La Recta semana 4 Complementos de Matemática, Diapositivas de Matemáticas

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COMPLEMENTOS

DE MATEMÁTICA

SEMANA 4

La recta y su ecuación

DOCENTE: Christian Briones Quispe

Los ejes x y y dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. − − − − − − −        

−

−

−

−

−

−

−

−















x

y

x

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. (^) ordenadas

Abscisas

y

origen

𝑰𝑰^ 𝑰

(−, +)^ (+,^ +)

𝐴(𝑥, 𝑦)

0

UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO

CARTESIANO

Ejemplos

Ubicar en el plano cartesiano

x

y

P 1 ( 4 , 3 )

P 1 ( 4 , 3 )

P 2 (− 5 , 2 )

P 2 (− 5 , 2 )

P 3 (− 3 ,− 4 )

P 3 (− 3 ,− 4 )

P 4 ( 6 ,− 2 )

P 4 ( 6 ,− 2 )

P 5 ( 2 , 0 )

P 5 ( 2 , 0 )

P 6 ( 0 ,− 2 )

P 6 ( 0 ,− 2 )

P 7 ( 0 , 3 )

P 7 ( 0 , 3 )

Dibujar un triángulo ABC con vértices A( - 1,3), B( - 3 ,-1 ), C( 3 , 1 ).

C

A

B

EJEMPLO 2

X

Y

0 3

1

2

2

− 2 − 1 − 1

− 7 − 6 − 5 − 4 − 3

− 2 − 3 − 4

1

3

4 5 6 7

4

d

A

B

P

Q

d = 32 + 42 d = 5

PQ = 62 + 82

PQ = 10

OBSERVA QUE: 3 = 4 - 1

OBSERVA QUE: 4 = 7 - 3

OBSERVA QUE: 6 = 2 – (- 4)

OBSERVA

QUE:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

y (^) 2 − y 1

x (^) 2 − x 1

( x 2 , y 2 )

( x 1 , y 1 )

x 1 x 2

y 2

y 1

x

y

Distancia entre dos puntos

Por el teorema de Pitágoras se tiene:

(hipotenusa)²= (cateto)² + (cateto)²

2 2 1

2 2 1

d^2 =( x − x ) +( y − y )

Entonces, 2 2 1

2

d = ( x 2 − x 1 ) +( y − y )

d

a

b

( x 2 , y 1 ) d^2 = a^2 + b^2

Tomemos dos puntos del plano y y hallemos la distancia entre ellos:

( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 )

Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos P(-3,2) y Q(1,5).

Solución Aplicando la fórmula de distancia se tiene:

P

Q

( − 3 , 2 )

2 2 1

2

d = ( x 2 − x 1 ) +( y − y )

EJEMPLO 02

Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos P(-3,2) y Q(1,5).

Solución Aplicando la fórmula de distancia se tiene:

𝑑(𝑃𝑄) = 1 − − 3 2 + 5 − 2 2 P

Q

( − 3 , 2 )

2 2 1

2

d = ( x 2 − x 1 ) +( y − y )

𝑑(𝑃𝑄) = 1 + 3 2 + 5 − 2 2 𝑑(𝑃𝑄) = 42 + 32 𝑑(𝑃𝑄) = 25 = 5

EJEMPLO 02

Dibujar un triángulo ABC con vértices A( - 1,3), B( - 3 ,-1 ), C( 3 , 1 ) y hallar su perímetro

C

A

B

Distancia entre AB 𝑑(𝐴𝐵)^ =^ (𝑥 2 −^ 𝑥 1 )^2 +^ (𝑦 2 −^ 𝑦 1 )^2

𝑑(𝐴𝐵) = (− 1 − (− 3 ))^2 + ( 3 − (− 1 ))^2 𝑑(𝐴𝐵) = ( 2 )^2 + ( 4 )^2 𝑑(𝐴𝐵)^ =^20

Distancia entre BC 𝑑(𝐵𝐶)^ =^ (𝑥 2 −^ 𝑥 1 )^2 +^ (𝑦 2 −^ 𝑦 1 )^2 𝑑(𝐵𝐶) = (− 3 − ( 3 ))^2 + (− 1 − ( 1 ))^2 𝑑(𝐵𝐶) = (− 6 )^2 + (− 2 )^2 𝑑(𝐵𝐶)^ =^40 Distancia entre AC 𝑑(𝐴𝐶)^ =^ (𝑥 2 −^ 𝑥 1 )^2 +^ (𝑦 2 −^ 𝑦 1 )^2 𝑑(𝐴𝐶) = (− 1 − 3 )^2 + ( 3 − 1 )^2 𝑑(𝐴𝐶) = (− 4 )^2 + ( 2 )^2 𝑑(𝐴𝐶) = 20

20 20

Perímetro= d(AB) +d(BC)+d(AC) Perímetro= 20 + 40 + 20 Perímetro= 2 5 + 2 10 + 2 5 Perímetro= 4 5 + 2 10

EJEMPLO 04

LA FÓRMULA DEL PUNTO MEDIO

El punto medio M de un segmento de recta A ( x 1 , y 1 ) a B ( x 2 , y 2 ), está definido como:

 

  

 + + 2

, 2

M x^1 x^2 y^1 y^2

x

y

A (^ x 1 , y 1 )

B ( x 2 , y 2 )

x 1 x 2

y 1

y 2

y 1 (^) + 2 y (^2) M

2

x 1 (^) + x 2

ÁREA DEL TRIÁNGULO

A(x ; y ) 1 1

B(x ; y ) 2 2

C(x ; y ) 3 3

1 1 2 2 3 3 1 1

x y

x y

x y

x y

x y 1 2 x y 2 3 x y 3 1

y x 1 2 y x 2 3 y x 3 1

S P

Á𝑅𝐸𝐴 =

A( 3;6)−

B( 5;− −6)

C(4;3)

− 30

− 15

− (^6327)

EJEMPLO : CALCULAR EL ÁREA DEL TRIÁNGULO ABC

ÁREA 27 63 2 =^ − − ÁREA =45u^2

ECUACIÓN DE LA LÍNEA

RECTA Y APLICACIONES

Definición: La línea recta es el conjunto de puntos del plano cartesiano que verifican la siguiente condición: si se toman dos puntos cualesquiera de aquel conjunto, entonces la razón entre la diferencia de sus ordenadas y la diferencia de las abscisas son siempre iguales.

( 1 1 ) ( 2 2 )^2

2 1

A x ; ; ; y y x

B y x

y x  − −

1

1 1 2 2

A x y B x x x

y  y^ − y −

2 1 2 1 2 1 2 1

´ ´ ´ ´

y y y y x x

Verifi

x

c

x

a − − −

= −

La línea recta

Definición: Dado dos puntos, la pendiente de una línea recta es la razón entre la diferencia de sus ordenadas y la diferencia de las abscisas.

Esquema: 𝐴^ 𝑥 1 ;^ 𝑦 1 ;^ 𝐵^ 𝑥 2 ;^ 𝑦 2

⇒ 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

=

Nota: La pendiente de una recta también es igual la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas.

LA PENDIENTE DE LA LÍNEA RECTA