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Tema 4. Probabilidad Condicionada
Presentación y Objetivos.
En este tema se dan reglas para actualizar una probabilidad determinada en situaciones en las
que se dispone de información adicional. Para ello se introduce la Probabilidad Condicionada
que conducirá hacia el Teorema de Bayes, una potente herramienta de inversión de
probabilidades.
Los Objetivos de este Tema son:
- Entender la probabilidad condicionada como la herramienta idónea para medir la incertidumbre en un contexto prefijado.
- Saber modelizar y resolver problemas de incertidumbre mediante el lenguaje de sucesos.
- Dominar a nivel operativo y semántico el teorema de Bayes.
Esquema Inicial.
- Probabilidad condicionada
- Teorema de la probabilidad compuesta
- Independencia de sucesos
- Teorema de la probabilidad total
- Teorema de Bayes
Desarrollo del Tema
1. Probabilidad condicionada.
Se denomina probabilidad de un suceso ܣ condicionada a otro ܤ, a la probabilidad de que
ocurra ܣ sabiendo que ya ha ocurrido ܤ. Analíticamente:
ሻܤሺ siendo^ ܲ
espacio muestral es aquél en el que ha ocurrido el suceso ܤ.
Ejemplo 1: Considérese el lanzamiento de una moneda equilibrada dos veces. Sea ܣ el suceso
Obsérvese que en ܣ ocurren conjuntamente ܣ y ܤ y tiene asociado el espacio muestral
original Ω. |ܣ significa que en los casos en los que ya ha ocurrido ܤ, ocurre ܣ, y por tanto el
“obtener cara en la 1ª tirada” y ܤ el suceso “obtener cara en la 2ª tirada”.
ܤ ת ܣ ܤ ,ܣሺ ,ሻܤ ,ܣሺതሻ, ሺܣҧ, ܤሻ, ሺܣҧ, ܤതሻሽ
ܣൌ "alguno es par"
ܤൌ "el dado rojo es 1 o 2"
ሻ ݆,݅ሺ
donde ݅ ݆, א ሼ1, 2, … , 6ሽ siendo la primera posición para el resultado del dado azul y la segunda
Así, Ω = { y 12 al suceso B
ܤ ת ܣൌ ሼሺ2,1ሻ, ሺ4,1ሻ, ሺ6,1ሻ, ሺ1,2ሻ, ሺ2,2ሻ, ሺ3,2ሻ, ሺ4,2ሻ, ሺ5,2ሻ, ሺ6,2ሻሽ
ܤൌ ሼሺ1,1ሻ, ሺ2,1ሻ, ሺ3,1ሻ, ሺ4,1ሻ, ሺ5,1ሻ, ሺ6,1ሻ, ሺ1,2ሻ, ሺ2,2ሻ, ሺ3,2ሻ, ሺ4,2ሻ, ሺ5,2ሻ, ሺ6,2ሻሽ
Por lo tanto, la probabilidad pedida es
está definida en el espacio muestral ሼ^ y tiene probabilidad
1/4.
está definida en el espacio muestral ሼ y tiene probabilidad 1/2.
Ejemplo 2: Se lanzan dos dados, uno azul y otro rojo. Sabiendo que el dado rojo es un 1 o un 2,
calcular la probabilidad de que el resultado de alguno de los dados sea par.
Se definen los siguientes sucesos:
El espacio muestral para este experimento aleatorio es el conjunto de todos los pares
para el rojo. ݆,݅ሺ ሻ: ݆, ݅ൌ 1, 2, …. , 6ሽ y tiene 36 posibles resultados, de los cuáles 9
son favorables al suceso ܤ ת ܣ , ya que
También se puede calcular esta probabilidad directamente observando el espacio muestral en el
Hay resultados posibles de los que 9 son favorables a ܤ|ܣ (los destacados en negrita), con lo
que:
que está definido ܤ|ܣ:
Ω’ൌ ሼሺ1,1ሻ, ሺ ሻ,
12
como ya se obtuvo anteriormente.
icionada se puede extender para cualquier número de sucesos
del espacio muestral. Por ejemplo,
La definición de probabilidad cond
Utilizando la definición de probabilidad condicionada se obtiene una definición equivalente
ܲሻܣሺ ሺܤሻ ܣ ֞y ܤ son independientes
Ejemplo 4: Una urna contiene 4 bolas blancas y 2 negras. Se extraen dos bolas
b) sin reemplazamiento
Com ntes los sucesos ൌ ܣ “primera bola es blanca” y ൌ ܤ “segunda bola es blanca”.
plazamiento: ܲ ሺܣሻ ൌ
para la independencia de sucesos:
ܲ ܲൌ ሻܤ ת ܣሺ
a) con reemplazamiento
probar si son independie
a) Con reem ሻܤሺ ܲൌ
ܲ ܲൌ ሻܤ ת ܣሺ ܲሻܣሺ^ ሺܤ|ܣሻ ൌ
Así, ܲ ܲൌ ሻܤ ת ܣሺ ܲሻܣ^ ሻܤሺ^ y SÍ son independientes.
b) emplazamiento: ሺܣሻ ൌ
Sin re ܲ 6 ሻ ൌܲ ൫ ܲൌ ሻ൯ܤ ת ܣሺ ሻܤ ת ҧܣሺ ܲ ሻܤ ת ҧܣሺ ൌ ሻܤ ת ܣሺ
ܲൌ ܲҧሻܣሺ^ ܲ ҧሻܣ|ܤሺ ܲሻܣሺ^ ሺܤ|ܣሻ ൌ
ܲ ܲൌ ሻܤሺ ܾ݊ሺሼ^ ܾܾሼ ሽ^ ሽ
ܲ ܲൌ ሻܤ ת ܣሺ ܲሻܣሺ^ ሺܤ|ܣሻ ൌ
Así, ܲ ܲሻ്ܤ ת ܣሺ ܲሻܣሺ ሻܤሺ y NO son independientes.
Como se puede observar la diferencia entre extraer las bolas con reemplazamiento y sin reempla nto está en la noción d
robabilidad de que el sistema funcione á un conjunto de componentes dispuestos según un diseño
ponente funcione después de
ncia de los sucesos, la fiabilidad de la máquina es
ܲ ሺsistema funcioneሻ ൌܲ ܥሺଵ ܥ תଶ ܥ תଷ ܥ תସ ܲൌ ሻ ܥሺଵ ܲሻ ܥሺଶ ܲሻ ܥሺଷ ܲሻ ܥሺସ ሻ ൌ 0,95ସ^ ൌ 0,
zamie e independencia.
3.1 Fiabilidad de un sistema
Se define la fiabilidad de un sistema como la p correctamente. Un sistema ser determinado para garantizar una fiabilidad aceptable.
Ejemplo 5: Considérese una máquina formada por 4 componentes conectados en serie de manera que la máquina funciona sólo si funcionan todos ellos. Si los cuatro componentes operan de forma independiente y la probabilidad de que un com 100 horas es 0,95, calcular la fiabilidad del sistema después de 100 horas.
Se definen los sucesos
ܥ ൌ "componente ݅ funciona",݅ ൌ 1, 2, 3, 4
Aplicando la independe
Se observa que aunque la fiabilidad de cada componente es alta, la de la máquina no lo es tanto al requerir el funcionamiento de todos los componentes. Para resolver esto se pueden dispon varios sistemas en paralelo de manera que el sistema funcione si al menos uno de esos sistemas
Figura 1: Configuración del sistema del ejemplo 6
Si los tres componentes funcionan independientemente y la probabilidad de que uno cualquiera de ellos esté funcionando es 0,95, obtener la probabilidad de que el sistema funcione.
Sea ܣ el suceso que representa que funciona el componente A, análogo para B y C. La
ܲ ሺsistema funcioneሻ ൌܲ ൫ ൫ ܲൌ ൯ܥ ת ሻܤ ܣሺ ሻ൯ܥ ת ܤሺ ሻܥ ת ܣሺ
ܲൌ ܲሻܣሺ ܲ ሻܥሺ ܲሻܤሺ ܲെ ሻܥሺ ܲሻܣሺ ܲሻܤሺ ሺܥሻ ൌ 2 · 0,95 ଶ^ െ 0,95ଷ^ ൌ 0,
También se puede calcular a partir de su complementario:
ܲ ሺsistema funcioneሻ ൌ 1 െ ܲ ሺsistema no funcioneሻ
ܲ ሺsistema no funcioneሻ ൌܲ ൫ ܤ ת ҧܣሺതሻ ܥҧ൯ ൌܲ ܤ ת ҧܣሺതሻ ܲ ሺܥҧሻ െܲ ܤ ת ҧܣሺത ת ܥҧሻ ܲൌ ܲҧሻܣሺ ܤሺതሻ ܲ ሺܥҧሻ െܲ ܲҧሻܣሺ ܤሺܲതሻ ҧሻ ൌ 0,05ଶ^ 0,05 െ 0,05ଶ^ ൌ 0,
y por tanto, la probabilidad de que el sistema funcione es 1 െ 0,05237 ൌ 0,9476, como ya se había calculado.
En la resolución de este ejemplo se ha utilizado que si ܣ, ܤ y ܥ son independientes mutuamente
la Probabilidad total.
os (disjuntos y tales que ڂ ୀଵ ܤ ൌΩ) de modo que ܲ ሺ ܤሻ 0 para todo ݅ ൌ 1, … ,݊. Dado cualquier suceso ܣ,
ୀଵ
er
funciona.
Ejemplo 6: Un sistema contiene 3 componentes A, B y C conectados según se indica en la figura 1.
A
B
C
fiabilidad del sistema es
donde
también lo son sus complementarios ҧܣ, ܤത^ y ҧܥ.
4. Teorema de
El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas.
Sea ܤሺଵ , … , ܤ ሻ un sistema completo suces
abi d d s ܤ ሻܣ|^ de los sucesos no o
Aunque ación de clave e tadística bayesiana , en la que se emplea la interpretación subjetiva de ܲ ܤሺ (^) ଵ ሻ,…, ܲ ܤሺ (^) ሻ
llamadas verosimilitudes.
Se realiza entonces el experimento pero sólo se conoce el resultado de la segunda etapa que resulta ser ܣ. El teorema de Bayes permite calcular las prob li a e ܲ ሺ bservados de la primera etapa, dado el resultado de la segunda.
este teorema parezca una simple aplic la probabilidad condicionada, ha sido n el desarrollo de la inferencia es la probabilidad. En este contexto las probabilidades se conocen con el nombre de probabilidades a priori mientras que las probabilidades ܲ ܤ൫ (^) ൯ܣห se denominan probabilidades a posteriori, ya que se determinan una vez obtenida la evidencia muestral. Esta evidencia permite calcular las probabilidades ܲ ܤหܣ൫ (^) ൯
Ejemplo 8: En el ejemplo anterior, supóngase que se sabe que el chip extraído ha sido grande. Calcular la probabilidad de que proceda de la primera caja.
Hay que calcular la probabilidad ܲ ܤሺ (^) ଵ ሻܣ|. Aplicando el teorema de Bayes,
Ejemplo 9: Una universidad compra sus equipos informáticos a tres proveedores diferentes. Supóngase que el 20% de los equipos fueron comprados al proveedor 1, el 30% al proveedor 2 y el 50% al proveedor 3. Además, se sabe que el 1% de los equipos del proveedor 1 fallan antes
- Se selecciona al azar un computador y se observa que falla antes del primer año. Determinar la probabilidad de que éste haya sido comprado al proveedor 2.
Se consideran los siguientes sucesos:
ଶ ܲ3,^ ܤ|ܣሺଶ ሻ ൌ 0,
Por el teorema de Bayes,
del primer año, el 2% de los del proveedor 2 y el 3% de los del proveedor
ܤ ൌ "el computador fue comprado al proveedor ݅ "
ܣൌ "el computador falló antes del primer año"
Por el enunciado se conocen las siguientes probabilidades
ܲ ሺ ܤሻ ൌ 0,
ܲ ሺ ܤሻ ൌ 0
ܣሺ
