Geometria Diferencial de Corbes i Superf´ıcies
Grau de Matem`atiques, 2015–16, Semestre de tardor
Examen final, Dijous 14 de gener de 2016, 9:00-13:00
1. Sigui α:I→R3una corba parametritzada per l’arc. Siguin k, τ :I→Rla
curvatura i la torsi´o de α, i siguin t, n, b :I→R3els elements del triedre de Frenet.
Suposem que per a tot s∈Ise satisf`a que k(s)= 0 =τ(s) i que τ(s)t(s) + k(s)b(s) ´es
paral·lel a v:= (0,0,1). Suposem finalment que existeix un nombre real positiu Rtal
que α(I)⊂ {(x, y, z)∈R3|x2+y2=R2}.
1. (1 punt) Demostreu que existeix una constant c∈Rtal que τ(s) = ck(s) per a tot
s. Dedu¨ıu-ne que el vector w(s) = ct(s) + b(s) ´es constant i paral.lel a v.
2. (1 punt) Demostreu que (1 +c2)⟨α, α⟩−⟨α , w⟩2= (1+ c2)R2i dedu¨ıu-ne (derivant)
que ⟨α, t⟩=c⟨α, b⟩.Demostreu tamb´e que ⟨α, n⟩´es constant.
3. (1 punt) Demostreu que k´es constant (suggeriment: deriveu la igualtat ⟨α, t⟩=
c⟨α, b⟩).
2. Considerem el seg¨uent subconjunt de R3:S={(x, y, z)∈R3|ex+ey=ez}.
1. (1 punt) Demostreu que S´es una superf´ıcie regular.
2. (1 punt) Demostreu que p= (0,0,ln 2) ∈S, i calculeu el pla tangent vectorial TpS.
3. (1 punt) Demostreu que l’aplicaci´o ϕ:R2→S,ϕ(u, v)=(u, v, ln(eu+ev)) ´es una
parametritzaci´o regular global de S.
4. (1 punt) Calculeu els coeficients E, F , G ie, f, g de la primera i segona formes
fonamentals de ϕ.
5. (1 punt) Calculeu la curvatura de Gauss de S.
3. (1 punt) Sigui Sun subconjunt de R3. Definiu qu`e vol dir que Ssigui una superf´ıcie
regular. Enuncieu el teorema de la diferenciabilitat dels canvis de parametritzaci´o.
(1 punt) Sigui S⊂R3una superf´ıcie regular. Definiu els plans tangents vectorials de S.
No oblideu de posar el nom i cognoms a tots els fulls que entregueu. Els apartats dels
problemes es corregiran de manera independent: si no resoleu algun dels apartats d’un
problema, podeu passar als seg¨uents apartats i resoldre’ls fent servir els apartats prece-
dents, encara que no els hagueu resolt.