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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y Valle Alma Máter del Magisterio Nacional FACULTAD DE CIENCIAS Escuela Profesional de Matemática e Informática
Lógica proposicional. Enunciado y Proposición Lógica. Conectivos
Lógicos. Las Leyes Lógicas. Tablas de Verdad. Cuantificadores.
Paradojas. Métodos de Demostración Directa e Indirecta. Demostración
por Inducción. El Método Axiomático. Resolución de Problemas de
Razonamiento Lógico.
Portada Examen de Suficiencia Profesional Res. Nº 1815- 2021 - D-FAC Presentada por:
Alex Alain Hinostroza Quispe
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación Especialidad: Matemática e Informática Lima, Perú 2021
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Lógica proposicional. Enunciado y Proposición Lógica. Conectivos
Lógicos. Las Leyes Lógicas. Tablas de Verdad. Cuantificadores.
Paradojas. Métodos de Demostración Directa e Indirecta. Demostración
por Inducción. El Método Axiomático. Resolución de Problemas de
Razonamiento Lógico.
Designación de jurado Res. N.º 1815- 2021 - D-FAC
Dr. Marcelino Paucar Álvarez Presidente
Mg. Aurelio Julián Gámez Torres Secretario
Dr. Carlos Javier Vicente de Tomas Vocal
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iii Dedicatoria A mi madre María, quien fue mi guía durante las etapas más importantes de mi vida. A mi padre Mario, que me enseño y apoyó siempre en todo momento. Ethan, gracias por todo.
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- 3.1 Tautología
- 3.2 Contradicción
- 3.3 Contingencia
- Capítulo IV. Inferencias lógicas
- 4.1 Ley de modus Ponendo Ponens
- 4.2 Ley del modus Tollendo Tollens
- 4.3 Ley del silogismo disyuntivo
- 4.4 Ley del silogismo hipotético
- 4.5 Ley de la transitividad simétrica
- 4.6 Ley de simplificación...............................................................................................
- 4.7 Ley de adición..........................................................................................................
- 4.8 Ley de reducción al absurdo
- Capítulo V. Cuantificadores
- 5.1 Definición
- 5.2 Cuantificador universal∀𝒙
- 5.3 Cuantificador existencial∃𝒙
- 5.4 Negación de cuantificadores
- 5.4.1 Negación de cuantificador Universal.
- 5.4.2. Negación del cuantificador Existencial
- Capítulo VI. Leyes lógicas.................................................................................................
- 6.1 Ley de identidad.......................................................................................................
- 6.2 Ley de no contradicción
- 6.3 Tercio excluido
- 6.4 Doble negación o involución
- 6.5 Leyes de idempotencia.............................................................................................
- 6.6 Leyes conmutativas.................................................................................................. vi
- 6.7 Leyes asociativas
- 6.8 Leyes de absorción...................................................................................................
- 6.9 Leyes distributivas
- 6.10 Leyes de dominación
- 6.11 Leyes del elemento neutro o de Identidad
- 6.12 Leyes de Morgan
- 6.13 Ley de identidades o Inversas
- 6.14 Ley de la Condicional
- Capítulo VII. Paradojas
- 7.1 Definición
- 7.2 Tipos de paradojas
- 7.2.1 Según su veracidad.
- 7.2.1.1 Paradojas verídicas.
- 7.2.1.2 Antonimias.
- 7.2.1.3 Antonimias de definición.
- 7.2.2 Según su campo.
- 7.2.2.1 En el campo matemático.
- 7.2.2.2 En el campo de Física.
- 7.2.2.3 Paradojas Filosóficas.
- 7.2.2.4 Paradojas en economía.
- 7.2.2.5 Paradojas estadísticas.
- inducción............................................................................................................................. Capítulo VIII. Métodos de demostración directa e indirecta. Demostración por
- 8.1 Método de demostración directo.............................................................................. vii
- 8.2 Método de demostración indirecta
- 8.3 Método de contraposición........................................................................................
- 8.4 Demostración por inducción
- Capítulo IX. El Método axiomático
- Capítulo X. Resolución de problemas de razonamiento lógico
- Aplicación didáctica
- Síntesis
- Apreciación crítica y sugerencias
- Referencias
- Apéndices
- Tabla 1. Conectivos lógicos................................................................................................. Lista de tablas
- Tabla 2. Negación
- Tabla 3. Conjunción
- Tabla 4. Disyunción.............................................................................................................
- Tabla 5. Condicional............................................................................................................
- Tabla 6. Bicondicional
- Tabla 7. Disyunción exclusiva.............................................................................................
- Tabla 8. Ley de simplificación
- Tabla 9. Ley de adición
- Tabla 10. Ley de reducción al absurdo
- Tabla 11. Implicaciones notables
- Tabla 12. Leyes lógicas
ix Introducción La lógica ha formado parte de la historia de la humanidad desde su aparición, tratando de entender como funciones el mundo a su alrededor, los fenómenos naturales y eventos de nuestra vida diaria, para poder resolver problemas cotidianos y sacar conclusiones en base al razonamiento. Esta disciplina se ha desarrollado a tal grado, que se ha involucrado en diversas áreas del conocimiento humano, tales como las ciencias naturales, las ciencias sociales como la filosofía y obviamente en la matemática donde una de sus funciones principales radica en la demostración de teoremas matemático y validez de argumentos. Siendo Aristóteles conocido como el padre de la lógica analítica. No fue hasta Leibniz quien dio inicio a unos de los primeros trabajos relacionados a la lógica simbólica, y Boole quien dio las primeras teorías de lógica y probabilidad, pasando por grandes matemáticos como De Morgan, Frege, Turing llegando a lo más alto con Bertrand Russell y su “principia mathematica”, dando grandes aportes al área de lógica proposicional y dejándonos su ya famosa paradoja de Russell. Si bien es un tema de gran importancia, la lógica ha sido relegada durante muchos años de la educación básica, o ha sido tratada solamente de forma superficial, debido al grado de abstracción que requiere para su entendimiento, su desarrollo en niveles superiores de enseñanza se ha tratado de forma más completa y detallada. Durante el presente trabajo se abordará los distintos componentes de la lógica proposicional, sus diversas propiedades, conceptos básicos y leyes lógicas presentes que permiten un mejor entendimiento y facilidad para resolver problemas y ejercicios lógicos, de igual manera formas de demostrar de manera formal diversas propiedades matemáticas haciendo uso de las distintas leyes lógicas presentadas y mediante métodos de demostración diversos.
Dichas afirmaciones son reemplazadas por letras minúsculas tales como: p, q, r, s, t, etc. En casos que se presenten una gran cantidad de enunciados serán representadas mediante subíndices numéricos. 𝑝 1 ; 𝑝 2 ; 𝑝 3 ; 𝑝 4 ; … ; 𝑝𝑛 1.2.1 Tipos de proposiciones. 1.2.1.1 Proposiciones simples o atómicas. “Como su nombre lo indica, son oraciones simples que no contienen un conectivo lógico” (Del callejo et al., 2016). Ejemplos de proposiciones simples son: p: La vida es bella q: El carro es rojo r: Hoy es domingo 1.2.1.2 Proposiciones compuestas o moleculares. “Es la composición de dos o más proposiciones simples unidas por un conectivo lógico”. (Del callejo et al., 2016). Ejemplos de proposiciones moleculares son: Hoy es jueves y tengo trabajos. Mi carro es rojo y es pequeño. O hace frio o hace calor. Si mañana hace calor entonces iremos a la playa.
1.2.2 Valores de verdad de las proposiciones. Para determinar el valor de verdad de una proposición debemos determinar mediante la inspección o desarrollo de dicho enunciado. Si la expresión es verdadera se denota como (V) Si la expresión es falsa se denota como (F) Para determinar el número de valores de verdad de una variable se usa la formula siguiente: 2 𝑛, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 2 por la cantidad de valores que puede tomar (solo V o F) n = cantidad de variables que existen (p, q, r, s, …) Ejemplos: Proposición: Valor de verdad P = La Luna es un satélite de la Saturno Falso (F) Q = 1500 es múltiplo de 50 Verdadero (V) De forma general se puede denotar el valor de una proposición de la siguiente forma: 𝑉𝑝 = 𝑉; cuando es verdadera. 𝑉𝑝 = 𝐹; cuando es falsa.
2.2.1 Negación ( ~ ). Si p es una proposición cualquiera su negación se simboliza con ~𝑝, la cual se lee “no p” (Esper y Romano, 2019). Tabla 2 Negación Proposición 1 Conectivo Lógico 𝒑 ~𝒑 V F F V Ejemplo de la negación serían las proposiciones presentadas: 𝑝:la rosa es roja; ~𝑝:la rosa no es roja 𝑞:12 + 13 = 25; ~𝑞:12 + 13 ≠ 25
2.2.2 Conjunción ( ∧ ).
Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, la conjunción de p y q es la proposición compuesta que se denota simbólicamente 𝑝˄𝑞 y se lee “p y q”, que solo es verdadera si las dos proposiciones son verdaderas (Esper y Romano, 2019). Tabla 3 Conjunción Proposición 1 Proposición 2 Conectivo lógico 𝒑 𝑞 𝑝˄𝑞 V V V V F F F V F F F F Ejemplo de conjunción se presenta a continuación: p: la casa es blanca.
q: la casa es pequeña. p ˄ q: la casa es blanca y pequeña. Dicha proposición p ˄ q será verdadera en caso que la casa sea blanca y al mismo tiempo pequeña. 2.2.3 Disyunción (˅). Dadas las proposiciones cualesquiera p y q, la expresión simbólica 𝑝˅𝑞, denota la disyunción entre p y q, y se lee “p o q” que solo será falsa si las dos proposiciones son falsas (Esper y Romano, 2019). Tabla 4 Disyunción Proposición 1 Proposición 2 Conectivo lógico 𝒑 𝑞 𝑝˅𝑞 V V V V F V F V V F F F La disyunción sería: P: la casa es blanca. q: la casa es pequeña. p ˅ q: la casa es blanca o es pequeña. La proposición p ˅ q será falsa en caso que la casa no sea blanca ni sea pequeña. 2.2.4 Condicional o implicación ( → ). Dadas las proposiciones cualesquiera p, q la implicación o condicional p y q es la proposición 𝑝 → 𝑞, que se lee “Si p entonces q” (Esper y Romano, 2019).
p ↔ q: la casa es blanca si, y solo si, es pequeña 2.2.6 Disyunción exclusiva ( ∆ ). Es aquella donde se cumple solo una condición de las que se presentan, se utiliza el término “O …o…”. Tabla 7 Disyunción exclusiva Proposición 1 Proposición 2 Conectivo lógico 𝒑 𝑞 𝑝∆𝑞 V V F V F V F V V F F F La disyunción exclusiva de los elementos anteriormente mencionados: p:la casa es blanca q: la casa es pequeña p ∆ q: O la casa es blanca o es pequeña Dicha proposición p ∆ q será falsa en caso que la casa sea blanca y pequeña, y cuando no sea blanca y ni pequeña.
Capítulo III Tablas de verdad “Las tablas de verdad son, por una parte, uno de los métodos más sencillos y conocidos de la lógica formal, pero al mismo tiempo uno de los más poderosos y claros. Entender bien las tablas de verdad es, en gran medida, entender bien la lógica formal misma” (Barceló, 2012, p.1). Las tablas de verdad son herramientas que permiten determinar el valor de verdad de una proposición molecular, teniendo como base varias proposiciones atómicas, dando como resultado una tautología, contradicción o una contingencia. Para determinar el valor final de un conjunto de proposiciones, se debe tener en cuenta el conectivo que posea y la jerarquía presente dentro del esquema. Los valores de verdad se pueden representar con “V” o “F” o en otros casos como “1” y “0” respectivamente. 3.1 Tautología Las tautologías vienen a ser proposiciones compuestas cuyos valores siempre son verdaderos en su conclusión final sin importar los valores que posee en su estructura.
