Matemáticas: Apuntes sobre Matrices y Determinantes - Prof. 2486, Apuntes de Cálculo

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Matemáticas

Alberto Franco Solís 1º ADE – Curso 2010 – 2011 Despacho 105

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Campus Universitario de Plasencia

 TEMA 1: Matrices y Determinantes

 TEMA 2: Sistemas de Ecuaciones Lineales

 TEMA 3: Formas Cuadráticas

 TEMA 4: Sucesiones y series de números reales

 TEMA 5: Funciones reales de n-variables reales

 TEMA 6: Cálculo diferencial e integral de

funciones de n-variables

Programa de Contenidos

PROGRAMA DE CONTENIDOS

**1. Concepto y clasificación de matrices.

2. Operaciones con matrices.
3. Definición y cálculo del determinante de una matriz.
4. Usos y aplicaciones de los determinantes: Matriz Inversa.
5. Matriz ortogonal. Concepto, cálculo y propiedades.**

Objetivos.

a) Que el alumno adquiera destreza en transcribir situaciones económicas con los elementos matriciales.

b) Resolver e interpretar problemas dónde intervengan matrices.

Objetivos del Tema 1.

CLASIFICACIÓN

 Cuadradas: igual número de filas que de columnas.

 Rectangulares: distinto número de filas que de columnas.

A) Matriz fila:

1 x n (1 x 3)

B) Matriz columna:

n x 1

n x n (3 x 3)

1. Concepto y

clasificación de matrices

En lugar de dimensión, orden n.

• M. Diagonal: todos los elementos, salvo los de la diagonal principal son ceros.

MATRICES CUADRADAS

3 x 3

D = •^ M. Triangular Superior:^ todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal = 0.

Diagonal principal: corresponde a los elementos a 11 , a 22 , a 33.

• M. Triangular Inferior: todos los 4 x 4 elementos situados por encima de la diagonal principal = 0.

1. Concepto y

clasificación de matrices

• M. Traspuesta: es la que resulta de cambiar filas por columnas. •^ M. Simétrica:^ matriz cuadrada en la que se cumple que a = aji

CONTINUACIÓN CLASIFICACIÓN

3 x 2

La traspuesta de una matriz puede hallarse si la matriz es rectangular o cuadrada.

2 x 3

3 x 3

1. Concepto y

clasificación de matrices

A = At

• M. Antisimétrica: matriz

cuadrada en la que se cumple

que aij = -aji.

Elementos de la diagonal

principal son nulos, aii = 0.

FINAL CLASIFICACIÓN

1. Concepto y

clasificación de matrices

A= -At

2. Operaciones con

matrices

b) PRODUCTO DE MATRICES:

es necesario que el número de columnas n de la primera matriz sea igual que el número de filas m de la segunda matriz.

3 x 3 / 3 x 3

2. Operaciones con

matrices

b) PRODUCTO DE MATRICES:

(4 x 3) (3 x 2)

Filas x Columnas

(4 x 2)

Ejercicio

2. Operaciones con

matrices

c) Producto de un escalar por una

matriz:

se multiplican todos elementos de la matriz por el escalar (números reales, complejos o racionales) dado.

* Producto de matriz fila por una matriz columna = Escalar:

3. Definición y cálculo del determinante de una matriz.

 Definición:

Dada una matriz cuadrada ( An x n ), se llama |A| = det (A) a un número asociado a dicha matriz.

• Ejemplo:

• Ejemplo: 3. Definición y cálculo del determinante de una matriz.

Ejercicio

 Determinante de orden > 3:

Se calcula mediante la suma del producto de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos correspondientes. Si en una matriz cuadrada (orden (^) nxn), suprimimos la fila i y la columna j , se obtiene una matriz cuadrada de orden (^) n-1, cuyo determinante se llama menor complementario del elemento aij.

• Ejemplo - Obtener el menor del elemento a 12 : 3. Definición y cálculo del determinante de una matriz.