Tema 1: Introducción a la
Probabilidad
Introducción
Conceptos previos
Operaciones con sucesos
Teoremas de la probabilidad
Otras definiciones
Independencia de sucesos
T1
1
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Introducción a la Probabilidad: Concepto, Operaciones y Teoremas - Prof. Alfonso Gil, Apuntes de Economía
Una introducción básica a la probabilidad, una medida de la incertidumbre en los fenómenos aleatorios. Se abordan conceptos previos, operaciones con sucesos y teoremas fundamentales. El documento también incluye definiciones adicionales y conceptos relacionados.
Tipo: Apuntes
2016/2017
1 / 15
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Tema 1: Introducción a laProbabilidad
Introducción
Conceptos previos Operaciones con sucesos Teoremas de la probabilidad Otras definiciones Independencia de sucesos
T
1
T
La simple observación de la realidad que nos rodea nos permite diferenciar entredos tipos de fenómenos o experimentos: FENÓMENO
DETERMINISTA
es
aquél
que
realizado
bajo
las
mismas
condiciones
permite
conocer
de
antemano
el
resultado
que
se
producirá.
Por
ejemplo, si bajo las mismas condiciones se unen una molécula hidrógeno y una deoxígeno, se obtiene amoniaco. FENÓMENO ALEATORIO:
es aquél que, aunque se realice bajo las mismas
condiciones, no podemos predecir cuál será su resultado hasta después de que sehaya realizado.Por tanto, la existencia de incertidumbre genera el deseo de medirla o acotarla. Eneste contexto, aparece la
probabilidad como medida de incertidumbre
. El
Introducción concepto de probabilidad será el objeto de la primera parte del curso.
Se llama
suceso complementario
de un suceso A,
̅ܣ
, al formado
por los elementos que no están en A.Se
llama
suceso
unión
de
A
y
B,
AUB,
al
formado
por
los
resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los queestán en ambos). Se llama
suceso intersección
de A y B, A
∩
B o simplemente AB, al
formado por los elementos que están en A y B.
E
espacio muestral A
E
espacio muestralA
B
E
espacio muestralA
B
E
espacio muestralA
B
UNIÓN
INTERSECCIÓN
Operaciones con sucesos
T
Concepto de probabilidad La probabilidad se puede definir de muchas formas según la corriente teórica(clásica, frecuentista, bayesiana, etc..)La única definición universalmente aceptada es la
axiomática de Kolmogorov.
Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a cada suceso A un valornumérico P(A), verificando las siguientes reglas (axiomas)
Axioma 1: P(E)=
Axioma 2: P(A)
Axioma 3: P(AUB)=P(A)+P(B) si A
B=Ø
Ø es el conjunto vacío, (es decir, A y B disjuntos)
E
espacio muestral
E
espacio muestral
A
B
T
Otras definiciones y conceptos
Probabilidad
Condicionada.
Dados
dos
sucesos
A
y
B,
se
define
la
probabilidad condicionada de A habiendo ocurrido B (o probabilidad de Acondicionada por B) como:
B
P
B A P B A P
A
E
espacio muestral
B
En este caso se dispone de información adicional (aportada por B) que disminuyela incertidumbre sobre el suceso A.
Error frecuentíiiiiiisimo:
No confundáis probabilidad condicionada con intersección.
En ambos medimos efectivamente la intersección,
pero…
En P(A
B) con respecto a P(E)=
En P(A|B) con respecto a P(B)
T
8
Otras definiciones y conceptos
Probabilidad Compuesta o Regla de la multiplicación.
Dados
n
sucesos
cualesquiera S
1
, …, S
n
, se verifica que:
Teorema de la Probabilidad Total.
Sea B un suceso general que se puede
presentar bajo
n
alternativas disjuntas dos a dos, A
1
, …, A
n
, tales que
ୀଵ
്
se verifica que:
Teorema de Bayes
: Bajo las mismas condiciones anteriores, si son conocidas
P(B/A
i
), entonces se verifica que:
En este teorema existen 3 probabilidades distintas: Probabilidad a posterioriP(A
i
/B), Probabilidad a priori (P(A
i
)) y verosimilitudes (P(B/A
i
∩
∩
∩
∩
=
∩
∩
∩
−
1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1
·
·
·
)·
(
...
n
n
n
S S S S P S S S P S S P S P S S S P
)
(
i
n i
i
A P A B P B P
=
)
(
)
(
)
(
)
(
B
P
A
B
P
B
P
A P A B P B A P
i
i
i
i
∩
=
=
Tema 4: Probabilidad
10
Bioestadística. U. Málaga.
Divide y vencerás
A
1
A
2
A
3
A
4
B
Todo suceso B, puede ser descompuestoen componentes de dicho sistema.
B = (B
A
1
) U (B
A
2
) U ( B
A
3
) U ( B
A
4
Nos permite descomponer el problema B ensubproblemas más simples. Creedme. Funciona.
Sucesoseguro
A
1
A
2
A
3
A
4
B
B B
B
Otras definiciones y conceptos
Teorema de la probabilidad total
A
1
A
2
A
3
A
4
B
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de loscomponentes de un sistema exhaustivo y excluyente desucesos, entonces…… podemos calcular la probabilidad de B.
P(B) = P(B
A
1
) + P(B
A
2
) + P( B
A
3
) + P( B
A
4
=P(A
1
) P(B|A
1
) + P(A
2
) P(B|A
2
Sucesoseguro
A
1
A
2
A
3
A
4
B
B B
B
P(A
1
P(A
2
P(A
3
P(A
4
P(B|A
1
P(B|A
2
P(B|A
3
P(B|A
4
Otras definiciones y conceptos
A
1
A
2
A
3
A
4
B
Si conocemos la probabilidad de B encada uno de los componentes de unsistema exhaustivo y excluyente desucesos, entonces……si ocurre B, podemos calcular laprobabilidad (
a posteriori
) de ocurrencia
de cada A
i
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B)=P(B
A
1
) + P(B
A
2
) + P( B
A
3
) + ( B
A
4
=P(B|A
1
) P(A
1
) + P(B|A
2
) P(A
2
P(B)
Ai)
P(B
B)
|
P(Ai
∩
=
Teorema de Bayes Otras definiciones y conceptos
Ejemplo (II)
: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el
10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.
¿Qué porcentaje de fumadores hay?
P(F) = =0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,
(Resuelto antes)
Se elije a un individuo al azar y es… fumador¿Probabilidad de que sea un hombre?
Estudiante
Mujer
No fuma
Hombre
Fuma
No fuma
Fuma
46 ,
0
13 ,
0
2 ,
0
3 ,
0
)
(
) | ( ) ( ) (
)
(
)
|
(
=
×
=
=
⋅
=
∩
=
F
P
H F P H P F P
F H P F H P
Otras definiciones y conceptos