2 Conjunts
2.1 (Per a reflexionar.) Què és una propietat? Intuïtivament una propietat és
quelcom que alguns objectes de determinat àmbit tenen i que altres objectes
no tenen. Per exemple: un nombre natural pot ser parell o pot no ser-ho:
“ser parell” és una propietat aplicable als nombres naturals. Una altra pro-
pietat: “ser definible amb menys de quinze paraules catalanes”. El zero,
per exemple, té aquesta propietat, ja que 0és “el mínim nombre natural”
(quatre paraules). Com que només hi ha una quantitat finita de paraules
catalanes, només hi ha una quantitat finita d’oracions de menys de quinze
paraules catalanes i, per tant, només hi haurà una quantitat finita de nom-
bres definibles amb menys de quinze paraules catalanes. Així doncs, no tots
els nombres naturals seran definibles amb menys de quinze paraules catala-
nes. Sigui n0el primer nombre que no ho és. Acabem de dir que n0no és
definible amb menys de quinze paraules catalanes però “el primer nombre
natural que no és definible amb menys de quinze paraules catalanes” és una
definició de n0amb catorze paraules catalanes! (Aquesta és més o menys la
paradoxa de Richard, que la va formular de manera semblant a l’any 1905).
Aquesta paradoxa posa de manifest que el concepte de “propietat” no és
aproblemàtic. Una manera d’evitar les paradoxes com la de Richard consis-
teix en precisar què s’ha d’entendre per propietat. Per exemple: una propi-
etat predicable de xés una fórmula (ben formada) del llenguatge del càlcul
de predicats la qual fórmula té xcom a única variable lliure. Amb aquesta
precisió, “ser parell” és una propietat: “xés parell” és “∃n∈N∧x=2n”.
En canvi ”ser definible amb menys de quinze paraules catalanes” no es pot
formalitzar.
2.2 (Per a reflexionar.) No tota propietat determina un conjunt. L’enunciat
“si φés una propietat, llavors hi ha un conjunt els elements del qual són
14
