 2 y B 1

A 2. )

29. En una determinada ciudad, el 80 % de los votantes del PSOE, el 45 % de los del PP, y el 55 % de los dem´as, est´an de acuerdo con una determinada decisi´on del Gobierno. En las ´ulti- mas elecciones, el 35 % de los electores de esa ciudad votaron PSOE y el 40 % votaron PP. Determinar:

a) La proporci´on de electores que est´a de acuerdo con la decisi´on del Gobierno. b) La probabilidad de que un elector, que dice estar de acuerdo con la decisi´on del Gobierno, haya votado al PSOE en las ´ultimas elecciones.

7 (a). P(A) = .1172 y P(B) = .1719 (b).

n r

2 −n^ (c). P(A) = .2904 y P(B) = .5597 (d).   R r

 

  N^ −^ R n − r

    N n

 

8 (a). (n − k + 1)/

n k

(b). n/

n k

(c). (k + 1)/

2 k k

9 P(Primer premio) = , 7151 × 10 −^7 y P(Segundo premio) = , 4291 × 10 −^6

10 P(A) = 47 , P(B) = 27 y P(C) = 17.

11 P(B ∪ F ) = 34 y P(B ∩ F ) = 56.

12 (a). 0.1459 (b). 0.7812 (c). 0.0729.

13 (a). 0.36 (b). 0.76 (c). 0.24.

14 (a). 0.3 (b). 0.286 (c). 0.5.

15 0.46.

16 0.15.

17 0.5.

18 (a). 0.5, 0.6667 y 0.6250 (b). 0.6321.

19 P(A 1 )+ P(A 2 )+ P(A 3 )−

−2 P(A 1 ∩ A 2 ) − 2 P(A 1 ∩ A 3 ) − 2 P(A 2 ∩ A 3 )+ +3 P(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )

(^20 )

21 (a). 13 (b). 14 (c). 14 (d). (^12)

22 (a). 1 (b). 0 (c). P (B) (d). Sin sentido (e). 1 (f ). P P^ ( (BA))

23 S´ı

24 (a). .1176 (b). .1275 (c). .1275 (d). .1275 (e). .3824 (f ). .3824 (g). .0045 (h). .0724 (i). .

25 (a). 0.0175, 0.0120, 0.0040, 0.0030 (b). 0.0365 (c). 0.9635 (d). 0.2880.

26 0.5059.

27 (a). 1 − (1 − p)^3 (b). 0.2063.

28 (a). .0636 (b). .0636 (c). .0636 (d). 103 la misma que P (A 1 )

29 (a). 0.5975 (b). 0.

30 0.

31 0.

32 p ≥ 0 , 5051

33 p ≤ 0 , 9571

34 0.

(^35) (1−^1 p−)+pkp

Tema 2: Variables aleatorias

1. Sea X una variable aleatoria discreta con funci´on de probabilidad definida como f (x) = 10 x para x = 1, 2 , 3 , 4 (y 0 en otro caso). Calcula las siguientes probabilidades:

a) P (1 < X < 3), P (1 ≤ X < 3), P (1, 5 < X < 3), P (1, 5 ≤ X < 3), P (1, 5 ≤ X ≤ 1 ,99). b) P (X ≤ 1), P (X < 1), P (0 ≤ X ≤ 2 | 1 ≤ X ≤ 3), P (X = 2, 3), P (X = 1, 2 , 3 , 4). c) P (X ∈ N ) donde N es el conjunto de los n´umeros enteros positivos. d ) P (X ∈ Q) donde Q es el conjunto de los n´umeros racionales. e) Calcula y dibuja la funci´on de distribuci´on F (x) de la variable X. Repite los dos primeros apartados del problema utilizando F (x). Representa en la gr´afica dibujada todas las prob- abilidades del primer apartado del problema y las dos primeras del segundo.

2. Si F (x) es la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria con distribuci´on de Poisson de par´ametro λ = 3,2, calcula: (a) F (1), (b) F (0,99), (c) F (3,2), (d) F (− 4 ,5), (e) l´ım x→ 2 − F (x)
3. Calcula la funci´on de probabilidad de una variable aleatoria discreta X para la que P (X > x) = (1/2)x^ cuando x = 1, 2 , 3 ,... y P (X = x) = 0 en otros casos.
4. Representa gr´aficamente la funci´on F (x):

F (x) =

0 si x < − 2 0 , 20 si − 2 ≤ x < − 1 0 , 35 si − 1 ≤ x < 1 0 , 45 si 1 ≤ x < 2 0 , 70 si 2 ≤ x < 4 0 , 95 si 4 ≤ x < 5 1 si 5 ≤ x < ∞

a) ¿Es la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria X discreta? b) Calcula y representa gr´aficamente la funci´on de probabilidad de esta variable aleatoria X. c) Calcula la(las) mediana(s) de X.

5. Considera un juego que consiste en lanzar repetidamente una moneda hasta conseguir el re- sultado cara. Cada vez que obtienes el resultado cruz colocas una ficha de color blanco en un sombrero, pero si el resultado es cara, adem´as de acabarse el juego, a˜nades una ficha negra en el sombrero. De esa forma, cuando finaliza el juego, el n´umero de fichas en el sombrero es igual al n´umero de lanzamientos realizados. A continuaci´on se elige al azar una ficha del sombrero. Si es blanca ganas 100 euros, pero si es la negra pierdes 100 euros. Comprueba que la probabi- lidad de que ganes es 0.3069 (= 1 − ln 2). (Recuerda que, desarrollando en serie de potencias, ln( (^1) −^1 x ) =

n=

1 n X

n, si |x| < 1).

6. La concha del caracol de tierra Limocolaria mantersiana puede ser rayada o p´alida. El 60 % de estos caracoles de tierra tiene la concha rayada. Se seleccionan 10 caracoles al azar de esta poblaci´on. Calcula la probabilidad de que la proporci´on de caracoles con concha rayada presentes en la muestra: (a) sea del 50 %, (b) est´e entre el 50 % y el 60 %, ambos inclusive, (c) no sea inferior al 70 %, (d) sea del 60 %.
7. Los genetistas han identificado dos cromosomas sexuales X e Y en los seres humanos. Todo individuo tiene un cromosoma X, y la presencia de un cromosoma Y , distingue al individuo como hombre, por lo que los dos sexos se caracterizan como XX (mujer) y XY (hombre). El daltonismo est´a causado por un alelo recesivo en el cromosoma X que denotamos por x. El cromosoma Y no tiene conexi´on con la ceguera al color. En funci´on de tal deficiencia, se consideran tres genotipos para las mujeres y dos para los hombres.

c) Un descuidado ladr´on deja en el lugar del robo una huella de tipo Amunt@watson. Se sabe que la probabilidad de que la huella dactilar de una persona elegida aleatoriamente al azar sea de tipo Amunt@watson es 10−^6. En una ciudad con 10^7 habitantes una persona con las huellas dactilares del tipo Amunt@watson es considerada la culpable del robo anterior. ¿Crees que ´unicamente con esta informaci´on el detenido es realmente el culpable? ¿Con qu´e tama˜no de ciudad encontrar´ıas ese hecho razonable?

13. Se lanza una serie de cohetes pirot´ecnicos hasta que se registra el primer lanzamiento correcto. Si esto no se produce en cinco ensayos, el experimento se detiene y se inspecciona el equipo. El coste del primer lanzamiento es de K miles de euros, el de cada uno de los restantes (si los hay) es de K/3 miles de euros. Cuando se consigue un lanzamiento correcto se obtiene una cierta cantidad de informaci´on que se valora como una ganancia de C miles de euros. Si T es la variable aleatoria que describe el coste del experimento total, calcula su distribuci´on de probabilidad y repres´entala gr´aficamente.
14. Sea X una variable aleatoria absolutamente cont´ınua con funci´on de densidad f (x) =

3 x^2

para 1 ≤ x ≤ 4 (y 0 en otro caso). Calcula las siguientes probabilidades

a) P (1 < X < 3), P (1 ≤ X < 3), P (1, 5 < X < 3), P (1, 5 ≤ X < 3), P (1, 5 ≤ X ≤ 1 ,99). b) P (X ≤ 1), P (X < 1), P (0 ≤ X ≤ 2 | 1 ≤ X ≤ 3), P (X = 2, 3), P (X = 1, 2 , 3 , 4). c) P (X ∈ N ) donde N es el conjunto de los n´umeros enteros positivos. d ) P (X ∈ Q) donde Q es el conjunto de los n´umeros racionales. e) Dibuja la funci´on de densidad f (x) y representa en esa gr´afica las probabilidades del apartado del problema. Calcula y dibuja la funci´on de distribuci´on F (x) de la variable X. Repite los dos primeros apartados del problema calculando ahora las correspondientes probabilidades a trav´es de F (x).

15. Sea X una variable aleatoria absolutamente cont´ınua con funci´on de densidad:

f (x) =

0 si x < 0 2 x si 0 ≤ x < 1 / 2 6(1 − x) si 1 / 2 ≤ x < 1 0 si x > 1

a) Dibuja f (x) y comprueba que realmente es una funci´on de densidad de probabilidad. b) Calcula la funci´on de distribuci´on de X y repres´entala gr´aficamente. c) Calcula P ( 34 ≤ X ≤ 1) y P ( 13 ≤ X < 23 ) y representa gr´aficamente estas dos probabilidades en cada una de las dos gr´aficas anteriores.

16. Sea X una variable aleatoria absolutamente cont´ınua con funci´on de distribuci´on:

F (x) =

0 si x < 0 3 x 34 si^0 ≤^ x^ ≤^1 (^4) x (^) +1 si^1 < x^ ≤^2 4 si^2 < x^ ≤^3 1 si x > 3

a) Calcula P ( 12 ≤ X ≤ 52 ) b) Calcula una funci´on de densidad para X y repres´entala gr´aficamente. c) Calcula el percentil del 25 %, del 50 % y del 75 %.

17. Encuentra una funci´on de densidad de una variable aleatoria cuya funci´on de distribuci´on es:

F (x) =

0 si x < 0 1 − (1 + 3x)e−^3 x^ en otro caso

18. Si una densidad para la variable aleatoria X es f (x) ∝ (x + 1)^2 cuando 0 < x < 2, y cero en otros casos, calcula la funci´on de distribuci´on de X, la probabilidad P (X > 1 | X < 1 ,5) y la mediana de la distribuci´on.
19. Representa gr´aficamente la funci´on de distribuci´on siguiente:

F (x) =

0 si x < 0 1 2 (1 +^ x

(^2) ) si 0 ≤ x < 1 1 si x ≥ 1

20. Sea X una variable aleatoria con densidad exponencial de par´ametro λ = 2. Halla las siguientes probabilidades:

a) P (2X + 1 > 3) b) P (X^2 ≤ 7) c) P (X ≤ 2 | X > 0 ,5) d ) P (X > 0 , 5 | X ≤ 2)

21. La duraci´on (en horas) de cierto tubo de radio es una variable aleatoria con distribuci´on expo- nencial de par´ametro λ = 0,005.

a) Calcula la probabilidad de que un tubo de esas caracter´ısticas dure menos de 200 horas si se sabe que todav´ıa funciona despu´es de 150 horas de servicio. b) Si se instalan tres de esos tubos en un conjunto, ¿cual es la probabilidad de que exactamente uno deba ser sustituido despu´es de 150 horas de servicio? c) Calcula el valor del percentil de orden 0.90 y comenta su significado en relaci´on a la duraci´on de los tubos estudiados. d ) ¿Cual es el n´umero m´aximo de tubos que se pueden poner en un panel de modo que haya una probabilidad 0.5 de que despu´es de 150 horas de servicio todos contin´uen funcionando?

22. Si X es una variable aleatoria N(μ, σ^2 ), esboza gr´aficamente su densidad para los siguientes valores de los par´ametros.

a) μ=0 y σ^2 =0.25. b) μ=0 y σ^2 =1. c) μ=0 y σ^2 =4. d ) μ=0 y σ^2 =

Calcula tambi´en en cada caso las probabilidades P(μ−σ < X < μ+σ), P(μ− 2 σ < X < μ+2σ), P(μ − 3 σ < X < μ + 3σ) y comenta los resultados obtenidos.

23. Hace a˜nos se descubri´o que los faisanes de Montana pose´ıan una contaminaci´on por mercurio apreciable, y se pens´o que esto pod´ıa deberse a que hab´ıan sido alimentados con semillas de plantas tratadas con metilo de mercurio. Sea X la variable aleatoria que describe el nivel de mercurio (en ppm) de un fais´an de Montana. Suponiendo que la distribuci´on de X es normal de par´ametros μ=0.25 ppm y σ=0.08 ppm, calcula el percentil del 25 % de su distribuci´on y las probabilidades P (X < 0 ,3), P (X > 0 ,17), P (0, 2 < X < 0 ,4).
24. En cierta poblaci´on de primates, la distribuci´on de la capacidad craneal, X, puede suponerse normal de par´ametros μ=1200 cm^3 y σ=140 cm^3.

a) Calcular la probabilidad de que la capacidad craneal de un miembro de dicha poblaci´on sea superior a 1400 cm^3. b) Calcular P (1000 < X < 1050), P r(X < 1060) y P (X > 920). c) ¿Qu´e valor de X superar´a el 20 % de los primates de dicha poblaci´on?

SOLUCIONES

1 (a) 0.2, 0.3, 0.2, 0.2, 0 (b) 0.1, 0.0, 0.5, 0.5, 1 (c) 1 (d) 1

2 (a) 0.1712 (b) 0.0408 (c) 0.6025 (d) 0 (e) 0.

3 f (x) = ( 12 )x^ para x = 1, 2 ,...

12 (a) Si el tipo de huella es poco habitual y la poblaci´on es grande (c) X es Poisson de par´ametro 19, por lo que P(es el ´unico) ≈ 10(e^10 − 1)−^1 que es muy peque˜na.

14 (a) 89 , 89 , 49 , 49 , 0 , 21887 (b) 0, 0, 34 , 0, 0 (c) 0 (d) 0.

17 9 xe−^3 x^ para x > 0 y 0 en otro caso.

18 0 para x < 0, 261 ((x + 1)^3 − 1) para 0 ≤ x ≤ 2 y 1 si x > 2.

20 (a) 0.1353 (b) 0.9950 (c) 0.9502 (d) 0.

29 F (y) = 0 si y ≤ 0, F (y) = exp{λ(1 − (1/y))} si 0 < t < 1, y F (y) = 1 si y ≥ 1.

30 Exponencial de par´ametro λ.

31 exp{−λb/a}

32 Ga(y| 12 , 12 )

33 (a) Cauchy t´ıpica, f (y) = (^) π^1 1+^1 y 2 (b) 1 − (1 + et)−^1 , t ∈ <

Tema 3: Vectores aleatorios

1. Sean X e Y dos variables aleatorias independientes con las siguientes funciones de probabilidad: x: 0 1 2 pX (x): .3 .5.

y: 0 1 2 pY (y): .6 .1.

a) Construye una tabla en la que se muestre P (X = x, Y = y) para cada par (x, y) de valores posibles. b) Halla P (X = Y ) c) Halla P (X + Y = 2) d ) Halla la funci´on de probabilidad de la variable aleatoria Z = X + Y , y repres´entala gr´aficamente.

2. El n´umero total de hijos e hijas de una familia escogida al azar puede describirse como una variable aleatoria con distribuci´on de Poisson de par´ametro λ = 1,8. Si la probabilidad de tener un hijo var´on es 0,51, determinar la probabilidad de que una familia escogida al azar tenga dos hijas y ning´un hijo.
3. Una planta produce M semillas, donde M se supone que sigue una distribuci´on binomial con par´ametros n y p. Cada semilla germina con probabilidad γ independientemente de las dem´as. Denotamos por R el n´umero de plantas que realmente germinan. Se pide calcular (y dibujar para el caso particular de n = 5, p = 0,5 y γ = 0,8) las siguientes funciones:

a) La funci´on de probabilidad condicional de R dado M = m. b) La funci´on de probabilidad conjunta de R y M. c) La funci´on de probabilidad de R. d ) La funci´on de probabilidad de M dado R = r.

4. Se tira 4 veces una moneda bien equilibrada: X es el n´umero de caras que aparecen en las tres primeras tiradas, Y es el n´umero de caras que aparecen en las tiradas 2, 3 y 4.

a) ¿Cu´al es la distribuci´on de X? ¿Y la de Y? b) Construye la tabla de la funci´on de probabilidad conjunta de X e Y. c) Halla las funciones de probabilidad marginales y comprueba que coinciden con las que has hallado en (a). d ) ¿Son independientes X e Y? e) Halla la probabilidad condicional de que X = x dado que Y = 2, para x= 0, 1, 2 y 3.

5. Supongamos que X e Y son dos variables aleatorias Poisson independientes cuyos par´ametros son 3 y 4 respectivamente. Halla la probabilidad de que X + Y = 5. (Pista: Este suceso se puede descomponer como uni´on de 6 sucesos disjuntos:(X = 0 e Y = 5), (X = 1 e Y = 4), etc. Adem´as se puede usar la f´ormula binomial para sumar las 6 probabilidades.)
6. Sean X e Y dos v.a. independientes con la misma funci´on de probabilidad f (k) = pqk^ para k = 0, 1 ,.. .. Esta es la funci´on de probabilidad de la distribuci´on geom´etrica de par´ametro p, 0 < p < 1 y q = 1 − p. Sea Z el m´ınimo de X e Y. Queremos determinar la funci´on de probabilidad de Z, para ello vamos a completar los siguientes pasos:

a) Para n = 0, 1 ,... halla P (X ≥ n). b) Para n = 0, 1 ,... halla P (Z ≥ n). (Pista : Z ≥ n si y s´olo si tanto X ≥ n como Y ≥ n). c) Usando el resultado del apartado (b) halla fZ (k) = P (Z = k), para k = 0, 1 ,...

12. Luis y Marcos van a hacer su compra semanal a un supermercado, cada uno con un carrito. Terminan a la vez y escogen una caja diferente para pagar. Queremos saber la probabilidad de que Luis tenga que esperar a que empiecen a cobrarle al menos tres veces m´as que Marcos. Para hallarla llama X al tiempo que espera Luis a ser servido e Y al tiempo que espera Marcos. Sup´on que X e Y son v.a. independientes y que siguen una distribuci´on exponencial de par´ametro λ. Traduce el suceso de inter´es Luis tiene que esperar a que empiecen a cobrarle al menos tres veces m´as que Marcos a una regi´on del plano, dibuja esa regi´on y calcula su probabilidad.
13. La densidad conjunta de X e Y es f (x, y) = λ^3 xe−λ(x+y)^ para x > 0 e y > 0. (Representa gr´afi- camente los sucesos involucrados en las apartados siguientes antes de calcular su probabilidad.)

a) Halla las densidades marginales y demuestra que X e Y son independientes. b) Halla P (X ≤ a, Y ≤ b) para cualesquiera a y b n´umeros positivos. c) Halla P (X ≤ a) para a > 0. d ) Calcula la probabilidad de que X + Y ≤ a para a > 0 e) Encuentra una densidad para Z = X + Y. Dib´ujala.

14. Sean X e Y dos variables aleatorias independientes con las siguientes funciones de densidad: fX (x) = 2(1 − x) para 0 < x < 1 y fY (y) = 2y para 0 < y < 1. Representa gr´aficamente esas funciones. Dibuja el suceso X es mayor que Y y calcula su probabilidad.
15. La distribuci´on conjunta de las variables aleatorias X e Y es uniforme en el rombo con v´ertices en (1,0), (-1,0), (0,1) y (0,-1).

a) Sin hacer ning´un c´alculo, decide si X e Y son independientes. b) Escribe la funci´on de densidad conjunta de X e Y. c) Calcula la funci´on de densidad marginal de X y dib´ujala.

16. Si X 1 y X 2 son variables aleatorias independientes con distribuci´on uniforme en (0,1), obt´en y representa gr´aficamente la funci´on de densidad de Y = X 1 + X 2. Resuelve este problema por dos caminos distintos: mediante la funci´on de distribuci´on de Y , y mediante el teorema de transformaciones de variables. En ambos casos haz todas las representaciones gr´aficas oportunas.
17. Si X e Y son variables aleatorias con funci´on de densidad conjunta f (x, y) = 2 en la regi´on 0 < x < y < 1, determina la funci´on de densidad de Z = X + Y. Resuelve este problema por dos caminos distintos: mediante la funci´on de distribuci´on de Y , y mediante el teorema de transformaciones de variables. En ambos casos haz todas las representaciones gr´aficas oportunas.
18. Si X 1 y X 2 son variables aleatorias independientes con distribuci´on exponencial Ex(λi), deter- mina la distribuci´on de Y = λ 1 X 1 + λ 2 X 2. Resuelve este problema por dos caminos distintos: mediante la funci´on de distribuci´on de Y , y mediante el teorema de transformaciones de vari- ables. En ambos casos haz todas las representaciones gr´aficas oportunas.
19. Determinar la distribuci´on de la suma y de la diferencia de dos variables aleatorias normales t´ıpicas independientes.
20. Determina la funci´on de densidad de la suma de dos v.a. independientes, ambas con distribu- ci´on Gamma de par´ametros α = β = 2. Utiliza para ello el teorema de cambio de variables, representando gr´aficamente el soporte de las variables originales y el soporte de las variables transformadas que hayas utilizado.
21. Si X 1 y X 2 son variables aleatorias independientes con distribuci´on Gamma Ga( 12 , 12 ), deter-

minar la distribuci´on conjunta de Y 1 = (^) X 1 X+^1 X 2 e Y 2 = X 1 + X 2 y sus marginales. Representa gr´aficamente el soporte de las variables originales y el soporte de las variables transformadas.

22. Cada una de las cinco componentes del sistema dibujado m´as abajo tiene un tiempo de vida que es exponencial de par´ametro λ (media (^) λ^1 ), todos ellos independientes. El sistema deja de funcionar cuando se estropean al menos una de las componentes que hay en cada uno de sus dos ramales.

a) Obt´en, en t´erminos de λ, la funci´on de densidad del tiempo de vida del sistema. b) Suponiendo que λ = 1: ¿Cu´anto vale la probabilidad de que el sistema tarde en estropearse m´as de un d´ıa? c) ¿Y la probabilidad de que el sistema tarde en estropearse m´as de dos d´ıas, si se sabe que al final del primer d´ıa todav´ıa estaba funcionando?

A B C

D E

c cc ##

c cc

s s s

s s

Tema 4: Esperanza

1. Sea X una variable aleatoria para la que existe E(X) y E(X^2 ).

a) Comprueba que E((X−E(X))^2 ) =E(X^2 ) − (E(X))^2. b) Demuestra que para cualquier n´umero real a, se cumple la relaci´on:

E((X − a)^2 ) = E((X − E(X))^2 ) + (a − E(X))^2 ,

por lo que E((X − a)^2 ) se minimiza cuando a = E(X).

2. Calcula la esperanza y varianza de una variable aleatoria X con distribuci´on:

a) Discreta cuyos valores con probabilidad no nula son 1, 2 ,... , n, todos ellos equiprobables. b) Binomial de par´ametros n = 4 y p = 12. c) La que se presenta en el problema 4 del tema 2.

3. Si representamos por μ y σ^2 , respectivamente, la esperanza y varianza de una variable aleatoria X, expresa en t´erminos de estos dos momentos:

a) E(2X − 3) y V(2X − 3). b) El segundo momento de X y el segundo momento de X respecto de a = 1. c) V(5 − X). d ) E((X − 2)(X + 1)).

4. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Poisson de par´ametro λ.

a) Comprueba que E(X) = λ y E(X(X − 1)) = λ^2. b) Utilizando los resultados anteriores, calcula E(X^2 ) y E((X−E(X))^2 ).

5. Calcula la esperanza y varianza de una variable aleatoria X con distribuci´on:

a) f (x) = 6x(1 − x) si 0 < x < 1 ( y 0 en otro caso). b) f (x) = (^) x^34 si x > 1 ( y 0 en otro caso). c) f (x) es proporcional a x^2 si 0 < x < 1 ( y 0 en otro caso). d ) f (x) es proporcional a xk^ si 0 < x < 1 ( y 0 en otro caso), siendo k > −1 una constante conocida.

6. Rescata las gr´aficas de las densidades de los problemas 15 y 16 del tema 2. Antes de empezar a realizar c´alculos, piensa d´onde (de las gr´aficas anteriores claro) situar´ıas la esperanza y la mediana de cada una de las variables de estos problemas. Rescata ahora la mediana de la distribuci´on del problema 16, calcula la de la distribuci´on del problema 15 y la esperanza de las dos distribuciones considerada. Sit´ua todos estos valores en las gr´aficas anteriores. Si has acertado en tus previsiones pues ya has acabado el problema. Pero si te has equivocado deber´ıas reflexionar un poco m´as sobre el significado de los conceptos de esperanza y mediana de la distribuci´on de una variable aleatoria.
7. La esperanza de una variable aleatoria X no siempre representa un valor t´ıpico ni tampoco un valor medio de su distribuci´on.

a) Calcula la esperanza de una variable aleatoria X cuyos ´unicos valores posibles (con prob- abilidad no nula) son 1, 2 y 1000 con probabilidades 14 , 12 y 14 respectivamente. b) Si X tiene una distribuci´on exponencial con par´ametro λ, calcula la probabilidad de que X sea mayor que su esperanza. c) Si X tiene una distribuci´on exponencial con par´ametro λ, calcula el valor m para el que P (X > m) = 12.

8. Calcula la esperanza y varianza de una variable aleatoria X con distribuci´on:

a) Uniforme en el intervalo (α, β). b) Dada por la funci´on de densidad f (x) = λ^2 xe−λx^ si x > 0 ( y 0 en otro caso).

9. La altura de un gorila adulto macho sigue una distribuci´on normal con valor esperado μ=75. pulgadas y varianza σ^2 =8.5 pulgadas^2.

a) ¿Qu´e porcentaje de gorilas adultos macho medir´a entre 73.0 y 77.4 pulgadas? b) ¿Qu´e porcentaje de gorilas adultos macho pasar´a de 80.0 pulgadas? c) Sabiendo que una pulgada equivale a 2.54 cm, ¿cu´al ser´ıa la distribuci´on de la altura de los gorilas adultos macho expresados en cm? d ) ¿Variar´ıan las respuestas de los dos primeros apartados si las alturas viniesen expresadas en otra unidad que no fuesen pulgadas? Justifica tu respuesta.

10. Si X es una variable aleatoria con distribuci´on normal:

a) ¿Qu´e porcentaje de valores de la variable se encuentran a un m´aximo de tres desviaciones t´ıpicas de la media? b) Si la desviaci´on t´ıpica es σ = 10, ¿qu´e amplitud tiene un intervalo centrado en la media que contenga el 50 % de la poblaci´on de valores de la variable?

11. Si X es una variable aleatoria con distribuci´on Normal de media μ = 86 y desviaci´on t´ıpica σ = 5, calcula:

a) La probabilidad de que X est´e m´as alejada del 10 % de su media. i.e.: que no est´e entre μ − 0 , 1 μ y μ + 0, 1 μ. b) El percentil 75o^ de la distribuci´on de X. c) El percentil 25o^ de la distribuci´on de X. d ) El n´umero a de forma que la probabilidad de que X ∈ [86 − a, 86 + a] sea 0.90.

12. Una empresa vende az´ucar en bolsas de 5 quilos. Las envasadoras de az´ucar no pueden garantizar un peso exacto de az´ucar por bolsa; de hecho, los pesos se distribuyen normalmente con un peso medio de μ=5.13 quilos y una desviaci´on t´ıpica σ=0.08 quilos. Se pide:

a) ¿Qu´e proporci´on de bolsas pesar´a menos de 5 quilos? b) Se van a pesar 12 bolsas, ¿cu´al es la probabilidad de que 10 o m´as bolsas pesen m´as de 5 quilos? c) La m´aquina puede ajustarse para incrementar el peso medio μ. Suponiendo que la desvia- ci´on t´ıpica no cambia, ¿a qu´e valor deber´ıa ajustarse μ para que solamente el 1 % de las bolsas pese menos de 5 quilos?

13. Determinar la funci´on de densidad, la media y la varianza, de una v.a. Y cuyo logaritmo, X = ln Y tiene una distribuci´on normal con funci´on de densidad

f (x) = N (x|μ, σ) =

σ

2 π

exp(−

(x − μ)^2 σ^2

14. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on uniforme en el intervalo (0, 1). Calcula E(e^5 X^ ) y demuestra que E(1/X) no existe.
15. Sea X la variable aleatoria que describe el n´umero de caras obtenidas en 100 lanzamientos de una moneda equilibrada

a) ¿Que dice la desigualdad de Chebyshev sobre la probabilidad de que X no est´e a menos de un 10 % de su valor esperado?