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En este documento se presenta el análisis de una señal discreta propuesta en el laboratorio de la semana 5, con énfasis en el cálculo del diagrama de polos y ceros, la respuesta frecuencial, la respuesta al impulso, y la transformada inversa de la función de transferencia h(z) utilizando la transformada z. Además, se incluyen ejemplos y ejercicios resueltos.
Tipo: Apuntes
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Resumen En este trabajo se presenta el an´alisis de una se˜nal discreta, propuesta en el laboratorio de la semana 5.
Objetivo de la Practica
Calcular num´ericamente el diagrama de polos y ceros, la respuesta frecuencial, la respuesta al impulso, y la transformada inversa de la funci´on de transferencia H(z). [1]
La transformada Z opera sobre una se˜nal de tiempo discreto. Desempe˜na el mismo papel en el an´alisis de sistemas LTI que la transformada de Laplace en el an´alisis de se˜nales continuas en el tiempo y los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). [2] En matem´aticas, la transformada Z se utiliza para convertir una se˜nal real o compleja definida en el dominio del tiempo en una representaci´on en el dominio de la frecuencia compleja. Por este motivo, es utilizada en el procesamiento de se˜nales. [3] Definici´on Matem´atica de la Transformada Z
Dada una secuencia discreta x(n), se define la Transformada Z como:
X(z) = Z{x[n]} =
n=−∞
x(n)z−n
donde z es una variable compleja. Un sistema LTI se puede caracterizar en el dominio del tiempo mediante su respuesta al impulso h[n]. La salida y[n] debida a la entrada x[n] se puede calcular mediante la convoluci´on:
y[n] =
k=−∞
x[k]h[n − k]
La transformada Z de la salida de un sistema LTI se relaciona con la transformada Z de la entrada, y la transformada Z de la respuesta al impulso:
Y (z) = H(z)X(z)
donde H(z) se conoce como la funci´on de transferencia. Cualquier sistema LTI queda comple- tamente caracterizado por su funci´on de transferencia suponiendo convergencia. En esta pr´actica trabajaremos con H(z), calculando num´ericamente el diagrama de polos y ceros, la respuesta frecuencial, la respuesta al impulso y su transformada inversa.
Computador personal
Paquete de software LabView. [4]
H(z) =
z−^1 + 1, 7 z−^2 1 − 0 , 2 z−^1 − 0 , 15 z−^2
A continuaci´on se indica los resultados obtenidos de las funciones propuestas en el punto 12
Ejercicio propuesto en clase
Figura 1: Funci´on de transferencia en t´erminos de la variable compleja z−^1
Figura 2: Gr´afica de la respuesta en frecuencia de H(z)
Figura 3: Diagrama de polos y ceros de H(z)
Figura 4: Gr´afica de la respuesta al impulso de H(z)
Figura 9: Evaluci´on en forma n´umerica de H(z)
Ejercicio Dos
Figura 10: Funci´on de transferencia en terminos de la variable compleja z−^1
Figura 11: Gr´afica de la respuesta en frecuencia de H(z)
Ejercicio Tres Ejercicio Cuatro
Figura 12: Diagrama de polos y ceros de H(z)
Figura 13: Gr´afica de la respuesta al impulso de H(z)
Figura 20: Gr´afica de la respuesta en frecuencia de H(z)
Figura 21: Diagrama de polos y ceros de H(z)
Figura 22: Gr´afica de la respuesta al impulso de H(z)
Figura 23: Calculo del reciduo, los polos y el cociente de H(z)
Figura 29: Gr´afica de la respuesta en frecuencia de H(z)
Figura 30: Diagrama de polos y ceros de H(z)
Figura 31: Gr´afica de la respuesta al impulso de H(z)
Figura 32: Calculo del reciduo, los polos y el cociente de H(z)
Recomendaciones
Con base en el an´alisis y estudio de la Transformada Z, se formulan las siguientes recomen- daciones:
Referencias
[1] R.-J. Rodr´ıguez, “Ayuda SPSS Chi cuadrado. Notas metodol´ogicas,” AYUDA SPSS-CHI CUADRADO-NOTAS METODOL OGICA´ , vol. 1, p. 19, 2004.
[2] D. L´opez and E. Obreg´on, “La transformada z,” Revista Colombiana de Matem´aticas, vol. 8, no. 3-4, pp. 42–56, 1966.
[3] G. C. Rodr´ıguez, “La transformada z,” 2019.
[4] W. Khong, M. Mariappan, and N. K. Rao, “National instruments labview biomedical toolkit for measuring heart beat rate and ecg lead ii features,” in IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, vol. 705, no. 1. IOP Publishing, 2019, p. 012020.
