Espacio de probabilidad - Probabilidad condicionada, Ejercicios de Cálculo

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C´alculo de Probabilidades.

Enunciados.

25 de septiembre de 2006

• 1. Espacio de probabilidad Indice general
  • 1.1. Probabilidad
  • 1.2. Probabilidad condicionada, teorema de Bayes e independencia
• 2. Variables y vectores aleatorios
  • 2.1. Variable aleatoria
  • 2.2. Vector aleatorio
  • 2.3. Independencia de variables aleatorias
  • 2.4. Distribuciones condicionadas
  • 2.5. Funci´on de una o varias variables aleatorias
• 3. Esperanza
  • 3.1. Esperanza de una variable aleatoria
  • 3.2. Esperanza de un vector aleatorio
  • 3.3. Esperanza condicionada
• 4. Convergencia de sucesiones de variables aleatorias
  • 4.1. Tipos de convergencia
  • 4.2. Leyes de los Grandes N´umeros
  • 4.3. Funci´on caracter´ıstica
  • 4.4. Teorema Central de L´ımite
  • 4.5. Funci´on generatriz de momentos
• 5. Ex´amenes previos
  • 5.1. 1 de septiembre de
    • 5.1.1. Castellano
    • 5.1.2. Valenciano
  • 5.2. 3 de febrero de
    • 5.2.1. Castellano
    • 5.2.2. Valenciano
  • 5.3. 3 de septiembre de
    • 5.3.1. Castellano
    • 5.3.2. Valenciano
  • 5.4. 8 de junio de
    • 5.4.1. Castellano
    • 5.4.2. Valenciano
  • 5.5. 9 de febrero de
    • 5.5.1. Castellano
  • 5.5.2. Valenciano 4 ´INDICE GENERAL
• 5.6. 21 de junio de
  • 5.6.1. Castellano
  • 5.6.2. Valenciano
• 5.7. 6 de junio de
  • 5.7.1. Castellano
  • 5.7.2. Valenciano

Cap´ıtulo 1

Espacio de probabilidad

1.1. Probabilidad

Problema 1 Juego de dados tradicional chino que se juega durante la celebraci´on del a˜no nue- vo. En este juego se lanzan 6 dados. Seg´un parece un lanzamiento con dos pares gana a un lanzamiento con un par. ¿Cu´al es la probabilidad de cada uno de estos sucesos? En otras pala- bras, encuentra la probabilidad de obtener un par en un lanzamiento de 6 dados y la probabilidad de obtener dos pares en un lanzamiento de 6 dados.

Problema 2 (Problema de los cumplea˜nos) En una reuni´on hay n personas. ¿Cu´al es la probabilidad de que dos de ellas tengan el mismo cumplea˜nos?

Problema 3 (Pitman, p´agina 9) Elegimos una palabra al azar de esta frase. Se pide:

1. ¿Qu´e probabilidad tenemos de que la palabra tenga al menos cuatro letras?
2. ¿Y de que la palabra tenga al menos dos vocales?
3. ¿Y de que tenga al menos dos letras y al menos dos vocales?

Problema 4 (Muestreo con y sin reemplazamiento) Veamos un experimento que corres- ponde a lo que se conoce como muestreo con reemplazamiento Una caja contiene una serie de papeletas marcadas con los n´umeros 1 ,... , n. Elegimos al azar una papeleta de la caja. Vemos su n´umero y la devolvemos a la caja. Determinar las probabilidades de los siguientes sucesos.

1. La primera papeleta tiene el n´umero 1 y la segunda el n´umero 2.
2. Los n´umeros de las dos papeletas son n´umeros enteros consecutivos, esto es, la primera papeleta tiene un n´umero una unidad inferior a la segunda.
3. El segundo n´umero extraido es mayor que el primero.

Supongamos ahora que no reemplazamos la primera papeleta en la caja. En consecuencia la segunda papeleta ha de ser distinta a la primera. Se pide responder a las tres preguntas anteriores en esta nueva situaci´on.

Problema 5 Supongamos que barajamos una baraja de 52 cartas y tomamos las dos cartas que han quedado en la parte superior del mazo.

1.1. PROBABILIDAD 7

8. Tener una pareja (x x y z w).

Problema 10 Lanzamos dos dados. Determinar la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. El m´aximo de los dos valores que obtenemos es menor o igual a 2.
2. El m´aximo de los dos valores es menor o igual a 3.
3. El m´aximo de los dos n´umeros es igual a 3.
4. Repite los dos apartados anteriores sustituyendo 3 por x donde x var´ıa entre 1 y 6.
5. Si denotamos por p(x) con x = 1,... , 6 las probabilidades calculadas en el apartado ante- rior comprueba que

i=1 p(x) = 1.

Problema 11 (Una carrera de tortugas) En la carrera de las grandes tortugas compiten cuatro animales. Para darle un poco de animaci´on a la carrera, los cuatro propietarios deciden introducir los nombres de las tortugas en un sombrero y cada uno de los propietarios elige aleatoriamente un nombre sin reemplazamiento. Cada propietario est´a obligado a apostar por la tortuga que le ha correspondido en el sorteo. Se pide:

1. Determinar la probabilidad de que todos los propietarios apuesten por sus tortugas.
2. Ning´un propietario apueste por su propia tortuga.
3. El desafortunado propietario A elija a la tortuga Berzine que siempre pierde.
4. A apueste por la tortuga de B y B por la tortuga de A.

Problema 12 (Examen 2-3-2004) El holand´es Christian Huygens public´o en 1657 uno de primeros libros sobre Probabilidad que se conocen, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Razona- miento en los Juegos de Azar), en el que planteaba una serie de problemas. El que se conoce como segundo problema de Huygens lo enunciamos a continuaci´on Tres jugadores A, B y C participan en el siguiente juego. Una urna contiene a bolas blancas y b negras. Los jugadores, en el orden ABCABC.. ., extraen una bola con reemplazamiento hasta que uno de ellos obtiene una bola blanca y gana. Encontrar la probabilidad de ganar para cada jugador.

Problema 13 Hemos cuadriculado una cierta zona en seis columnas y cuatro filas. Denotamos por C(i, j) la celda en la fila i y columna j. Considerad el siguiente juego. Tenemos una ficha colocada en el rect´angulo marcado con C(0, 0). La ficha la movemos a la derecha o hacia arriba desde la celda inicial C(4, 1) a la celda final C(1, 6). Se pregunta:

1. ¿Cu´antos posibles caminos hay moverse desde C(4, 1) hasta C(1, 6)?
2. Si el jugador en su camino pasa por la celda C(2, 5) recibe un premio. Supongamos que cada camino tiene la misma probabilidad, ¿cu´al es la probabilidad de que el jugador pase por C(2, 5) en su camino de C(4, 1) a C(1, 6)?

Problema 14 (Aditividad finita y numerable) Demostrar que una medida de probabili- dad es finitamente aditiva.

Problema 15 Comprobar que la definici´on de probabilidad de Laplace verifica los axiomas de Kolmogorov. En definitiva, que es una medida de probabilidad.

8 CAP´ITULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD

Problema 16 (Krief y Levy, p´agina 81) Tenemos el espacio de probabilidad (Ω, A, P ). Se pide:

1. Probar que si A, B y C son tres sucesos en este espacio se tiene que:

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (A ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).

2. Sean A 1 ,... , An sucesos en (Ω, A, P ). Demostrar la desigualdad siguiente:

P (A 1 ∪... ∪ An) ≤

∑^ n

i=

P (Ai).

¿En qu´e caso la desigualdad anterior es una igualdad?

Problema 17 (Krief y Levy p´agina 81) Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad. Se de- nomina diferencia sim´etrica de dos sucesos A y B al suceso A△B = (A ∩ Bc) ∪ (Ac^ ∩ B).

1. Probar que si tenemos los tres sucesos A, B y C entonces

P (A△C) ≤ P (A△B) + P (B△C).

2. Para sucesos A, B, C y D se verifica

P

(A ∪ B)△(C ∪ D)

≤ P (A△C) + P (B△D).

Problema 18 (Un camino aleatorio cul´e) El d´ıa 27 de julio de 1997 se celebraron elec- ciones a la presidencia del Bar¸ca. Hab´ıa s´olo dos candidatos, el se˜nor Fern´andez y el se˜nor N´u˜nez, siendo este ´ultimo el ganador. Un socio con veleidades probabil´ısticas se hizo la siguien- te pregunta: ¿habr´a ido el se˜nor N´u˜nez por delante del se˜nor Fern´andez a lo largo de todo el escrutinio? El se˜nor N´u˜nez obtuvo 24025 votos y el se˜nor Fern´andez 5209.

1.2. Probabilidad condicionada, teorema de Bayes e inde-

pendencia

Problema 19 Sean A y B dos sucesos. Obtener la probabilidad de A ∩ B si ha ocurrido A o si ha ocurrido A ∪ B. Comentar el resultado.

Problema 20 (La paradoja del caballero De Mer´e) En un juego consistente en lanzar repetidamente un par de dados, encontrar el menor n´umero n de lanzamientos para que la probabilidad de obtener al menos un doble seis sea mayor que 0 , 5.

Comentarios El origen de la paradoja est´a en la pregunta que Antoine Gombauld, caballero De Mer´e, plante´o a Pascal Observaba De Mer´e una discrepancia entre la realidad, deducida de su larga experiencia como jugador, y una antigua regla muy extendida entre los jugadores que afirmaba que n = 24. Esta err´onea regla ten´ıa su origen en la creencia de un comportamiento lineal de las probabi- lidades. Se sab´ıa que si los lanzamientos eran de un solo dado y se persegu´ıa la obtenci´on de un seis, n = 4, pues p 3 , 1 = 0,4213 y p 4 , 1 = 0,5177. Se razonaba a continuaci´on mediante una sencilla regla de tres: 4 es a 6 como 24 a 36.

10 CAP´ITULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD

Problema 26 (Krief y Levy, p´agina 82) Se consideran cuatro n´umeros reales a, b, c y d comprendidos entre 0 y 1. Determinar las condiciones necesarias y suficientes que deben verificar estos cuatro n´umeros para que se pueda definir un espacio probabil´ıstico (Ω, A, P ) y dos sucesos A y B en este espacio verificando que: P (A|B) = a, P (A|Bc) = b, P (B|A) = c y P (B|Ac) = d.

Problema 27 Hay sucesos que son independientes de s´ı mismo. Por ejemplo, el suceso vac´ıo ∅ verifica que P (∅ ∩ ∅) = P (∅) = 0 y por lo tanto es independiente de s´ı mismo. ¿Qu´e ha de verificar un suceso para que sea independiente de s´ı mismo?

Problema 28 Dos jugadores A y B juegan a un juego en el que cada uno de ellos puede efectuar n lanzamientos de dos dados, siendo A quien comienza. Las reglas del juego son las siguientes:

Si A obtiene una suma 6 con los dados antes de que B haya obtenido una suma 7, A gana el juego.

Si es B quien obtiene el 7 antes de que A haya obtenido el 6, es B quien gana.

El juego termina en empate cuando ambos han agotado su n lanzamientos.

Encontrar las expresiones de pA(n), pB (n) y pE (n) que denotan, respectivamente, que el ganador es A, el ganador es B o el juego termina en empate. Calcular sus l´ımites cuando n → ∞.

Problema 29 Sean A y B dos sucesos incompatibles con probabilidad distinta de cero. ¿Cu´al es la probabilidad de que A ocurra antes que B si el experimento se repite indefinidamente?

Problema 30 (El juego de craps) Un jugador lanza dos dados, si la suma del primer lan- zamiento es 7 u 11 gana, si la suma es 2, 3 o 12 pierde y si la suma es cualquier otro n´umero continua lanzando hasta que aparezca una suma 7 o la suma que inicialmente obtuvo. Si aparece la suma 7 antes que la suma inicial pierde, en caso contrario gana. Calcular la probabilidad de que gane el juego.

Problema 31 (El segundo problema de Huygens) El holand´es Christian Huygens public´o en 1657 uno de primeros libros sobre Probabilidad que se conocen, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Razonamiento en los Juegos de Azar), en el que planteaba una serie de problemas. El que se conoce como segundo problema de Huygens lo enunciamos a continuaci´on Tres jugadores A, B y C participan en el siguiente juego. Una urna contiene a bolas blancas y b negras. Los jugadores, en el orden ABCABC.. ., extraen una bola con reemplazamiento hasta que uno de ellos obtiene una bola blanca y gana. Encontrar la probabilidad de ganar para cada jugador.

Problema 32 (El problema de los puntos o del reparto de la apuesta) Dos jugadores A y B juegan a un juego consistente en un n´umero indeterminado de partidas. La probabilidad de ganar en cada partida es p para A y 1 − p para B. Aquel de los dos que consigue antes vencer en r partidas gana el juego y la apuesta que ambos hicieron. Si el juego se interrumpe antes de finalizar, ¿c´omo se debe repartir la apuesta?

Problema 33 Utilizando argumentos probabil´ısticos, probar la igualdad (A > a)

A − a A − 1

(A − a)(A − a − 1) (A − 1)(A − 2)

(A − a)... 2 · 1 (A − 1)... (a + 1)a

A

a

Sugerencia.- Una urna con A bolas de las cuales a son blancas, extracciones sucesivas sin reemplazamiento, primera bola blanca, etc.

1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA 11

Problema 34 ( ) Se lanza un dado una vez, si sale 1 se saca una bola de la urna I, si sale 2 o 3 se saca de la urna II, y en otro caso se saca de la urna III. La urna I tiene 5 bolas blancas, 3 verdes y 2 rojas; la urna II tiene 1 blanca 6 verdes y 3 rojas; la III tiene 3 blancas, 1 verde y 6 rojas. Determina las probabilidades siguientes:

1. que se elija una bola roja
2. que se haya seleccionado la urna II si ha salido roja.

Problema 35 Proporcionamos a A un trozo de papel para que escriba un signo + o un signo −, sabiendo que escribe el primero con probabilidad 1 / 3. El papel pasa a B, quien lo deja como est´a o cambia el signo antes de pasarlo a C. A continuaci´on C, que puede o no haber cambiado el signo, lo pasa a D, quien finalmente nos lo devuelve tras haber introducido o no alg´un nuevo cambio. Si comprobamos que el papel tiene escrito un signo + y sabemos que la probabilidad de que B, C y D cambiaran el signo es 2/3, obtener la probabilidad de que A escribiera originalmente un signo +.

Problema 36 Un aparato de diagn´ostico autom´atico emite un diagn´ostico basado en el resul- tado de n an´alisis de un mismo paciente. Cada an´alisis, independientemente de los restantes, puede dar un resultado err´oneo con probabilidad p. La probabilidad de un buen diagn´ostico, condicionada al n´umero de an´alisis correctos, es una funci´on creciente de dicho n´umero, g(m). Durante una ma˜nana la m´aquina ha diagnosticado a k pacientes. Encontrar la probabilidad del suceso A ={al menos un paciente est´a mal diagnosticado}. Particularizar el resultado para g(m) = m/n.

Problema 37 Un taxi se ve involucrado en un accidente nocturno. En la ciudad hay dos compa˜n´ıas de taxis, los taxis Negros y los taxis Blancos. Se sabe que el 85 % de los taxis de la ciudad son Negros y el 15 % restante son Blancos. Un testigo del accidente afirma que el taxi involucrado era Blanco y la fiabilidad de su testimonio es del 80 %, es decir, es capaz de identificar correctamente el color del taxi el 80 % de las veces.

1. Sin ning´un c´alculo previo, ¿piensas que es m´as probable que el taxi accidentado fuera el Negro o el Blanco?
2. Calcula la probabilidad de que el taxi accidentado fuera el Blanco y compara ambas res- puestas.
3. Supongamos que para 0 ≤ p ≤ 1 el 100 p % de los taxis son Blancos y que la fiabilidad del testigo contin´ua siendo del 80 %. Estudia la sensibilidad a los datos de la respuesta anterior viendo como var´ıa ´esta en funci´on de p. ¿A partir de qu´e valor de p la probabilidad de que haya sido el taxi Blanco el accidentado supera 0.5?
4. El an´alisis anterior puede completarse permitiendo que la fiabilidad del testigo sea variable, 100 q %, con 0 ≤ q ≤ 1. Determina la regi´on dentro del cuadrado

{(p, q) : 0 ≤ p ≤ 1 , 0 ≤ q ≤ 1 }

en la que la probabilidad de que haya sido el taxi Blanco el accidentado supera 0.5.

Cuando en todo cuanto precede nos referimos a la probabilidad de que haya sido el taxi Blanco se sobrentiende que dado que el testigo afirma que era Blanco.

1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA 13

1. ¿cu´al es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea un 6 dado que los dos n´umeros que han salido son diferentes?
2. ¿cu´al es la probabilidad de que el primero de ellos sea un 6 sabiendo que la suma de los dos n´umeros que han salido es i? H´allala para todos los valores de i entre 2 y 12.

Problema 45 Es el doble de probable desarrollar un embarazo ect´opico para una embarazada fumadora que para una embarazada no fumadora. Si el 32 % de las mujeres en edad f´ertil son fumadoras, ¿qu´e porcentaje de mujeres con embarazos ect´opicos son fumadoras?

Problema 46 Supongamos que el tiempo (seco o lluvioso) ma˜nana ser´a el mismo que el de hoy con probabilidad p. Si el tiempo el 1 de enero es seco, demuestra que Pn, que es la probabilidad de que sea seco n d´ıas despu´es, satisface:

Pn = (2p − 1)Pn− 1 + (1 − p), n ≥ 1

P 0 = 1.

Demuestra que

Pn =

.(2p − 1)n

Problema 47 Tres prisioneros A, B y C son informados por su carcelero de que se ha elegido al azar a uno de ellos para ser ejecutado y que los otros dos van a ser liberados. El prisionero A le pide al carcelero que le diga en privado cu´al de sus compa˜neros va a ser liberado, asegur´andole que no pasa nada porque le d´e esa informaci´on puesto que ´el sabe que al menos uno de los otros dos quedar´a libre. El carcelero no quiere contestar la pregunta porque dice que si A supiera cu´al de sus dos compa˜neros va a ser liberado entones su propia probabilidad de ser ejecutado subir´ıa de 13 a 12 porque entonces ´el ser´ıa uno de los dos que podr´ıa ser ejecutado. ¿Qu´e piensas del razonamiento del carcelero?

Problema 48 A y B se enfrentan en duelo. Las reglas del duelo son que ambos tienen que recoger el arma y disparar al otro simult´aneamente. Si uno o ambos resultan heridos, el duelo se acaba. Si ambos fallan repiten el proceso. Supongamos que los resultados de los disparos son independientes y que un disparo de A alcanza a B con probabilidad pA y que un disparo de B alcanza a A con probabilidad pB. ¿Cu´al es

1. la probabilidad de que A no resulte herido;
2. la probabilidad de que ambos duelistas resulten heridos;
3. la probabilidad de que el duelo acabe despu´es de n rondas de disparos;
4. la probabilidad de que el duelo acabe despu´es de n rondas de disparos dado que A no ha sido herido;
5. la probabilidad de que el duelo acabe despu´es de n rondas de disparos dado que ambos duelistas han sido heridos?

Problema 49 Supongamos que tenemos 10 monedas de manera que si se lanza la i-´esima mo- neda sale care cara con probabilidad 10 i para i = 1,... , 10. Cuando se selecciona aleatoriamente al azar una moneda y se lanza sale cara, ¿cu´al es la probabilidad de que la moneda seleccionada fuese la quinta?

14 CAP´ITULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD

Problema 50 Dos armarios en apariencia id´enticos tienen dos cajones. El armario A contiene una moneda de plata en cada caj´on y el armario B tiene una moneda de plata en un caj´on y una moneda de oro en el otro caj´on. Se elige al azar un armario, se abre uno de los cajones y se encuentra una moneda de plata, ¿cu´al es la probabilidad de que haya una moneda de oro en el otro caj´on?

Problema 51 Un modelo simplificado para el cambio del precio de una acci´on en bolsa supone que cada d´ıa el precio de la acci´on aumenta 1 unidad con probabilidad p o baja 1 unidad con probabilidad 1 − p. Los cambios en d´ıas diferentes se consideran independientes.

1. ¿Cu´al es la probabilidad de que despu´es de dos d´ıas el precio sea el mismo?
2. ¿Cu´al es la probabilidad de que despu´es de dos d´ıas el precio haya aumentado en 1 unidad?
3. Dado que al cabo de tres d´ıas el precio de la acci´on ha aumentado en 1 unidad, ¿cu´al es la probabilidad de que subiera el primer d´ıa?

Problema 52 Una baraja de poker ( 52 cartas) se divide al azar en 4 montones de 13 cartas cada uno. Calcula la probabilidad de que cada mont´on contenga exactamente un as. Ayuda Define los sucesos Ei, para i = 1, 2 , 3 , 4 como sigue y usa la regla de la multiplicaci´on: E 1 = {el as de picas est´a en cualquiera de los montones} E 2 = {el as de picas y el as de corazones est´an en montones diferentes} E 3 = {los ases de picas, corazones y diamantes est´an en montones diferentes} E 4 = {los 4 ases est´an en montones diferentes}

Problema 53 Hay 12 bolas en una urna. Tres jugadores A, B y C extraen suces´ıvamente una bola de la urna (primero A, despu´es B y a continuaci´on C). El ganador es el primero que extrae una bola blanca. Halla las probabilidades de ganar para cada jugador si

1. Cada bola se reemplaza despu´es de su extracci´on.
2. Las bolas extraidas no se reintroducen en la urna.

Problema 54 La probabilidad de ganar en un lanzamiento de dados es p. A empieza y si falla le pasa los dados a B, que intenta ganar en su turno. Contin´uan tirando los dados suces´ıvamente hasta que uno de ellos gana. ¿Cu´ales son las probabilidades de ganar de cada uno de ellos? ¿Y si fueran k jugadores?

Problema 55 Se busca un paraguas que, con probabilidad p 7 , se encuentra en cualquiera de los siete pisos de un inmueble. Se han explorado en vano los seis primeros pisos. ¿Cu´al es la probabilidad de que el paraguas se encuentre en el s´eptimo piso?

Problema 56 (Krief y Levy, p´agina 87) Una urna contiene bolas blancas y bolas negras. Se efect´ua una sucesi´on de n extracciones en la urna. Supongamos que la probabilidad de que la k-´esima bola sacada sea blanca, cuando las k − 1 bolas precedentes lo fueron, es igual a (^) k+1^1. Calcular la probabilidad de que las n primeras bolas sacadas sean blancas.

Problema 57 Una bola marcada puede estar en una cualquiera de las dos urnas que tenemos disponibles, con probabilidades p y 1 − p, respectivamente. La probabilidad de extraer la bola de la urna en la que est´a alojada es r (r 6 = 1). ¿Cu´al es la mejor forma de utilizar n extracciones con reemplazamiento, de cualquiera de las dos urnas, para que la probabilidad de extraer la bola sea m´axima?

16 CAP´ITULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD

Problema 63 (El problema de las coincidencias) Supongamos que 4 invitados llegan a una casa y dejan el sombrero en el vest´ıbulo. Si a la salida los recuperan de modo aleatorio, calcular la probabilidad de que ninguno de ellos reciba su propio sombrero. Resolver el mismo problema suponiendo que en lugar de cuatro invitados tenemos n invitados.

Problema 64 Repetimos indefinidamente una prueba en la que la probabilidad de ´exito es siempre la misma, p, siendo los resultados de las pruebas independientes unos de otros (se trata de una sucesi´on de pruebas de Bernoulli). Obtener la probabilidad de que a ´exitos ocurran antes que b fracasos.

Problema 65 (La paradoja de la urna vac´ıa) Disponemos de una urna infinitamente gran- de y de una colecci´on infinita de bolas numeradas. Procedemos a depositar las bolas en la urna de tres formas distintas.

1. A las 5 de la tarde menos 1 minuto introducimos las 10 primeras extrayendo la que lleva el n´umero 10 (supongamos que la introducci´on y la sucesiva extracci´on consumen un tiempo 0). A las 5 menos 12 minuto depositamos las 10 bolas siguientes y extraemos la que lleva el n´umero 20. A las 5 menos 14 las 10 siguientes extrayendo a continuaci´on la que lleva el n´umero 30. Y as´ı sucesivamente.
2. El segundo procedimiento es an´alogo al anterior, pero las bolas que se extraen en cada en ocasi´on son las numeradas 1, 2, 3, .....
3. En el tercer procedimiento las bolas se introducen como en los dos anteriores pero en cada decena la extracci´on se efectua al azar.

¿Cuantas bolas habr´a en la urna a las 5 de la tarde seg´un el procedimiento empleado?

Problema 66 (Krief y Levy, p´agina 88) Se considera un conjunto de N + 1 urnas nume- radas. Cada urna contiene N bolas rojas o blancas. En concreto la urna k contiene k − 1 bolas blancas y N − k + 1 bolas rojas. Se escoge al azar una urna y se toman n bolas devolviendo a la urna cada bola extra´ıda antes de sacar la siguiente.

1. Determinar la probabilidad de que todas las bolas extra´ıdas sean blancas.
2. Siempre en la hip´otesis de extracciones con reeemplazamiento, determinar la probabilidad de que la n + 1-´esima bola extra´ıda sea blanca sabiendo que las n bolas extra´ıdas ante- riormente han sido blancas. Dar valores aproximados de estas probabilidades en el caso en que N es grande.

Cap´ıtulo 2

Variables y vectores aleatorios

2.1. Variable aleatoria

Problema 67 Los autobuses llegan a la estaci´on de Salat a intervalos de 10 minutos empezando desde las 12 : 00. Un hombre llega a la parada un n´umero aleatorio de minutos X despu´es de las 12 : 00 si la funci´on de distribuci´on de X es:

F (x) =

0 si x < 0 x 60 si^0 ≤^ x^ ≤^60 1 si x > 60

¿Cu´al es la probabilidad de que espere menos de 5 minutos?

Problema 68 Comprueba que la funci´on fY (y) = 12 si y ∈ (− 1 , 1) ( 0 en otro caso) es una densidad de probabilidad de una variable aleatoria Y. Halla la funci´on de distribuci´on de dicha variable aleatoria.

Problema 69 La funci´on de probabilidad de una variable aleatoria X viene dada por fX (i) = c λ i i! para^ i^ = 0,^1 ,.. ., donde^ λ^ es una constante positiva. Halla^ P^ (X^ = 0)^ y^ P^ (X >^ 2)

Problema 70 Se eligen dos bolas al azar sin reemplazamiento de una urna que contiene 8 bolas blancas, 4 bolas negras y 2 de color naranja. Supongamos que ganamos 2 euros por cada bola blanca elegida y perdemos 1 euro por cada bola blanca elegida. Sea X la variable que denota nuestras ganancias. Halla la funci´on de cuant´ıa (o probabilidad) de X.

Problema 71 La funci´on de distribuci´on de X viene dada por:

F (x) =

0 si x < 0

x 4 si^0 ≤^ x <^1 1 2 +^

x− 1 4 si^1 ≤^ x <^2 11 12 si^2 ≤^ x <^3

1 si x ≥ 3

1. Halla P (X = i) para i = 1, 2 , 3

2.1. VARIABLE ALEATORIA 19

Problema 78 El responsable de una tienda de electr´onica compra cierta clase de piezas en lotes de tama˜no 10. Su pol´ıtica consiste en inspeccionar 3 al azar de cada lote y aceptarlo s´olo si las 3 funcionan correctamente. Si una quinta parte de los lotes contiene 4 piezas defectuosas y los dem´as s´olo una pieza defectuosa, ¿qu´e proporci´on de lotes rechazar´a?

Problema 79 Para una distribuci´on hipergeom´etrica halla P^ P(X (X==k+1)k). ¿Cu´al es la moda de una

H(N, n, r)?

Problema 80 (Examen 9-2-2005) Una urna contiene n papeletas numeradas de 1 a n in- clusive. Extraemos r al azar. Sea X el n´umero mayor obtenido si las papeletas se reemplazan despu´es de cada extracci´on y sea Y el n´umero mayor si las papeletas no se reemplazan en la urna. Determinar las funciones de distribuci´on, las funciones de cuant´ıa (o probabilidad) y demostrar que

FY (k) < FX (k) para 0 < k < n. (2.1)

Problema 81 En un proceso de fabricaci´on de hilados se producen roturas del hilo de manera aleatoria a lo largo del tiempo. Es importante conocer cuando y c´omo pueden producirse dichas roturas. Supongamos que un trabajador controla 800 husos y que la probabilidad de rotura del hilo en cada bobina, durante un cierto intervalo de tiempo τ , es p = 0, 005. Encontrar el n´umero de roturas m´as probable y la probabilidad de que se produzcan a lo sumo 10 roturas.

Problema 82 Samuel Pepy, contempor´aneo de Isaac Newton, sab´ıa que al lanzar 6 n dados el n´umero esperado de seises era n. A partir de este resultado deduc´ıa que los sucesos An={al menos n seises al lanzar 6n dados}, n = 1, 2 , 3 , ten´ıan todos igual probabilidad. Isaac Newton hubo de sacarlo de su error.^1

Problema 83 Sea X el n´umero de pruebas de Bernoulli necesarias para obtener un ´exito y un fracaso. Determinar la distribuci´on de probabilidad de X.

Problema 84 Una moneda de 1 cm de di´ametro se lanza y cae dentro de una lata cil´ındrica cuyo fondo tiene 5 cm de di´ametro (la moneda cae plana, no de canto).

1. ¿Cu´al es la probabilidad de que la moneda cubra el centro del fondo de la lata?
2. Supongamos que en lugar de usar una lata cil´ındrica se tira en una caja cuyo fondo es un cuadrado cuyos lados miden 5 cm, ¿cu´al es ahora la probabilidad de que la moneda cubra el centro del fondo de la lata?

Problema 85 Un testigo experto en un juicio sobre una supuesta paternidad testifica que la longitud en d´ıas de un embarazo (es decir desde el momento de la concepci´on hasta el momento del parto) se distribuye aproximadamente seg´un una Normal con par´ametros μ = 270 y σ = 10. El presunto padre puede demostrar que estuvo fuera del pa´ıs durante un per´ıodo de tiempo que empezaba 290 d´ıas antes del nacimiento del ni˜no y que acababa 240 d´ıas antes del nacimiento. Si el acusado fuese realmente el padre de la criatura, y suponiendo que es verdad lo que asegura el experto ¿cu´al ser´ıa la probabilidad de que la madre tuviera un embarazo tan largo o tan corto ?

(^1) El problema, que es de f´acil soluci´on y puede incluso parecer ingenuo a alg´un lector, se recoge aqu´ı por su inter´es hist´orico y tambi´en porque el autor de esta colecci´on ha tenido ocasi´on de comprobar que los ´emulos actuales de Samuel Pepy son todav´ıa numerosos

20 CAP´ITULO 2. VARIABLES Y VECTORES ALEATORIOS

Problema 86 La mediana de una variable aleatoria cont´ınua con funci´on de distribuci´on F es aquel valor m tal que F (m) = 12. Es decir es igual de probable que una variable aleatoria sea mayor que su mediana como que sea menor que ella. La moda de una variable aleatoria cont´ınua con funci´on de densidad f es el valor de x para el que f (x) alcanza su m´aximo. Halla la mediana y la moda de X si X se distribuye

1. U (a, b)
2. N (μ, σ)
3. Exp(λ)

Problema 87 Un bit es trasmitido repiti´endolo n veces. El mensaje es interpretado asignando el valor que m´as veces se recibe. Por ejemplo: si n = 5 y el mensaje recibido es 10010 entonces concluimos que se envi´o un 0 (se repite 3 veces frente a las dos veces que se repite el 1). Suponiendo que n es un n´umero impar y que cada bit del mensaje es transmitido correctamente con probabilidad p, independientemente de los dem´as bits, determina la probabilidad de que el mensaje sea recibido correctamente (se reciba el bit que se trasmiti´o).

Problema 88 Consideremos la distribuci´on Beta con par´ametros a y b. Demuestra que

1. cuando a > 1 y b > 1 , la densidad es unimodal, es decir tiene una ´unica moda que es m = (^) aa+−b−^12 ;
2. cuando a ≤ 1 , b ≤ 1 y a + b < 2 , la densidad es o bien unimodal con moda en 0 o en 1 o bien tiene forma de U con modas tanto en 0 como en 1 ;
3. cuando a = 1 = b, todos los puntos de [0, 1] son modas.

Problema 89 Un fabricante de bolas para rodamientos somete su producto al siguiente proceso de control de calidad. Las bolas son aceptadas si no pasan a trav´es de un agujero de di´ametro d 1 , pero s´ı lo hacen a trav´es de otro de di´ametro d 2 , d 2 > d 1. Se sabe que el di´ametro D de las bolas es aleatorio con una distribuci´on N (μ, σ^2 ), μ = (d 1 + d 2 )/ 2 y σ = (d 2 − d 1 )/ 4. ¿Cu´al es la probabilidad de rechazar una bola?

Problema 90 El tiempo que tardan en ser atendidos los clientes del servicio de caja de cierta sucursal bancaria es una variable aleatoria T ∼ Exp(λ), con λ = 0, 2. Durante una ma˜nana han llegado 10 clientes, ¿cu´al es la probabilidad de que a lo sumo 3 de ellos hayan tardado m´as de 6 minutos en ser atendidos? (Suponemos que los clientes son atendidos independientemente unos de otros).

Problema 91 (Los sorteos de La Primitiva) Un asiduo de La Primitiva anda un tanto preocupado al comprobar que en los 18 ´ultimos sorteos hay algunos n´umeros que no han sido extra´ıdos. Piensa que las 108 extracciones ( 18 × 6 ) suponen un poco m´as del doble de 49 y que por tanto cada n´umero deber´ıa haber aparecido, aproximadamente, unas dos veces. ¿Y si el sorteo no fuera correcto? ¿Habr´a n´umeros m´as probables que otros?

Problema 92 Un comerciante vende semillas en paquetes de 50. Supongamos que cada semilla germina con una probabilidad de 0 , 99 independientemente de las dem´as. El comerciante promete cambiar al comprador cualquier paquete que contenga 3 o m´as semillas que no germinen. ¿Cu´al es la probabilidad de que el comerciante tenga que cambiar m´as de 40 paquetes de los 4000 que ha vendido?