Introducci´
o al C`
alcul Diferencial. Curs 2016-2017
Laboratori 2: Successions
1. Es defineix la successi´
o(xn)ncom: x1= 1/2ixn+1 =2
3−xn
, si n≥1.
a) Proveu que per a tot n≥1, es compleix 0< xn≤1.
b) Proveu que la successi´
o´
es mon`
otona i calculeu el seu l´
ımit.
Demostraci´
o:
Comencem amb l’apartat a). Ho provem per inducci ´
o sobre n≥1. Per n= 1,x1= 1/2∈
(0,1]. Suposem que 0< xn≤1i comprovem que tamb´
e0< xn+1 ≤1.
Si 0< xn≤1, es t´
e que −1≤ −xn<0i sumant 3 a les desigualtats, 0<2≤3−xn<3.
Per tant, 1/3≤1/(3 −xn)<1/2. Multiplicant per 2, tenim finalment que 0<2/3≤
2/(3 −xn) = xn+1 <1.
Per a provar la monotonia, observem que x2= 4/5>2/3 = x1. Provarem per inducci´
o
que xn≤xn+1 per a tot n. El cas n= 1 ´
es el que acabem de provar. Suposem que
xn≤xn+1. Tenim llavors que −xn+1 ≤ −xni sumant 3a la desigualtat obtenim 0<
3−xn+1 ≤3−xn. Per tant 1/(3 −xn)≤1/(3 −xn+1)i finalment, multiplicant per 2,
obtenim xn+1 = 2/(3 −xn)≤2/(3 −xn+1) = xn+2.
Donat que (xn)n´
es mon`
otona i acotada (pel primer apartat), ´
es convergent. Sigui x=
limnxn. Llavors es t´
e que x= limnxn+1 i com que per a cada n≥1,xn+1 =2
3−xn
, per
pas al l´
ımit tindrem que x= 2/(3 −x). Es a dir x2−3x+ 2 = (x−1)(x−2) = 0. Donat
que per a tot n≥1,xn≤1, tenim que x≤1i per tant, el l´
ımit x= 1.
2. Calculeu els l´
ımits
(a)
lim
n→∞
1 + 2 + · · · +n
n2.
(b)
lim
n→∞ 31+ 42+· · · + (n+ 2)n
11+ 22+· · · +nn2
.
Demostraci´
o:
Comencem amb l’apartat a). Una possibilitat ´
es provar-ho aplicant el Criteri de Stolz,
donat que la successi´
o(n2)´
es creixent amb l´
ımit ∞. Tenim doncs
lim
n→∞
1 + 2 + · · · +n
n2= lim
n→∞
(1 + · · · +n+ 1) −(1 + · · · +n)
(n+ 1)2−n2= lim
n→∞
1
2n+ 1 =1
2.
