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La Deriva: Concepto, Aplicaciones y Reglas, Apuntes de Matemáticas

Matemáticas

La derivada de una función, su interpretación gráfica y teórica, aplicaciones en rectas tangentes, crecimiento y decrecimiento de una función, concavidad y convexidad, problemas de optimización y reglas de derivación. Además, se abordan los conceptos de continuidad y derivabilidad, teoremas de continuidad y derivabilidad, y la integral.

Tipo: Apuntes

2019/2020

Subido el 31/03/2020

apuigm
apuigm 🇪🇸

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bg1
LA#DERIVADA#
#
################################################################################
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-
Interpretació#gràfica:#
f’(x0)#és#el#pendent#de#la#recta#tangent#en#X0.#Per#tal#causa,#per#calcular#la#derivada#en#
#
un#punt,#hem#d’agafar#dos#punts#que#estiguin#molt#a#prop#i#calcular-ne#el#pendent#de#la#recta#que#formen.
#
#
-
Definició#teòrica:###########
𝑓"𝑥$=𝑚=' ()*'((,)
()*(,######
#
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##############################################################################################𝑓"𝑥$=' (,./ *'((,)
(,01*(,###
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################################################################################################################################𝑓"𝑥$=lim
/→$ ' (,./ *'((,)
/###
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###########################################################################################################################################################################La#derivada#d’una#funció#és#el#límit#quan##
####################################################################################################################################################################################h#tendeix#a#0#d’una#pendent.#
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#
1.
Aplicacions#de#les#derivades
#
#
a) Recta#tangent:######𝑦 = 𝑓 𝑥7+𝑓′(𝑥7)(𝑥 −𝑥$)#
#
b) Creixement#i#decreixement#d’una#funció#(màxims#o#mínims)#
#
c) Concavitat#i#convexitat#d’una#funció#(punts#d’inflexió)#
#
d) Problemes#d’optimització:#Es#tracta#de#resoldre#un#problema#fent#màxima# o#mínima#una#funció.# Aquesta#
pot#venir#donada#per#una#o#vàries#incògnites,#en#aquest#cas,#cal#expressar#una#d’elles#en#funció#de#l’altra.#
2.
Regles#de#derivació#
X0
X1
= molt a prop = X1: X0 +h
pf3
pf4
pf5

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¡Descarga La Deriva: Concepto, Aplicaciones y Reglas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

LA DERIVADA

  • Interpretació gràfica: f’(x 0 ) és el pendent de la recta tangent en X 0. Per tal causa, per calcular la derivada en un punt, hem d’agafar dos punts que estiguin molt a prop i calcular-ne el pendent de la recta que formen.

- Definició teòrica: 𝑓"^ 𝑥$ = 𝑚 =

' () '((,) ()(, 𝑓"^ 𝑥$ = ' (,./ *'((,) (, 01 *(, 𝑓"^ 𝑥$ = lim /→$ ' (,./ *'((,) / La derivada d’una funció és el límit quan h tendeix a 0 d’una pendent.

  1. Aplicacions de les derivades a) Recta tangent: 𝑦 = 𝑓 𝑥 7 + 𝑓′(𝑥 7 )(𝑥 − 𝑥$) b) Creixement i decreixement d’una funció (màxims o mínims) c) Concavitat i convexitat d’una funció (punts d’inflexió) d) Problemes d’optimització: Es tracta de resoldre un problema fent màxima o mínima una funció. Aquesta pot venir donada per una o vàries incògnites, en aquest cas, cal expressar una d’elles en funció de l’altra.
  2. Regles de derivació X 0 X 1 = molt a prop =^ X^1 :^ X^0 +h

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D’UNA FUNCIÓ

  1. Domini d’una funció
  2. Punts de tall d’una funció amb els eixos o Eix x: f(x) = 0 o Eix y: f(0) = x
  3. Simetries o Simetria parell: f(x) = f(-x) o Simetria imparell: f(x) = - f(-x)
  4. Periodicitat o Periòdica: si la funció és trigonomètrica o No periòdica: la funció no és trigonomètrica
  5. Asímptotes a. Verticals (x = a) § “a” no pertany al domini de la funció § lim (→;

b. Horitzontals (y = b) § lim (→=

c. Obliqües (y = mx+n) § 𝑓 𝑥 = ?(() @(() i el grau de P(x)=grau Q(x)+ § Divisió de polinomis en caixa

  1. Màxims, mínims i intervals de creixement (f’(x))
  2. Punts d’inflexió i intervals de curvatura (f’’(x))

LA INTEGRAL

Integrar és el fet de calcular la primitiva d’una funció. Definim F(x) com la primitiva de f(x), la qual és una funció que compleix F’(x) = f’(x)..

  1. Integrals immediates
  2. Propietats de les integrals o 𝑓 + 𝑔 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑑𝑥 o 𝑓 · 𝑐 𝑑𝑥 = 𝑐 · 𝑓 𝑑𝑥 o ' M 𝑑𝑥^ =^ N M 𝑓^ 𝑑𝑥 o 𝑓 𝑑𝑥 = N M

N M

  1. Mètode de substitució El mètode de substitució és un mètode que podem aplicar quan tenim la multiplicació o la divisió de dues funcions en la què una pot ser la derivada de l’altra. Consisteix en fer un canvi de variable: t = funció senzilla.
  2. Mètode per parts Per integrar una multiplicació o divisió de dues funcions completament diferents apliquem el mètode de integració per part mitjançant la següent fórmula: Una vaca sin cola, vestida de uniforme 𝑢 · 𝑑𝑣 = 𝑢 · 𝑣 − 𝑣 · 𝑑𝑢
  3. ln(x) – arctg(x) – arcos(x) / arcsin(x)
  4. Polinòmica
  5. ex^ – tg(x) / sin(x) / cos(x)
  6. Integració de funcions racionals
    1. Si tenim la @"(() @(() 𝑑𝑥 = ln /x/ +k
    2. Si tenim la @"(() ;.@R(() 𝑑𝑥^ = arctg Q(x) + k
    3. Si tenim la ? ( @ ( 𝑑𝑥 i el grau de P(x) és major o igual que el grau de Q(x) farem la divisió en caixa d’ambdós polinomis i aplicarem la següent fórmula: 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 + T ( @ (
  1. Si tenim la ?(() @(() 𝑑𝑥 i el grau de P(x) és menor que el grau de Q(x) aplicarem el mètode d’Hermite:
  1. Factoritzar el denominador
  2. Expressar com a suma
  3. Fer el MCM
  4. Substituir les x per arrels i igualar al P(x), per tal d’esbrinar les incògnites A, B, C, etc.
  5. La integral definida Definim 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; H com a la integral definida a l’interval [a,b]. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; H =^ [𝐹(𝑥)];

H = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

Y 𝑓Z^ · 𝑓"^ =

𝑓Z.N