Libro Matematicas, Apuntes de Matemáticas

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ISIDORO SEGOVIA ALEX

PROFESOR TITULAR DE UNIVERSIDAD. DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA DE LA UNIVERSIDAD DE GRANADA

EDICIONES PIRÁMIDE

Matemáticas

para maestros

de Educación

Primaria

Coordinadores

LUIS RICO ROMERO

CATEDRÁTICO DE UNIVERSIDAD. DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA DE LA UNIVERSIDAD DE GRANADA

© Ediciones Pirámide

Relación de autores

Rafael Bracho López

Profesor contratado.

Encarnación Castro Martínez

Catedrático de universidad.

Enrique Castro Martínez

Catedrático de universidad.

Elena Castro-Rodríguez

Becaria de investigación.

María Consuelo Cañadas Santiago

Profesora ayudante doctora de universidad.

Moisés Coriat Benarroch

Profesor titular de universidad.

Ángel Díez Lozano

Profesor titular de escuela universitaria.

Francisco Fernández García

Profesor titular de universidad.

Pablo Flores Martínez

Profesor titular de universidad.

Pedro Gómez Guzmán

Investigador contratado.

María José González López

Profesora titular de universidad.

José Luis Lupiáñez Gómez

Profesor ayudante doctor.

Alexander Maz Machado

Profesor contratado doctor.

Marta Molina González

Profesora ayudante doctora.

Juan Luis Pareja Pérez

Profesor titular de escuela universitaria.

Luis Rico Romero (coord.)

Catedrático de universidad.

Juan Francisco Ruiz Hidalgo

Profesor de Secundaria y profesor sustituto de universidad.

Francisco Ruiz López

Profesor titular de universidad.

Isidoro Segovia Alex (coord.)

Profesor titular de universidad.

Luis Serrano Romero

Profesor titular de universidad.

Manuel Torralbo Rodríguez

Profesor titular de universidad.

© Ediciones Pirámide

© Ediciones Pirámide

© Ediciones Pirámide

• Introducción Índice
  • Díez Lozano) 1. Las matemáticas y el maestro de Primaria (Luis Rico Romero y Ángel
    • 1. Competencias del profesor de matemáticas de Primaria
      • 1.1. Competencias específicas de formación básica
    • 2. Fines de la educación matemática
         • to profesional 2.1. Fines de la educación, enseñanza de las matemáticas y conocimien-
    • 3. Currículo de matemáticas para Educación Primaria
      • 3.1. Objetivos del currículo de matemáticas para Educación Primaria
      • 3.2. Competencias básicas
      • 3.3. Contenidos del currículo de matemáticas para Educación Primaria
        • Primaria 3.4. Métodos pedagógicos del currículo de matemáticas para Educación
      • 3.5. Criterios de evaluación
    • 4. Modelo funcional de enseñanza de las matemáticas
    • 5. Significado de un concepto matemático
      • 5.1. Contenidos y matemáticas escolares
      • 5.2. Análisis de contenido
    • 6. El maestro de Primaria, profesional de la educación matemática.............
  • tínez y Marta Molina González) 2. Números naturales y sistemas de numeración (Encarnación Castro Mar- - escolar 1. Los números naturales y el sistema de numeración decimal en el currículo
    • 2. Correspondencia
      • 2.1. Aplicación biyectiva
      • 2.2. Cardinal
    • 3. Número natural
      • 3.1. Asignación de símbolo y nombre a cantidades de elementos
      • 3.2. Fundamentos del concepto de número natural
      • 3.3. Recta numérica
  • 4. Usos del número
    • 4.1. Contar
    • 4.2. Ordenar
    • 4.3. Cronometrar
    • 4.4. Uso cardinal del número natural
    • 4.5. Simbolizar o etiquetar
  • 5. Sistemas de numeración
    • 5.1. Base de un sistema de numeración
    • 5.2. Principio aditivo de un sistema de numeración
    • 5.3. Principio multiplicativo de un sistema de numeración
    • 5.4. Principio de posición de un sistema de numeración
    • 5.5. Numeración romana
  • 6. Sistema de numeración decimal
    • 6.1. Elementos simples
    • 6.2. Elementos compuestos o números de más de una cifra
    • 6.3. Diferentes órdenes de unidades del sistema decimal de numeración
    • 6.4. Principios del sistema de numeración decimal
    • 6.5. Lectura y expresión verbal de los números
    • 6.6. Referentes para los distintos órdenes de los números
  • 7. Sistemas de numeración de bases diferentes a diez
    • 7.1. Cuantificación de una cantidad de objetos por agrupamiento
  • 8. Materiales para trabajar conceptos numéricos
    • 8.1. Ábacos
    • 8.2. Bloques multibase
    • 8.3. Regletas de Cuisenaire
  • Actividades para practicar..............................................................................
  • Investiga y reflexiona
  • Bibliografía.....................................................................................................
• Cañadas Santiago y Elena Castro Rodríguez) 3. Aritmética de los números naturales. Estructura aditiva (María Consuelo
  • 1. Estructura aditiva en el currículo escolar
  • 2. Significados y representaciones de la adición y de la sustracción
    • 2.1. Significados de la adición
    • 2.2. Significados de la sustracción
    • 2.3. Representaciones
    • 2.4. Qué es sumar
    • 2.5. Qué es restar
  • 3 Propiedades y modelos para la adición y la sustracción
  • 4. Situaciones y problemas aditivos
    • 4.1. Problemas de cambio
    • 4.2. Problemas de combinación
    • 4.3. Problemas aditivos de comparación
    • 4.4. Problemas aditivos de igualación
    • 4.5. Problemas aditivos de más de una etapa
  • 5. Algoritmos de la adición y de la sustracción
    • 5.1. Algoritmos de la adición
    • 5.2. Algoritmos de la sustracción
  • Actividades para practicar..............................................................................
  • Investiga y reflexiona
  • Bibliografía.....................................................................................................
• Castro Martínez y Juan Francisco Ruiz Hidalgo)........................................... 4. Aritmética de los números naturales. Estructura multiplicativa (Enrique
  • 1. La estructura multiplicativa y el currículo escolar
  • 2. La multiplicación como suma repetida
    • 2.1. Modelo funcional
  • 3. La multiplicación como producto cartesiano
    • 3.1. Modelo de matriz y de área de un rectángulo
  • 4. Propiedades de la multiplicación
  • 5. División
    • 5.1. Propiedades de la división
  • 6. Problemas de estructura multiplicativa.....................................................
    • 6.1. Problemas de proporcionalidad simple
    • 6.2. Problemas de comparación multiplicativa
    • 6.3. Problemas de igualación..................................................................
    • 6.4. Problemas de producto cartesiano
    • 6.5. Problemas de producto de medidas
    • 6.6. Problemas de más de una etapa
  • 7. El algoritmo de la multiplicación
    • 7.1. Números de una cifra
    • 7.2. Multiplicador con una cifra
    • 7.3. Multiplicador con dos o más cifras
    • 7.4. Algoritmo de la celosía
  • 8. Algoritmo de la división
  • Actividades para practicar..............................................................................
  • Investiga y reflexiona
  • Bibliografía.....................................................................................................
• Castro Martínez) 5. Introducción a la divisibilidad (Marta Molina González y Encarnación
  • 1. La divisibilidad en el currículo escolar
  • 2. Notación multiplicativa de los números naturales
  • 3. Divisores y múltiplos
    • 3.1. Representaciones de divisores y múltiplos mediante modelos
    • 3.2. Propiedades
  • 4. Números primos y compuestos
    • 4.1. Relaciones entre la divisibilidad y los números primos.....................
  • 5. Obtención de divisores
    • 5.1. Máximo común divisor de dos números
  • 6. Obtención de múltiplos
    • 6.1. Mínimo común múltiplo de dos números
  • Actividades para practicar..............................................................................
  • Investiga y reflexiona
  • Bibliografía..................................................................................................... - Índice / © Ediciones Pirámide
• 6. Cálculo y estimación (Isidoro Segovia Alex y José Luis Lupiáñez Gómez)
  • 1. El cálculo y el currículo escolar
  • 2. Necesidad de calcular
  • 3. Las calculadoras
    • 3.1. La calculadora básica
    • 3.2. La calculadora didáctica
  • 4. Cálculo mental
    • 4.1. Por qué introducir el cálculo mental en la escuela
    • 4.2. Bases para las estrategias de cálculo mental
    • 4.3. Estrategias de cálculo mental............................................................
  • 5. Cálculo estimativo
    • 5.1. Por qué introducir la estimación en la escuela
    • 5.2. Componentes matemáticas relacionadas con la estimación..............
    • 5.3. Procesos y estrategias de estimación
  • Actividades para practicar..............................................................................
  • Investiga y reflexiona
  • Bibliografía.....................................................................................................
• 7. Números enteros (Alexander Maz Machado y Rafael Bracho López)
  • 1. Los números enteros en el currículo escolar
  • 2. Aspectos históricos
  • 3. Situaciones y contextos
  • 4. De la familiarización a la formalización
    • 4.1. Modelos de aproximación al conjunto de los números enteros
  • Actividades para practicar
  • Investiga y reflexiona
  • Bibliografía
• 8. Números racionales (Pablo Flores Martínez y Manuel Torralbo Rodríguez)..
  • 1. Número racional y currículo escolar
  • 2. Partir y medir
  • 3. Significados de los números racionales
    • 3.1. Significados del número racional
    • 3.2. Representaciones del número racional
  • 4. Las fracciones
    • 4.1. Fraccionar, identificar y relacionar
  • 5. Equivalencia de fracciones: números racionales
  • 6. Orden y densidad de los racionales
  • 7. Operaciones con racionales
    • 7.1. Suma y resta de números racionales
    • 7.2. Producto y división de números racionales
  • Actividades para practicar..............................................................................
  • Investiga y reflexiona
  • Bibliografía.....................................................................................................
• 9. Decimales (Juan Francisco Ruiz Hidalgo y Enrique Castro Martínez)
     • 1. Los decimales en el currículo escolar
     • 2. Historia de la notación decimal
     • 3. Ampliando el sistema de numeración
          • 3.1. Fracciones decimales y notación decimal
          • 3.2. La coma y el valor de cada dígito
          • 3.3. Recta numérica y ordenación
     • 4. Operaciones con decimales finitos
          • 4.1. Algoritmos de la adición y la sustracción
          • 4.2. Algoritmo del producto
          • 4.3. Algoritmo de la división
     • 5. ¿Cuántos decimales tiene una fracción?
          • 5.1. De fracción a decimal. La familia de los decimales.....................
          • 5.2. Aproximar
  • Actividades para practicar
  • Investiga y refl exiona.......................................................................................
  • Bibliografía
  • y Francisco Ruiz López) 10. Geometría elemental del plano (María Consuelo Cañadas Santiago
    • 1. El inicio de la geometría
    • 2. La geometría en el currículo
    • 3. Situaciones
    • 4. Elementos básicos de la geometría plana
         • 4.1. Plano
         • 4.2. Punto
         • 4.3. Rectas
         • 4.4. Semirrectas
         • 4.5. Segmento
         • 4.6. Ángulos en el plano
    • 5. Poligonales
         • 5.1. Tipos de poligonales
    • 6. Polígonos simples....................................................................................
         • 6.1. Clasificación de polígonos
         • 6.2. Centro y apotema de un polígono regular...................................
    • 7. Triángulos
         • 7.1. Igualdad de triángulos
         • 7.2. Clasificación de los triángulos
         • 7.3. Construcción de triángulos
         • 7.4. Elementos notables de un triángulo
    • 8. Cuadriláteros
         • 8.1. Clasificación de los cuadriláteros
    • 9. Polígonos no simples
  • 10. Figuras curvilíneas
        • 10.1. Circunferencia y círculo
        • 10.2. Posiciones relativas entre figuras curvilíneas y rectas
  • Actividades para practicar
  • Investiga y refl exiona.......................................................................................
  • Bibliografía - Índice / © Ediciones Pirámide
• 11. Geometría del espacio (Moisés Coriat Benarroch)
  • 1. Reconocimiento de objetos. Objetos geométricos.
  • 2. Sobre la historia de la geometría
  • 3. Consideraciones curriculares
  • 4. Del espacio al plano..................................................................................
    • 4.1. Ideas sobre las proyecciones
    • 4.2. Ideas sobre los desarrollos
  • 5. Ángulos en el espacio................................................................................
    • 5.1. Ángulo sólido
    • 5.2. Ángulo diedro
    • 5.3. Partes convexas y cóncavas del espacio
    • 5.4. Ángulo triedro (o triedro), ángulo tetraedro y ángulo poliedro
  • 6. Poliedros
    • 6.1. Idea de poliedro
    • 6.2. Caracterización de poliedros
    • 6.3. Clasificación de poliedros elementales
  • 7. Estudio del cubo
  • 8. Cuerpos redondos
  • 9. Materiales para la geometría del espacio
  • Actividades para practicar
  • Investiga y refl exiona.......................................................................................
  • Francisco Ruiz Hidalgo)................................................................................ 12. Movimientos geométricos en el plano (Francisco Ruiz López y Juan
  • 1. Las isometrías en el currículo escolar
  • 2. Aspectos históricos
  • 3. Usos y contextos
  • 4. Qué es la simetría......................................................................................
  • 5. Transformaciones geométricas
    • 5.1. Traslación
    • 5.2. Simetría axial
    • 5.3. Giro o rotación en el plano
    • 5.4. Simetría central
  • 6. Composición de isometrías
    • 6.1. Simetría en deslizamiento
    • 6.2. Composición de dos reflexiones de ejes paralelos
    • 6.3. Composición de dos reflexiones de ejes que se cortan
  • 7. Rosetones, frisos y mosaicos
    • 7.1. Rosetones
    • 7.2. Frisos
    • 7.3. Mosaicos o teselados planos
    • 7.4. Materiales para la enseñanza y aprendizaje de las isometrías planas
  • Actividades para practicar
  • Investiga y refl exiona.......................................................................................
  • Bibliografía
• 13. Sentido espacial (José Luis Lupiáñez Gómez y Pablo Flores Martínez)
  • 1. Sentido espacial en el currículo escolar
  • 2. Orientación
  • 2.1. Determinación y descripción de posiciones
  • 2.2. Coordenadas cartesianas
  • 2.3. Sistemas de localización terrestre
  • 2.4. Lectura e interpretación de mapas y planos
  • 2.5. Grafos: redes de puntos y trazos
• 3. Visualización geométrica
  • 3.1. Identificación visual
  • 3.2. Conservación de la percepción
  • 3.3. Percepción de relaciones espaciales
  • 3.4. Discriminación visual
• Actividades para practicar
• Investiga y refl exiona.......................................................................................
• Bibliografía
• y Pedro Gómez Guzmán) 14. Magnitudes y medida. Medidas directas (María José González López
• 1. Magnitudes y medida en el currículo escolar
• 2. Contextos e historia de las magnitudes y su medida
• 3. Magnitud. Tipos de magnitudes
• 4. Estructura conceptual de la noción de magnitud
• 5. Cantidad de magnitud
• 6. Medir. Medida de magnitudes
• 7. Unidad de medida
     • didas 7.1. El Sistema Métrico Decimal y el Sistema Internacional de Me-
• 8. Medición directa. Procedimientos de medida
  • 8.1. Procedimientos de medida de longitud
  • 8.2. Procedimientos de medida de superficie
  • 8.3. Procedimientos de medida de capacidad/volumen
• 9. Estimación
• Actividades para practicar
• Investiga y refl exiona.......................................................................................
• Bibliografía y referencias
• Fernández García e Isidoro Segovia Alex) 15. Proporcionalidad entre magnitudes. Medidas indirectas (Francisco
• 1. La proporcionalidad y el currículo escolar
• 2. Importancia social y cultural de la proporcionalidad
• 3. Algunas consideraciones históricas
• 4. Proporcionalidad entre magnitudes
  • 4.1. Relaciones entre magnitudes
  • 4.2. Razón y tasa
    • nales................................................................................................. 4.3. Proporcionalidad directa: magnitudes directamente proporcio-
  • 4.4. Proporcionalidad inversa
• 5. Medida indirecta mediante proporcionalidad
  • 5.1. Medida de longitudes a través de otras longitudes
  • 5.2. Relación entre las magnitudes amplitud y longitud - Índice / © Ediciones Pirámide
    • 5.3. Medidas indirectas de otras magnitudes
    • 5.4. Instrumentos de medida indirecta
  • 6. Proporcionalidad aritmética
    • 6.1. Regla de tres
    • 6.2. Porcentaje. Tanto por ciento
    • 6.3. Repartos proporcionales..................................................................
  • Actividades para practicar
  • Investiga y refl exiona.......................................................................................
  • Bibliografía
• 16. Estadística (Luis Serrano Romero)
  • 1 Necesidad de la estadística. Evolución histórica
  • 2. La estadística en el currículo escolar.........................................................
  • 3. Conceptos básicos.....................................................................................
    • 3.1. Población, muestra, variable
    • 3.2. Tipos de variables
    • 3.3. Frecuencias. Tipos de frecuencias
  • 4. Medidas de una distribución estadística
    • 4.1. Medidas de centralización
    • 4.2. Medidas de posición
    • 4.3. Medidas de dispersión
  • 5. Gráficos estadísticos
    • 5.1. Gráficos de variables cualitativas
    • 5.2. Gráficos de variables cuantitativas
    • 5.3. Gráficos temporales
  • 6. Interpretación de datos estadísticos
    • 6.1. Significado gráfico de la desviación típica.......................................
    • 6.2. Normalidad de una distribución estadística
    • 6.3. Regla empírica de la distribución normal
  • Actividades para practicar
  • Investiga y refl exiona.......................................................................................
  • Bibliografía
• 17. Probabilidad (Juan Luis Pareja Pérez)
  • 1. El cálculo de probabilidades como teoría matemática
    • 1.1. Orígenes. Siglo XVII
    • 1.2. Consolidación. Siglos XVIII y XIX
    • 1.3. Consagración
  • 2. La probabilidad en el currículo de Primaria
  • 3. El lenguaje del cálculo de probabilidades..................................................
    • 3.1. Experimento aleatorio. Experimentos simples y compuestos
    • 3.2. Resultados posibles. Espacio muestral
    • 3.3. Sucesos
  • 4. Probabilidad
    • 4.1. Axiomática de la probabilidad
  • 5. Asignación de probabilidades
    • 5.1. Experimentos simples
    • 5.2. Experimentos compuestos
• 6. Diagramas de árbol
• 7. Dependencia e independencia de sucesos
  • 7.1. Probabilidad condicionada
  • 7.2. Sucesos dependientes e independientes
  • 7.3. La probabilidad de las causas. Regla de Bayes
• Actividades para practicar
• Investiga y refl exiona.......................................................................................
• Bibliografía - Índice / © Ediciones Pirámide

© Ediciones Pirámide

Introducción

Este libro, dirigido a maestros en forma-

ción, viene impulsado por los cambios que se

han producido recientemente en las enseñanzas

universitarias. Desde el curso 2010-2011, las

universidades españolas han adecuado sus ti-

tulaciones al marco establecido por el Espa-

cio Europeo de Educación Superior (EEES).

A partir de esa fecha los títulos universitarios

se transforman en grados, sustituyendo a las

anteriores licenciaturas y diplomaturas. El

EEES, que parte de la Declaración de Bolonia,

firmada por 29 países europeos, entre ellos

España, tiene como objetivo estructural la

adopción de un sistema de titulaciones flexible,

fácilmente comprensible y comparable, el esta-

blecimiento del sistema de créditos común: Sis-

tema Europeo de Transferencia de Créditos,

ECTS (European Credit Transfer System) y la

promoción de referencias comunes europeas

para la Educación Superior, con particular én-

fasis en la cooperación curricular y el fomento

de la empleabilidad.

Además de un cambio estructural, la nueva

organización de las enseñanzas universitarias

supone, principalmente, un cambio en sus pro-

cesos de enseñanza y aprendizaje. La incorpo-

ración del crédito ECTS centra la docencia en

el trabajo del estudiante e implica un cambio

en su actitud y motivación, ya que deja de ser

mero receptor de conocimientos (docencia ba-

sada en la enseñanza) para asumir una actitud

activa y autónoma (docencia basada en el

aprendizaje), con un sistema de formación ba-

sado en competencias. Del mismo modo, tam-

bién cambia la función del profesorado dentro

de este nuevo marco educativo. La labor fun-

damental del profesor universitario consistirá

en enseñar a aprender, no se limitará a trans-

mitir conocimientos. El profesor fomentará en

el estudiante universitario la adquisición de

nuevos conocimientos, capacidades y destrezas

que le permitan responder adecuadamente a las

demandas de su futuro desempeño profesional

y progresar humana y académicamente. La idea

de competencia, que ha irrumpido reciente-

mente en todos los niveles de enseñanza, res-

ponde a estas demandas y recoge estas aprecia-

ciones.

Con el Grado de Maestro en Educación Pri-

maria se produce un cambio importante en la

consideración de la formación del maestro ge-

neralista. Dentro de los conocimientos pro-

fesionales requeridos para ser maestro de Pri-

maria, se fortalecen los relativos a las áreas

curriculares de la Educación Primaria, entre las

que destaca la matemática escolar, sobre la cual

trata este libro. Este planteamiento responde a

la nueva filosofía de enseñanza.

Un maestro de Educación Primaria debe

conocer, entender y utilizar aquellas nociones

matemáticas que ha de enseñar y transmitir a

sus futuros alumnos de Primaria, con el nivel

de reflexión y la amplitud de análisis requeridos

para desenvolverse con soltura en una clase de

Primaria. Este requerimiento va más allá de un

mero conocimiento conceptual y procedimental

de las matemáticas. Significa, en primer lugar,

saber qué matemáticas han de aprender los

alumnos de Educación Primaria; supone cono-

cer qué motiva el surgimiento de conceptos y

procedimientos matemáticos en un determina-

do momento de la historia, y a qué problemas

responde. También requiere conocer cuáles son

sus significados, qué sistemas de representación

se emplean para su manejo, cuáles son los fe-

nómenos de los que surgen y con los que están

relacionados y en qué contextos y situaciones

se aplican. Un futuro maestro de matemáticas

debe entender, igualmente, cuál es la justifica-

ción de sus reglas y procedimientos, cuáles son

los modos de razonamiento y argumentación

básicos en estos niveles, cuáles son los proble-

mas que resuelven y cuáles son las estrategias

básicas para su resolución.

Este libro aborda estas cuestiones en cada

uno de los contenidos de matemáticas que se

trabajan en Educación Primaria, es decir, nú-

meros naturales, enteros y racionales, geome-

tría del plano y del espacio, magnitudes y su

medida, estadística y probabilidad.

El libro está estructurado en diecisiete capí-

tulos: un tema general de introducción sobre

qué son y qué significan las matemáticas esco-

lares y cuál debe ser la formación de un maes-

tro, ocho temas de aritmética, cuatro de geome-

tría, dos temas de medida, uno de estadística y

otro de probabilidad. En cada tema se incluyen

y desarrollan los conceptos y procedimientos

asociados, los diferentes sistemas de represen-

tación y técnicas de modelización, las situacio-

nes y contextos de donde surgen y se aplican los

conceptos y procedimientos, los materiales y

recursos usuales y algunas referencias de carác-

ter histórico. Todos los temas incluyen un lista-

do de actividades y problemas donde el alumno

puede ejercitarse. Estos contenidos constituyen

un primer nivel de formación del maestro de

Educación Primaria, imprescindibles para una

posterior formación didáctica complementaria

relativa a los mismos contenidos.

La estructura de cada uno de los capítulos

es similar. A medida que se avanza en el tema

se proponen al estudiante actividades que le

muestren el alcance de los conocimientos que

ha adquirido. También, en ocasiones, se pide

ampliar determinada información y se propor-

cionan sugerencias sobre dónde localizarla.

Cada tema, además, añade una breve bibliogra-

fía específica para una mayor profundización.

Al finalizar cada capítulo se presenta un listado

de actividades complementarias para discutir y

debatir en clase, que además permiten al alum-

no autoevaluarse. Finalmente, se introduce un

conjunto amplio de actividades de investiga-

ción y reflexión.

En la línea de las nuevas orientaciones para

la enseñanza universitaria, el libro persigue pro-

porcionar autonomía al estudiante para maes-

tro de Primaria. Además, se propone implicar-

le más en el desarrollo de las clases mediante

una lectura previa del tema. Al formador le va

a permitir, igualmente, organizar su enseñanza

sin estar subordinado a la clase magistral, cen-

trado en la resolución de dificultades y en la

animación y coordinación de la discusión y el

debate.

Muchos de los autores de los diferentes ca-

pítulos tienen una considerable experiencia do-

cente e investigadora relativa a las matemáticas

escolares y a su enseñanza en las carreras de

maestro. Esta experiencia, que en muchos casos

acumula varios sexenios, se ve complementada

con la aportación y la visión de un profesorado

joven, el cual aporta una perspectiva clara y

20 / Introducción

© Ediciones Pirámide