¡Descarga Teoría de Matrices: Tipos y Operaciones y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Teoria Matrius
1.1. Tipus de Matrius.
a) M. Quadrada : Són el conjunt de matrius que tenen el mateix nombre de columnes que de files, és a dir, n = m , on n és el nombre de files i m el nombre de columnes. b) M. Transposada (At): La matriu transposada de A és forma canviant les files per les columnes, és a dir, les columnes de A es converteixen en files ordenades en At. A =(
0 1 3 )^
A
t
(
) c) M. Diagonal : És una matriu quadrada on tots els nombres fora de la diagonal són 0. d) M. Simètrica : Una matriu A quadrada serà simètrica si compleix A = At, és a dir, la matriu A és igual a la seva transposada. e) M. Antisimètrica : Una matriu A quadrada serà simètrica si compleix A = -At, és a dir, la matriu A és igual a la seva transposada en negatiu.
1.2. Operacions amb Matrius.
1.2.1. Sumar Matrius de mateix ordre. Per a sumar matrius de la mateixa mida (ordre) cal fer el mateix procediment que per a sumar vectors. Així doncs, es repeteix aquest mecanisme tants cops com files hi té una matriu. Cal recordar que per a sumar vector es suma cada coordenada amb la corresponent, és a dir, si es vol sumar la matriu A i B, cal sumar la coordenada A11 + B11 per obtenir la primera coordenada de la matriu resultat C. A = (
− 1 0 )
B =
(
3 5 )^
A + B = C =
(
2 5 ) Propietats: A, B, C ϵ E ( A + B )+ C = A +( B + C ) A + B = B + A
1.2.2. Producte d’un nombre per una Matriu. Per a multiplicar una constant per un vector, cal multiplicar aquesta constant per a tots els valors del vector. Així doncs, per a multiplicar una constant per una matriu cal multiplicar-lo per a tots els valors de la matriu.
(− 3 ) × (
Propietats : u, v ϵ K A, B ϵ E u ( A + B )= uA + uB ( u + v ) A = uA + vA u ( vA )=( uv ) A 1.2.3. Producte de Matrius. Per a multiplicar dues matrius cal que el nombre de columnes de la primera matriu sigui igual al nombre de files de la segona matriu. Si es vol fer el producte de AB cal que ma = nb. AB =
a 11 a 12 a 21 a 22
a 31 a 32 )
×
b 11 b 12 b 13
b 21 b 22 b 23 )
a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 11 b 13 + a 12 b 23 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 a 21 b 13 + a 22 b 23
a 31 b 11 + a 32 b 21 a 31 b 12 + a 32 b 22 a 31 b 13 + a 32 b 23 )
Propietats: A, B ϵ E ( AB ) C = A ( BC ) A ( B + C ) = AB + AC ( AB ) 2 ≠ A 2 B 2 ( A + B ) 2 ≠ A 2
1.3. Matriu Inversa.
Una matriu A és invertible si existeix C tal que el producte AC i CA és igual a I, és a dir, una matriu amb diagonal 1. Ara bé, si alguna de les files o columnes de A són nul·les, A no pot ser invertible. A − 1 = C → A A − 1 = A − 1 A =
A
× A = I (1)
Propietats: u ϵ K A, B ϵ E ( AB ) − 1 = B − 1 × A − 1
A
− 1
¿ A ∨¿ adj ( A )=
×
(
− 1 0 1 )
(
1 0 − 1 )
AA
− 1
(
)
×
(
)
(
)
(
)
= I = 1
