Introducción al Cálculo Integral: Integrales Indefinidas, Apuntes de Cálculo

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-Las matemáticas expresan valores que reflejan el cosmos, incluyendo el orden, equilibrio, armonía, lógica y belleza abstracta.-

Deepak Chopra

Introducción Como parte del proceso de formación como futuros ingenieros el conocimiento sobre cálculo integral y la aplicación de los ejercicios matemáticos es de vital importancia para desarrollar habilidades y destrezas en la solución de creativa de problemas. La finalidad del siguiente informe sobre las integrales indefinidas es comprender los conceptos básicos del cálculo integral, como también el adquirir destreza en las técnicas de integración. En este trabajo abordaremos el marco conceptual sobre la integral indefinida, la integración con condiciones iníciales, las tablas de integrales, las técnicas de integración y el método de sustitución. También aplicaremos la integral indefinida en problemas de aplicación de la vida diaria, donde realizaremos ejercicios prácticos, abordaremos las conclusiones a las que hemos llegado y definiremos algunas recomendaciones sobre el tema de nuestra investigación.

HISTORIA DE LA INTEGRAL

El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral. Sin embargo, existen hallazgos antiquísimos a los tiempos de Arquímedes; un ejemplo claro de esto es Egipto, en el año 1800a.C, con el papiro de Moscú, en el cual se buscó la forma para obtener el volumen de un tronco piramidal. Mucho tiempo después, el siguiente método de integración conocido como “método de exhausción” (por agotamiento) de Euxodo (360 a.C.), el cual se utilizó para encontrar áreas y volúmenes, el cual, posteriormente utilizo Aristoteles para calcular el área de una parábola; este está descrito en el Método, un libro de Arquímedes el cuál es la base de los conceptos que en el siglo XVII permitirían a Isaac Newton y a Leibniz unificar el cálculo diferencial con el integral , lo cual conllevó la posterior definición rigurosa de límite de una función por Bernard Bolzano, Cauchy y Weierstrass. Papiro de

En China Liu Hui utilizo la exhausción para encontrar el área de un círculo y Zu Chongzhi lo uso para encontrar el volumen de una esfera. De ahora en adelante comenzaremos a acercarnos a lo que es el cálculo integral SIGLO XVII Isaac Newton y Leibniz desarrollaron en ¹ teorema fundamental del cálculo. El cual demuestra una conexión que dice que se puede utilizar el cálculo de derivadas para realizar el de integrales. El llamado ² Cálculo Infinitesimal , permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya notación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz. Newton desarrollo la notación de los integrales, pero estas no se usaron debido a la confusión que generaba. En 1675 Leibniz mostro la notación moderna de las integrales indefinidas, para cual uso el símbolo de una “S” alargada. Método exhaustivo para hallar el área del círculo, la longitud de la circunferencia y, como consecuencia, el número pi. Área de un círculo hallado por el método exhaustivo por Lui Hui. ¹Teorema Fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. ²Cálculo Infinitesimal o cálculo de infinitesimales constituye una parte muy importante de la matemática moderna. Es el que hoy conocemos como cálculo.

INTEGRAR

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F ' ( x )= f ( x ) Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [ F^ (^ x^ )^ + C^ ] ' = F ' ( x ) + 0 = F ' ( x )= f ( x )

INTEGRAL DEFINIDA

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por: ∫ f^ (^ x^ )^ dx Se lee: integral de f de x diferencial de x. Ejemplo: La función (^) F ( (^) x )= x^3 + 5 es una primitiva de la función (^) f ( (^) x )= 3 x^2 , para todo x ∈ R

1. ∫ es el signo de integración. 2) f(x) es el integrando o función a integrar.
2. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. PROPIEDADES De la definición de integral indefinida se deducen de manera trivial las siguientes propiedades: Integrales Básicas o Inmediatas Se suelen denominar integrales inmediatas a las que resultan evidentes por ser el integrando la derivada de una función conocida. Evidentemente no se trata de un concepto matemático riguroso, simplemente tomaremos como inmediatas las integrales básicas más habituales. Asumiremos por tanto como integrales conocidas o inmediatas a las siguientes:

Cambio de Variable o Sustitución El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula. Tradicionalmente se escribe u y v para denotar las dos funciones, de manera que la fórmula de integración por partes aparece habitualmente escrita en la forma: ∫ udv = uv −∫ vdu Donde se ha obviado la constante aditiva, además de despejarse una de las integrales en función de la otra, para poner de manifiesto la utilidad del método. Se trata de convertir una integral dada (que identificamos con ∫udv ) en una función conocida (el término uv ) menos una nueva integral ( ∫vdu ), con la esperanza de que esta segunda resulte más fácil de resolver que la original. Evidentemente la aplicación exitosa del método requiere además que sepamos derivar la función que identificamos como u e integrar la que tomamos como derivada de v. Integración de Funciones Racionales

Son las integrales de la forma ∫ P ( x ) Q ( x ) dx , donde P y Q son polinomios. Como veremos a continuación siempre es posible resolver una integral de este tipo (En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría). Dentro del Cálculo Integral las integrales racionales representan un papel muy importante pues, por un lado, se trata de integrales que aparecen con frecuencia en muy diversos contextos científicos, y, por otro, muchos tipos diferentes de integrales pueden ser convertidos (mediante los cambios de variable adecuados) en integrales racionales. ∫ P ( x ) Q ( x ) dx =∫ C ( x ) dx +∫ R ( x ) Q ( x ) dx Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores. Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:

Caso I: Integrales Racionales con Raíces Simples/Múltiples

La fracción P ( x ) Q ( x ) puede escribirse así: P ( x ) Q ( x ) = A ( x − a )

B ( x − b ) 2 +^ C ( x − c )

• … Los coeficientes A, B y C son números que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x. (En este caso el polinomio Q(x) se descompone en factores (x-a)(x-b) ² (x-c)… todos obligatoriamente de grado uno, refiriéndonos al x, más no a todo el factor, este puede estar expresado en grado dos, tres, etc. Dependiendo de la factorización del polinomio Q(x)).

Caso II: Integrales Racionales con Raíces Complejas

Simples

La fracción P ( x ) Q ( x ) puede escribirse así:

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

DEFINIDA

Determinación del Costo Total a partir del Costo Marginal La determinación de costo total a partir del costo marginal es una de las tantas aplicaciones que tiene el cálculo integral. Para determinar el costo total tenemos que considerar lo siguiente: c ( x )=∫ c ' ( x ) dx Donde C’(x) es el costo marginal, C(x) es la función de costo y la constante de integración es el costo fijo. Ejemplo 1 : El costo marginal de producir la x-ésima caja de adornos finos es: y el costo fijo es de 20.000 dólares. Determinar la función de costo y estimar el costo de producir 200 cajas de adornos finos. Solución: Como tenemos la función de costo marginal procederemos a calcular la ecuación de costo, así las cosas, aplicando la ecuación 1 (EC) tenemos que: c (^ x )=∫( 5 − x 10.000 ) dx =∫ 5 dx −∫( x 10.000 ) dx = 5 x − 1

. x 2 2

• C = 5 x − x 2

• C Como tenemos el costo fijo, que es 20.000 dólares, entonces la función de costo es: c (^ x )= 5 x − x 2

+20. Para estimar el costo de producir 200 cajas de adornos finos, tenemos que: c (^200 )= 5 (^200 )^ − 200 2

+20.000= 1000 − 40000

+20.000=20.99 8 Es decir que el costo de producir 200 cajas de adornos finos son 20.998 dólares. Posición, Velocidad y Aceleración Si s = s ( t ) es la posición de un objeto en el momento t , su velocidad se expresa por la derivada: v = ds dt El Costo Marginal es el costo adicional de producir un artículo adicional. Se entiende como la variación del costo total respecto a variaciones En otras palabras la velocidad es la derivada de la posición.

b. Se quiere conocer la posición, pero la posición es la Antiderivada de la velocidad. Entonces: s ( t )=∫ v ( t ) dt =∫ (− 32 t + 30 ) dt =− 16 t 2

• 30 t + c Ahora bien, para calcular C se necesita conocer la posición inicial s(0). El problema no lo dice, pero podemos medir las alturas de modo que la posición inicial sea cero. Entonces, 0 = s(0) = C, y: s (^ t )=− 16 t 2
• 30 t s ( 5 )=− 16 ( 5 ) 2
• 30 ( 5 )=− 250 pies Conclusiones Después de la desarrollar la investigación sobre las integrales indefinidas, hemos llegado a las siguientes conclusiones:  El hombre en su búsqueda por entender el mundo que nos rodea, creó las matemáticas y descubrió el cálculo; En otras palabras, la piedra está ahora a 250 pies abajo del lugar donde fue lanzada En particular, a los 5 segundos, tiene una altura de:

debemos esta maravillosa rama de la matemática a muchos genios y culturas.  Que para la integración indefinida no existen reglas generales, es la práctica sistemática lo que determina la aplicación del método adecuado de integración, según sea el integrando.  Solo con la práctica sistemática, se podrá llegar a entender y resolver los ejercicios de las integrales indefinidas.  Que el estudio de las integrales indefinidas son importantes en la aplicación y resolución de problemas, tanto matemáticos, como en la vida cotidiana. Bibliografía www.scribd.com/doc/.../Integrales-Indefinidas www.wikipedia.org/wiki/Integración www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf