Geometria Diferencial de Corbes i Superf´ıcies
Grau de Matem`atiques, 2015–16, Semestre de tardor
Examen parcial, Dilluns 9 de novembre de 2014, 8:00-11:00
1. Sigui γ:I−→ R3una corba 2-regular parametritzada per l’arc, on I⊂R´es
un interval obert. Sigui s0∈Iun punt qualsevol. Considerem els plans osculador
({γ(s0); t, n}), rectificant ({γ(s0); t, b}) i normal ({γ(s0); n, b}) pel punt γ(s0), que
denotem per Po,PriPnrespectivament.
Considerem les projeccions ortogonals de γen aquests tres plans : γo,γriγn.
1. (2 punts) Proveu que existeix un entorn obert J⊂Ide s0tal que γo|Jiγr|J
s´on corbes planes 1-regulars; demostreu que per qualsevol entorn obert J⊂I
de s0la corba γn|Jno ´es 1-regular.
2. (2 punts) Doneu l’expressi´o de les curvatures de γo|Ji de γr|Jen els punts
γ0(s0) i γr(s0) respectivament, en funci´o de k(s0).
(Podeu expressar γen el sistema coordenat {γ(s0); t(s0), n(s0), b(s0)}.)
2. Considerem l’aplicaci´o ϕ:R2→R3donada per
ϕ(u, v) = (cosh u·ev,sinh u·ev, e4v).
1. (1 punt) Demostreu que ϕ´es una superf´ıcie parametritzada regular.
2. (1 punt) Demostreu que la tra¸ca de ϕest`a continguda a
{(x, y, z)∈R3|(x2−y2)2=z}.
3. (2 punts) Demostreu que no hi ha cap p∈R2tal que l’espai tangent af´ı Tpϕ
contingui l’origen 0 ∈R3.
3. (2 punts) Definiu qu`e vol dir que una corba sigui 2-regular. Definiu la torsi´o
d’una corba 2-regular. Demostreu que si α:I→R3´es una corba 2-regular amb
torsi´o τ:I→R, i f:J→I´es un canvi de par`ametre, aleshores la torsi´o de α◦f
´es igual a τ◦f.