Probabilidad: Conceptos básicos, probabilidad condicionada y teoremas - Prof. 4347, Apuntes de Estadística

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TEMA 5. PROBABILIDAD

• Conceptos básicos
• Probabilidad condicionada
• Teoremas de la probabilidad total y de Bayes

Conceptos básicos

• Experimento aleatorio: proceso de observar un fenómeno del que se conocen de antemano todos sus posibles resultados, pero a partir de las condiciones iniciales no puede predecirse exactamente cual de estos resultados se producirá
• Espacio muestral (Ω): es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denota Ω ={e 1 , e 2 ,…, en, … } y cada uno de sus elementos se denomina suceso elemental o punto muestral

Ejemplo 1:

Experimento aleatorio: Puntuación obtenida al lanzar un dado

Espacio muestral: Ω ={1, 2, …, 6}

Sucesos: A = “obtener una puntación par” = {2,4,6}

B = “obtener una puntuación mayor a 3” = {4,5,6}

Ejemplo 2:

Experimento aleatorio: Observar la nacionalidad de un turista seleccionado al azar de entre los turistas que visitaron Málaga el anterior mes de agosto

Espacio muestral: Ω ={francesa, inglesa, marroquí,…}

Sucesos: A= “el turista es europeo”

B = “el turista es alemán”

Ejemplos

Al espacio muestral, Ω , se le llama también suceso seguro.

Al conjunto vacio, Ø , se le denomina suceso imposible.

Dado un espacio muestral Ω y dados dos sucesos A y B, podemos definir las siguientes operaciones entre sucesos:

Unión de sucesos: A  B

Es el suceso compuesto que se produce cuando ocurre A o bien B

A B A^ U^ B

Operaciones con sucesos

Complementario de un sucesos:

Es el suceso que se produce cuando no ocurre A.

A

A

Operaciones con sucesos

En el lanzamiento de un dado hallar los siguientes sucesos:

a) que salga par

• Experimento aleatorio: Lanzar un dado y observar el resultado
• Espacio muestral: Ω = {1,2,3,4,5,6}
• Suceso A = “Par” = {2,4,6}

b) que salga mayor que 2

B = “Mayor que 2” = {3,4,5,6}

Ejemplo: Lanzar un dado

Definición axiomática. Kolmogorov 1933

Este enfoque evita dar una definición conceptual de la probabilidad

Se axiomatizan las propiedades elementales que debe cumplir una medida de probabilidad sobre un conjunto de sucesos

Una vez aceptados estos axiomas, se deducen, mediante un riguroso tratamiento matemático , un conjunto amplio de propiedades y consecuencias.

Esta axiomatización de la Probabilidad es la base de la Estadística moderna

Cálculo de la probabilidad de

un suceso.

Diferentes enfoques

• El cálculo se basa en el conocimiento teórico de la estructura del proceso, no en la observación
• Se asume que todos los posibles resultados del experimento aleatorio son igualmente probables (EQUIPROBABILIDAD).
• El número de casos posibles debe ser un número finito.
• Ejemplo : A = {sacar un número mayor que 2 al lanzar un dado}
• P(A)= 4/6 = 0,

Nºde posiblesresultados

Nºde resultadosfavorables a A

N

N Prob (A) A^ 

Enfoque Clásico. Laplace 1812

La probabilidad subjetiva o grado de creencia de un suceso S es el cociente entre lo que el decisor está dispuesto a apostar por la ocurrencia del suceso S y el premio o consecuencia que obtiene en caso de que S ocurra

 

: apuesta

: premio si ocurre

Y P S X Y

X S



Enfoque subjetivista

Ejemplo: Lanzar un dado

Ejemplo: Lanzar un dado

• Definición axiomática. Kolmogorov
• Definición axiomática. Kolmogorov
• Probabilidad condicionada Ejemplo