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TEMAS DE FÍSICA I
DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE DE PARTÍCULAS
Profr. Abelardo Rodríguez Soria et al TRIMESTRE 11 ‐P
1. La importancia de los diagramas de cuerpo libre.
El comportamiento mecánico de los cuerpos materiales está gobernado por las fuerzas a que están sometidos. Hacer el diagrama de cuerpo libre del cuerpo material bajo estudio consiste precisamente en hacer una identificación y representación gráfica de las fuerzas que solicitan al cuerpo. Como se advierte, la confección del DCL constituye un primer paso imprescindible en la aplicación de las leyes de la mecánica. Definición. El diagrama de cuerpo libre (DCL) de un cuerpo es una figura donde se muestra únicamente el cuerpo en cuestión (aislado conceptualmente de los demás cuerpos a su alrededor), junto con todas y cada una de las fuerzas que actúan sobre él. Antes de hacer un diagrama de cuerpo libre es preciso especificar cuál es el cuerpo (o conjunto de cuerpos) al que pertenecerá este DCL. En otros términos, hay que especificar cuál es el “sistema físico” que estamos considerando. Definición. El sistema físico es aquel cuerpo material (o conjunto de cuerpos materiales ) estipulado expresamente para aplicarle las leyes de la mecánica. Inicialmente trataremos sistemas físicos compuestos de un solo cuerpo. Más adelante explicaremos cómo hacer los DCL’s de sistemas que incluyen varios cuerpos. La obtención del DCL de un cuerpo (es decir, de un sistema) es el paso previo para:
- Estudiar el estado de equilibrio del sistema.
- Estudiar el estado de movimiento del sistema.
- Decidir sobre la aplicabilidad de las leyes de conservación de energía mecánica, o formular la ecuación de balance de energía mecánica.
- Decidir sobre la aplicabilidad de las leyes de conservación del momento lineal o del momento angular, o formular la ecuación de balance del momento lineal o angular.
- Estudiar el estado de esfuerzos y deformaciones del sistema. Etc. Saber hacer DCL’s le allanará el camino en muchas materias de su carrera de ingeniería. Regla 1. Dé un nombre (o asigne un símbolo) a cada cuerpo que figure en el conjunto considerado. Esto facilitará la definición del sistema físico. Regla 2. Siempre debe estar claro cuál es el cuerpo (o conjunto de cuerpos) que constituye el sistema físico en consideración. Asimismo, debe estar claro cómo son las uniones o acoplamientos del o los cuerpos del sistema con los demás cuerpos ajenos a su alrededor. Es decir, el sistema físico debe especificarse con precisión.
Notación. Un sistema físico que conste de varios cuerpos, digamos los cuerpos A, B, C y D, se
escribirá poniendo el o los cuerpos constituyentes encerrados entre llaves, así: { A , B , C , D }.
EJEMPLO 1. Observe el conjunto de cuerpos en equilibrio mostrado en la figura 1a. Conforme a la regla 1, hemos asignado un nombre a cada cuerpo del conjunto. El resorte está elongado; los contactos entre el Bloque‐ 1 y el Bloque‐2, y entre cada uno de estos bloques y el plano inclinado, son simples (es decir, estos cuerpos simplemente descansan uno junto o sobre el otro, sin estar unidos fijamente entre sí); la polea es lisa y está fija a una pared no mostrada. Figura 1a Figura 1b (DCL del Bloque‐1) Consideremos el sistema { Bloque‐ 1 }. Su DCL se muestra en la figura 1b. De las fuerzas que actúan
sobre el Bloque‐1, mostradas en este DCL, la fuerza W 1 es el peso del bloque. Las demás fuerzas son
debidas al contacto del Bloque‐ 1 con los siguientes cuerpos: el Resorte (fuerza R ), la Cuerda (fuerza T ), el
Bloque‐ 2 (fuerza normal N 1 ), y el Plano inclinado (fuerza normal N 2 ).
¿Cómo llegamos al DCL de la figura 1b? Paciencia. Regla 3. Las fuerzas no surgen de la nada. Toda fuerza sobre un cuerpo A es debida siempre a algún otro cuerpo , ya sea la Tierra (que ejerce la fuerza llamada peso) o bien otro cuerpo que esté en contacto con el cuerpo A considerado. Si Ud examina un DCL (quizás hecho por otra persona) y descubre en él alguna fuerza que no pueda asociar con algún cuerpo que la produzca, ello significa que dicha fuerza no debería figurar en el DCL Regla 4. El símbolo que se pone junto a un vector fuerza en un DCL indica la magnitud de la fuerza (la dirección de la misma ya está indicada en el DCL mediante la punta de flecha).
Así por ejemplo, en la figura 1b, los símbolos de las fuerzas ( R , T , W 1 , N 2 , N 1 , T ) no llevan ningún
tilde ni formato que denote carácter vectorial, como serían W ,^ W^ ,^ W ^ ,^ T^ , etc. uur Otros sistemas que podríamos considerar en relación con el conjunto de la figura 1a son los siguientes: { Bloque‐ 2 }, { Bloque‐ 3 } y { Bloque‐1, Bloque‐ 2 }. Este último consta de dos cuerpos.
3. Clasificación de las fuerzas.
Las fuerzas sobre todo cuerpo se pueden clasificar en 2 categorías: Primera. Fuerzas de acción a distancia (o fuerzas de acción por campo ). A esta categoría pertenecen las fuerzas gravitatorias, las eléctricas y las magnéticas, de importancia fundamental en ingeniería. Segunda. Fuerzas de contacto (llamadas también fuerzas mecánicas o macroscópicas ). Estas son fuerzas debidas al contacto del cuerpo considerado con otros cuerpos en su vecindad inmediata. En este curso no trataremos fuerzas eléctricas ni magnéticas. Nuestra fuerza de acción por campo por excelencia será la fuerza gravitatoria ejercida sobre todo cuerpo por el planeta Tierra, denominada el peso del cuerpo. Un asunto muy importante: cuando hablamos de fuerzas de contacto sobre un cuerpo nos estamos refiriendo a contactos directos o inmediatos (permítasenos la redundancia) del cuerpo considerado (o sistema) con otros cuerpos en su vecindad. He aquí un ejemplo muy drástico de lo que queremos decir. EJEMPLO 3. Considere el conjunto de 3 bloques acomodados en una pila, como vemos en la figura 4. Figura 4 PREGUNTA: ¿Sufre el Bloque‐ 3 alguna fuerza debida al Bloque‐1?
RESPUESTA: NO , puesto que el Bloque‐ 3 no está en contacto con el Bloque‐1.
A primera vista la respuesta puede parecer extraña, pues dado que el Bloque‐ 1 está encima del Bloque‐3, ¿cómo es que no ejerce fuerza sobre éste? Quizás podríamos decir que “el Bloque‐ 1 ejerce indirectamente una fuerza sobre el Bloque‐3, a través (o por intermedio) del Bloque‐2”. Sin embargo, en los DCL’s no figuran fuerzas ejercidas indirectamente, ni fuerzas ejercidas a traves de cuerpo intermedio alguno. En ellos figuran solamente fuerzas debidas a los contactos directos del cuerpo considerado con otros cuerpos. La cosa está así: el Bloque‐ 3 tiene contactos (directos) con el Bloque‐ 2 y con la Mesa, y éstos dos son los únicos cuerpos (aparte de la Tierra, por supuesto) que ejercen fuerzas sobre el Bloque‐3.
Siguiendo la misma tónica, observe la figura 5a. Un amigo sostiene un bloque mediante una cuerda. Figura 5a Figura 5b ¿Ejerce el Amigo fuerza alguna sobre el Bloque? De nuevo, en el lenguaje cotidiano informal quizás podríamos decir que sí. Sin embargo, en el lenguaje usado en el trazado de los DCL’s (el lenguaje técnico que usaremos siempre en este escrito), el
Amigo no ejerce fuerza sobre el Bloque. Es la Cuerda la que ejerce fuerza sobre el Bloque (porque la
Cuerda sí está en contacto con el Bloque, no así el Amigo). Análogamente, en la situación de la figura 5b, el Bloque‐ 1 no ejerce fuerza sobre el Bloque‐3. ¿Captó la idea? Felicidades; ha dado Ud un gran paso en el asunto del trazado de DCL’s. Con lo discutido hasta el momento podemos dar ya la regla más importante de todas:
4. La regla maestra.
Regla 6. (Regla Maestra: Cómo trazar el DCL de un cuerpo‐partícula). Para trazar el DCL de un cuerpo‐partícula:
- Trace primeramente el peso del cuerpo.
- Recorra visualmente el cuerpo considerado por todo su contorno y su interior, haciendo una lista (mentalmente o por escrito) de todos aquellos cuerpos vecinos con los que el cuerpo considerado esté en contacto. Incluya en el DCL la fuerza existente en cada uno de estos contactos. Ahora bien, ¿cómo podemos estar seguros que un DCL está trazado correctamente? A este respecto son dos cosas las que importan: Primera. Que en el DCL no se haya omitido ninguna fuerza que debiera estar incluida en él, y además que no se haya incluido alguna fuerza (superflua) que no debiera figurar en él. Segunda. Que cada una de las fuerzas del DCL se haya trazado tomando en cuenta sus direcciones y propiedades correctas. En este curso introductorio de Física I trataremos exclusivamente los siguientes tipos de fuerzas: Un tipo de fuerza de acción por campo:
- La fuerza denominada peso , ejercida por la Tierra sobre todo cuerpo en su superficie. Cuatro tipos de fuerzas de contaco (o mecánicas o macroscópicas):
- La fuerza de tensión , debida a contacto con cuerdas o cables, o resortes estirados, o barras o varillas rígidas ligeras estirados.
El vector que representa el peso de un cuerpo puede trazarse en cualquier lugar junto o en el interior del cuerpo, como se muestra en las figuras 6a,b,c para el peso W de un bloque: Esto lo podemos hacer porque estamos tratando al cuerpo como una partícula. Figura 6a Figura 6b Figura 6c
(B) Fuerza de tensión en cuerdas o cables.
Para poner una cuerda en tensión, hay que jalarla de sus extremos, a manera de elongarla. Figura 7a Figura 7b. Estado de tensión simple Por ejemplo, en la figura 7a tenemos dos amigos (designados como “Amigo 1” y “Amigo 2”) que
jalan de los extremos de una cuerda con iguales fuerzas “ T ”. La cuerda se pone tirante bajo la acción de
ambas fuerzas “ T ”, y su diagrama de cuerpo libre sería el que vemos en la figura 7b (hemos despreciado
aquí el peso de la cuerda). En la situación de la figura 7b decimos que la cuerda se halla en un estado de tensión simple. Otros cuerpos notables que pueden hallarse en un estado de tensión simple son los resortes y las varillas o barras rígidas ligeras. En las figuras 8a y 8b se muestran respectivamente un resorte y una varilla recta en tal estado. Estas figuras serían los DCL’s del resorte y varilla, si se desprecia su peso. Los
símbolos R y V denotan las fuerzas aplicadas sobre cada uno, respectivamente.
Figura 8a Figura 8b
Las fuerzas T , R y V que aparecen en las figuras 7b, 8a y 8b se denominan la tensión de la cuerda,
del resorte y de la varilla rígida, respectivamente.
Volvamos a la cuerda. Del DCL de la figura 7b se sigue que su ecuación de equilibrio es simplemente
(2) T – T = 0
Análogamente las ecuaciones de equilibrio del resorte y la varilla son
(3) R – R = 0, (4) V – V = 0
Las ecuaciones (2), (3) y (4) son unas grandes verdades pero no tienen ninguna utilidad práctica. De ahí la siguiente regla. Regla 7. Excepto en casos especiales, para resolver un problema de estática o dinámica no es necesario hacer los DCL’s de las cuerdas o cables que figuren en el problema. Tampoco es necesario hacer los DCL’s de resortes ligeros en tensión o compresión, o varillas o barras ligeras en tensión o compresión. Asimismo, no hacemos DCL’s de apoyos fijos (cuerpos masivos unidos firmemente a Tierra) como serían Mesa fija , Techo , Pared , Soporte fijo , Bastidor , etc. En el caso de las cuerdas, lo que sí nos interesa son las fuerzas que una cuerda tirante ejerce sobre los cuerpos atados a sus extremos, pues estas fuerzas figurarán en los DCL’s de estos últimos. La respuesta viene dada por la tercera ley de Newton. Figura 9
La cosa está así: la cuerda ejerce sobre los Amigos 1 y 2 la misma fuerza T que ellos ejercen sobre
aquella, en las direcciones mostradas en la figura 9.
Advirtamos que la fuerza de tensión T sobre cada Amigo es un vector que emana del punto de
sujeción o atadura de la cuerda, y corre a lo largo de la cuerda. La punta de este vector está dirigida hacia lo lejos del punto de sujeción. Esto es general, así que tenemos la siguiente regla: Regla 8. Para trazar la fuerza de tensión ejercida por una cuerda sobre un cuerpo:
- Ubique el punto de atadura (o sujeción) de la cuerda al cuerpo considerado.
- Desde este punto trace un vector que corra a lo largo de la cuerda, apuntando hacia lo lejos del punto de atadura.
Toda cuerda tirante posee en sus extremos 2 puntos de sujeción a otros cuerpos. Dos cuerdas se consideran distintas si poseen al menos un punto de sujeción distinto. Regla 9. El número de fuerzas de tensión que figuran en un problema dado (al hacer los DCL’s individuales de los cuerpos a que están atadas) es igual al número de cuerdas distintas que existen en el problema. Se sugiere numerar las cuerdas según Cuerda‐1, Cuerda‐2, Cuerda‐3, .. etc., o bien C1, C2, C3, …, etc. y designar sus tensiones respectivas mediante T 1 , T 2 , T 3 , …, etcétera. Definición. Un nodo es un punto material (de masa insignificante) donde confluyen 3 o más cuerdas. Un nodo puede constituir por sí solo un sistema físico válido que posee su propio DCL. EJEMPLO 5. Observe el conjunto representado en la figura 13. Se tiene un nodo donde confluyen las cuerdas C1, C2 y C3, y un Bloque que cuelga de la cuerda C3. Dado que existen 3 cuerdas, de acuerdo con la Regla 9 figurarán tres fuerzas de tensión que denotaremos con T 1 , T 2 y T 3 , respectivamente. Conviene aquí definir un sistema físico que conste solamente del nodo (el sistema { Nodo }). En la figura 14a se muestra la acción de las cuerdas sobre el Nodo, y en la figura 14b separadamente sobre el Bloque. Figura 13
Hemos añadido el peso W del Bloque, con objeto de que la figura 14b sea ya el DCL del Bloque (el cual
debe incluír todas las fuerzas sobre él). {Nodo} {Bloque} Figura 14a (DCL del Nodo) Figura 14b (DCL del Bloque)
EJEMPLO 6. En el conjunto ilustrado en la figura 15a se tiene una pesa, un bloque y una sola cuerda que parte desde la pesa, bordea la polea fija izquierda, pasa bordeando la polea 3 móvil y remata en el techo. ¿Cómo actúa la cuerda sobre las poleas fija y móvil? Suponga poleas lisas. Figura 15a Figura 15b (No son DCL’s) Para resolver este ejemplo necesitamos un par de reglas útiles más: Regla 10. Al bordear una cuerda una polea o perno lisos , la tensión de la cuerda no se altera.
Regla 11. Una cuerda bajo tensión T , que pasa por el canal periférico de una polea lisa (fija o
móvil) produce sobre ésta una acción equivalente a dos fuerzas de magnitudes iguales a T , aplicadas
tangencialmente a la polea en los puntos donde la cuerda deja de hacer contacto con aquella. Véase la figura 16. Figura 16 Note que, según la Regla 10, la tensión de la cuerda es la misma a ambos lados de la polea lisa. Note también que uno podría imaginarse que la (única) cuerda está “atada” a los puntos “a” y “b”, y usar
la Regla 8 de la página 11 para trazar las tensiones T.
Prosigamos con el ejemplo. Primeramente notemos que, en virtud de que existe solamente una
cuerda (y las poleas son lisas), habrá una sola tensión T en el problema.
Según la regla 11, la acción de la cuerda sobre las poleas fija y móvil es la que se muestra en la figura 15b. Como vemos, la tensión de la cuerda actúa tangencialmente a cada polea en los puntos donde la cuerda entra y sale de cada polea. En esta figura hemos puesto el comentario “No son DCL’s” puesto que no se han incluido todas las fuerzas sobre las poleas (solamente las debidas a la cuerda).
Ejercicios.
Ejercicio 1. Para el dispositivo de poleas mostrado, hacer el DCL de cada polea, así como el DCL del bloque. Suponer poleas sin peso, y peso W para el bloque. Ejercicio 2. Para el tendedero de la figura, hacer el DCL de cada nodo y bloque. Ejercicio 3. Una cuerda pasa por un anillo liso, como se ve en la figura. El peso del anillo es W. Hacer su DCL. Sugerencia. Note que existe solamente una cuerda en el problema. Ejercicio 4. Trazar las fuerzas que ejerce la cuerda sobre cada polea fija lisa, y sobre cada bloque.
(C) Fuerza de tensión en resortes estirados, o barras o varillas rígidas estiradas.
Sabiendo ya cómo trazar la fuerza de tensión debida a una cuerda o cable, es inmediato hacer lo propio para los rersortes o barras o varillas rígidas elongadas. La regla es similar a la regla 8 de la página 8. La expresaremos en estos términos: Regla 8. Para trazar la fuerza de tensión ejercida por un resorte elongado (de peso despreciable):
- Ubique el punto de sujeción del resorte al cuerpo considerado.
- Desde este punto trace un vector que corra a lo largo del resorte, apuntando hacia lo lejos del punto de sujeción. (O sea: imagine que el resorte fuera una cuerda)
Denote la tensión de resortes con el símbolo genérico R.
Misma cosa con respecto a las barras o varillas rígidas ligeras elongadas. EJEMPLO 9. El bloque está sujeto a dos barras y dos resortes. Las barras están elongadas (es decir, en tensión), lo mismo que los resortes. Todos estos cuerpos son de masa despreciable, excepto el bloque. Figura 20
En la figura 21 se muestra el DCl del bloque, representado por un punto “ • “.El DCL sería el
mismo si sustituyésemos las barras y los resortes por cuerdas tirantes, y los símbolos R ’s (tensión de
resortes) y V ’s (tensión de barras) por T 1 , T 2 , T 3 y T 4 (tensión de cuerdas).
Figura 21
Regla 9. Fuerza normal N en el contacto simple entre un Bloque y una Superficie plana.
La fuerza normal N que experimenta un bloque debida al contacto simple con una superficie
plana (Mesa, Pared, Otro bloque, etc.) es un vector perpendicular a la superficie plana con la que el bloque
está en contacto simple. Esta fuerza normal N tiene una dirección tal que tiende a alejar el bloque de la
superficie.
Convencionalmente, el vector que representa la fuerza N lo trazaremos con su punta sobre la cara
de contacto del bloque. No está de más especializar la Regla 9 al caso particular del contacto simple entre dos bloques, que aparece frecuentemente en los problemas. Tendremos así la siguiente regla: Regla 10 (= Regla 9 aplicada a dos bloques).
Cuando dos bloques A y B están en contacto simple, la fuerza normal N que el bloque A sufre,
debida al otro bloque B, debe aparecer también en el DCL del bloque B, con el mismo valor N y con
sentido contrario (figura 24). Figura 24 He aquí otra regla útil: Regla 11. El número total de fuerzas normales distintas que figuran en los DCL’s individuales de todos los cuerpos considerados es igual al número de contactos simples distintos que hay en el problema.
EJEMPLO 10. Dos bloques de pesos W 1 y W 2 son empujados por una fuerza constante F a lo largo de una
mesa horizontal lisa. Hacer el DCL de cada bloque (Figura 25). Figura 25 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Veamos cuántos contactos simples existen en este problema. Son los siguientes: Contacto simple entre el Bloque‐ 1 y el bloque‐ 2 Contacto simple entre el Bloque‐ 1 y la Mesa. Contacto simple entre el Bloque‐ 2 y la Mesa. Según la Regla 11 recién dada, figurarán entonces 3 fuerzas normales en el problema, que denotaremos
así: N , entre Bloque‐ 1 y Bloque‐2; N 1 , entre Bloque‐ 1 y Mesa; N 2 , entre Bloque‐ 2 y Mesa.
Figura 26 Los DCL’s de los bloques se muestran en la figura 26. Note lo siguiente:
- Los bloques se ejercen entre sí la misma fuerza N , en las direcciones mostradas en la figura 26.
- El sistema no está en equilibrio. La fuerza F acelera a ambos bloques hacia la derecha.
- La fuerza que empuja al Bloque‐ 2 hacia la derecha es la fuerza normal N que le ejerce el Bloque‐1. ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ EJEMPLO 11. Tres bloques de pesos 50 N, 80 N y 120 N están apilados sobre una mesa, como se muestra en la figura 27. Hacer el DCL de cada bloque. Figura 27 En este problema aparecerán 3 fuerzas normales, pues existen los 3 contactos simples siguientes: Bloque‐ 1 con Bloque‐ 2 Bloque‐ 2 con Bloque‐ 3 Bloque‐ 3 con la Mesa.
Denotaremos las fuerzas respectivas con N 1 , N 2 y N 3.
He aquí los DCL’s de los sistemas {Bloque‐1}, {Bloque‐2} y {Bloque‐3} (estúdielos bien): Figura 28a (DCL del Bloque‐1) Figura 28b (DCL del Bloque‐2) Figura 28c (DCL del Bloque‐3)
El contacto simple entre dos cuerpos puede ocurrir en una esquina o pico, como en el caso que vemos en la figura 31, donde el bloque se apoya sobre una pared vertical y un plano inclinado (esto cuenta como dos contactos simples). En este caso no podemos trazar un plano tangente a un pico, pero sí al otro cuerpo sobre el que el pico se apoya, y esto es lo que determina la dirección de la fuerza normal. Figura 31
(E) Fuerza de compresión debida a resortes comprimidos, o barras o varillas ligeras
comprimidas.
En la página 7 definimos lo que es el estado de tensión simple de un resorte o una barra o varilla rígida (Véanse las figuras 8a,b en dicha página). Los resortes y barras o varillas pueden estar también en un estado de compresión simple. En este estado estos cuerpos sufren en sus extremos fuerzas encontradas que tienden a comprimirlos. Las figuras 32a,b son los DCL’s de estos cuerpos en el estado de compresión simple (despreciando el peso de los mismos).
La fuerza C se denomina la compresión del resorte ; la fuerza K es la compresión de la barra o
varilla rígida. Figura 32a Figura 32b Lo que aquí nos interesa son las fuerzas que un resorte o barra comprimidos ejercen sobre los cuerpos sujetos a sus extremos, que son los cuerpos que ponen al resorte o barra en compresión. Estas fuerzas son las reacciones de las fuerzas mostradas en la figura 32a,b.
Regla 13. La fuerza de compresión C ejercida por un resorte comprimido sobre un cuerpo sujeto a
uno de sus extremos es una fuerza que incide sobre el cuerpo en el punto de sujeción del resorte, viniendo desde el exterior del cuerpo considerado a lo largo del eje longitudinal del resorte.
Lo análogo es válido para la fuerza de compresión K debida a una barra o varilla comprimida.
EJEMPLO 12. Una bola de peso W está sostenida por dos resortes, como se muestra en la figura 33a.
Hacer el DCL de la bola. Figura 33a Figura 33b. DCL de la Bola
En la figura 33b se muestra el DCL del sistema { Bola }. En él, C 1 y C 2 son las fuerzas de
compresión debidas al Resorte‐ 1 y al Resorte‐2, respectivamente. Note que los vectores C 1 y C 2 vienen
desde fuera de la Bola y se “clavan” en la misma (o sea: las puntas de los vectores inciden en los puntos de sujeción de los resortes a la bola). EJEMPLO 13. Los dos bloques mostrados en la figura 34a descansan sobre superficies lisas. Los bloques
están unidos por una barra ligera. Se aplica una fuerza P sobre el bloque izquierdo. Hacer el DCL de cada
bloque. Figura 34a Figura 34b Está claro que la barra está en compresión. Vea los DCL’s de los bloques individuales en la figura 34b. Fíjese especialmente cómo actúa la
barra comprimida sobre cada bloque (fuerza de compresión K ).
