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Matemática escolar desde un punto de vista
superior, I: conjuntos y números
Alberto Barcia Domínguez
Paolo Caressa
Carlo Giovanni Madonna
c
Servicio de Publicaciones de la Universidad Autónoma de Madrid, 2010
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Asignatura: matemáticas, Profesor: , Carrera: Educación Primaria, Universidad: UAM
Tipo: Apuntes
2012/2013
1 / 115
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Matemática escolar desde un punto de vista
superior, I: conjuntos y números
Alberto Barcia Domínguez
Paolo Caressa
Carlo Giovanni Madonna
© cServicio de Publicaciones de la Universidad Autónoma de Madrid, 2010
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IV
4. Soluciones y respuestas 91 4.1. Soluciones de los ejercicios del Cap.1................ 91 4.2. Soluciones de los ejercicios del Cap.2................ 97 4.3. Soluciones de los ejercicios del Cap.3................ 102
Bibliografía 105
Índice alfabético 108
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Introducción
Hace más de cien años, al principio del siglo XX, exactamente en el año 1908, se publicaba en Alemania el libro [10] Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética. Álgebra. Análisis del matemático Felix Klein (1849–1925). El Profesor Felix Klein, investigador mundialmente conocido, fue también un matemático preocupado por la enseñanza de la matemática no universita- ria. El objetivo principal de su obra era restablecer un enlace natural entre la enseñanza de la matemática no universitaria y los resultados de la investiga- ción matemática. El libro, reconocido cómo obra magistral en todo el mundo, da un estu- pendo ejemplo de un investigador de reconocido prestigio, que escribe una obra específicamente dirigida a los profesores de enseñanza de matemática no universitaria. El libro Matemática escolar desde un punto de vista superior, I : conjuntos y números tiene un origen en algún sentido muy parecida, aunque es una obra mucho más sencilla y modesta respecto al célebre libro de Klein. Los puntos de partida principales de los autores de este libro han sido dos: por un lado, el nacimiento en estas últimas décadas de muchas aplicaciones de la matemática, a la ciencia social como a la ciencia médica, o económica, biológica ... y por otro lado, las reformas de los currículos de la enseñanza obligatoria. Gracias a las propias experiencias como docentes de asignaturas de Mate- mática en distintas carreras y en distintas universidades, los autores de este libro han podido constatar como la distancia entre la matemática básica uni- versitaria y la matemática no universitaria ha ido creciendo en los años, hasta el punto que, para medir esta distancia, se tendría que medir la distancia res-
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múltiplo entre dos o más números. El tercer capítulo introduce las nociones de números enteros, racionales y decimales, completando así el el material más básico del currículo de ma- temática de la escuela primaria, lo que se suele llamar en la escuela como aritmética.
Todos los capítulos incluyen una sección de notas históricas, una sección de ejercicios, y también lo que llamamos con el término Actividad , y que entendemos como pequeñas generalizaciones de enunciados ya demostrados, o bien ejercicios que requieren la aplicación de distintas técnicas resolutivas. El cuarto, y último capítulo, contiene las soluciones o, en algunos casos, las respuestas a la gran mayoría de los ejercicios propuestos a lo largo del libro.
Al final del libro tenemos una bibliografía, donde incluimos también unos comentarios creyendo que estas referencias pueden representar unas lecturas útiles para el lector que quiere profundizar o ampliar sus conocimientos sobre los temas aquí introducidos. En otra palabras no es tanto una bibliografía en sentido estricto cuanto más unas lecturas aconsejadas por los autores sobre los temas aquí introducidos.
Alberto Barcia Domínguez Paolo Caressa Carlo Giovanni Madonna
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6 CAPÍTULO 1. EL LENGUAJE DE LA MATEMÁTICA
tir de algo, o sea de proposiciones que son tan elementales de ser consideradas verdaderas al parecer, y estas se llaman axiomas o postulados. Un ejemplo son los famosos postulados de Euclides para la geometría. Si las reglas deductivas preservan la verdad, o sea si de unas proposiciones verdaderas sólo se puede deducir una proposición verdadera, desde unos pocos axiomas se puede edi- ficar una teoría vasta y profunda, como la geometría euclidiana, por ejemplo. De esta manera, la matemática, que tuvo su origen en el desarrollo del cálculo y de la teoría de la medida, por razones prácticas, se desarrolló a una actividad más filosófica: los matemáticos helenistas buscaban teoremas, mientras el contar y el medir eran actividades para burócratas, mercaderes, etc. En realidad, una teoría matemática se puede fundar simplemente dando un listado de unos axiomas desde los cuales deducir teoremas: para que todo esto tenga sentido, los axiomas tienen que ser no contradictorios , o sea no tiene que ser posible deducir desde los axiomas tanto una proposición como su negación. ¿Qué significa todo esto? Para contestar a esta pregunta tenemos que hacer una breve digresión lógica.
Solo hablaremos de proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas: por ejemplo la sinfonía n. ◦ 9 de Beethoven es maravillosa puede ser verda- dera para unos y no para otros, y esto no depende de ningún hecho objetivo. La proposiciones que consideraremos aquí sólo pueden tener valor verdadero (que por brevedad denotamos por V) o falso (que por brevedad denotamos por F). Estas proposiciones se pueden combinar para producir otras proposicio- nes, compuestas, por medio de los conectivos lógicos , siendo los más impor- tantes: negación, conjunción y disyunción. Para definir el efecto de un co- nectivo sobre las proposiciones que conecten, sólo es necesario decir como cambian los valores de verdad. Por ejemplo, desde la proposición P se puede considerar su negación no P , que los lógicos denotan como ¬ P , y que es determinada por la regla ilustrada en la siguiente tabla de verdad
P ¬ P
V F
F V
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1.1. LA ESTRUCTURA LÓGICA DE LA MATEMÁTICA 7
(o sea, cuando P es verdadera ¬ P es falsa, y cuando P es falsa, ¬ P es verda- dera.) De manera análoga se pueden definir la conjunción P ∧ Q y la disyunción P ∨ Q de dos proposiciones P y Q :
P Q P ∧ Q P ∨ Q V V V V F V F V V F F V F F F F
(o sea: P ∧ Q es verdadera sólo si P y Q son verdaderas, mientras P ∨ Q es siempre verdadera a menos que tanto P como Q sean falsas). Los conectivos obedecen a ciertas reglas, que se estudian en la teoría matemática llamada ál- gebra de Boole : aquí notamos las siguientes relaciones dichas de De Morgan, desde el nombre del matemático inglés Augustus De Morgan (1806-71), que se verifican inmediatamente mirando a las respectivas tablas de verdad.
¬( P ∧ Q ) es lo mismo que (¬ P ) ∨ (¬ Q ) (1.1.1) ¬( P ∨ Q ) es lo mismo que (¬ P ) ∧ (¬ Q ) (1.1.2)
Por ejemplo la primera equivalencia lógica es verificada porque las dos últi- mas columnas de la siguiente tabla son iguales:
P Q ¬ P ¬ Q P ∧ Q ¬( P ∧ Q ) (¬ P ) ∨ (¬ Q ) V V F F V F F F V V F F V V V F F V F V V F F V V F V V Por medio de estos conectivos se puede definir el importantísimo concep- to de implicación , que en matemática tiene un sentido diferente del sentido común: en realidad cuando afirmamos que de P se sigue Q queremos resal- tar algo de causal, como en si cae el agua está lloviendo. En matemática no existen relaciones causales entre las proposiciones, sólo existen relaciones ló- gicas, y la implicación se define como
P ⇒ Q es lo mismo que ¬ P ∨ Q
La tabla de verdad para este conectivo es:
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1.2. ¿QUE ES UNA TEORÍA MATEMÁTICA? 9
1.2. ¿Que es una teoría matemática?
Ahora que hemos introducidos unos conceptos lógicos podemos volver a hablar de teorías matemáticas: hemos dicho que se trata de colecciones de teoremas deducidos a partir de unos axiomas. Vemos más en detalles que quiere decir todo eso.
Un teorema es una proposición P ⇒ Q , donde P es la hipótesis , y Q la te- sis : todas las proposiciones que se consideran en una teoría matemática (sean axiomas o teoremas) son de esta forma. Los teoremas se aplican por medio de una regla de deducción, que los estudiosos medievales llamaban modus ponens y que afirma lo siguiente: si P y P ⇒ Q son verdaderas, también Q es verdadera. En realidad, si P ⇒ Q es verdadera, la tabla de verdad para la implicación nos dice que si también P es verdadera entonces Q no puede ser falsa. Esta manera de aplicar un teorema se llama deducción o inferencia.
Por ejemplo, el teorema de Pitágoras afirma que si h es la longitud del hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos de longitudes a, b entonces h^2 = a^2 + b^2 : en este caso P es la proposición “ h es la longitud del hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos de longitudes a , b ”, y Q es la proposición h^2 = a^2 + b^2 ; si tenemos un triángulo rectángulo, por ejemplo de hipotenusa 5 y catetos 3, 4, el modus ponens nos asegura que 5^2 = 32 + 42. Esta es una aplicación del teorema de Pitágoras.
Una demostración de un teorema es una cadena de deducciones que, utili- zando axiomas o teoremas ya demostrados, llega a comprobar que la tesis del teorema es deducible desde la hipótesis. Por lo tanto, si todas las deducciones son correctas, todos los teoremas son proposiciones verdaderas si lo son los axiomas. Un clásico ejemplo de demostración es la demostración por reducción al absurdo : si queremos demostrar que P ⇒ Q , la regla dice que se puede asumir que Q sea falsa, y luego deducir que también P es falsa. Si esto es posible, la proposición P ⇒ Q resulta verdadera. En realidad esta técnica de demostración se basa sobre la regla lógica (1.1.3). Todavía es importante destacar que una demostración matemática no es un simple listado de proposiciones sino la realización lógica de una idea: los matemáticos no piensan en términos de fórmulas lógicas sino de conceptos e ideas. Solamente después de haber encontrado una demostración esta viene
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10 CAPÍTULO 1. EL LENGUAJE DE LA MATEMÁTICA
formalizada lógicamente. Hasta ahora hemos hablado de proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas: todavía en matemática es frecuente encontrar proposiciones cuya verdad o falsedad depende de uno o más parámetros. Por ejemplo la proposición x + 1 = 0 puede ser verdadera o falsa depen- diendo del valor de x , que tiene que ser un número: es evidente que la propo- sición es verdadera sólo si x = −1 y es falsa en todos los otros casos. Una proposición que depende de un argumento x se denota como P ( x ), una que depende de dos argumentos x e y se denota como P ( x , y ) y así sucesi- vamente: el valor de verdad de tales proposiciones es función del valor de sus argumentos. Estas son las típicas proposiciones que aparecen en los teoremas matemáticos. Hemos ya visto un ejemplo: la hipótesis del teorema de Pitágoras es una proposición P ( a , b , h ) que afirma h es la longitud del hipotenusa de un trián- gulo rectángulo de catetos de longitudes a, b , mientras la tesis es una propo- sición Q ( a , b , h ): h^2 = a^2 + b^2. Así que P ( 3 , 4 , 5 ) es verdadera y por lo tanto también Q ( 3 , 4 , 5 ) es verdadera, mientras, por ejemplo, P ( 1 , 2 , 3 ) es falsa, y luego nada se puede decir sobre Q ( 1 , 2 , 3 ).
Volvemos a hablar de teorías matemáticas: ya hemos dicho que una teo- ría es una colección de teoremas, que se pueden demostrar a partir de unos axiomas. Los axiomas son proposiciones, y es esencial que estos no estén en contradicción entre si. Para ser más precisos, si P y Q son axiomas de la teoría, no tiene que ser posible deducir de P una proposición R y de Q la proposición ¬ R. En realidad, si esto es posible, las proposiciones P ⇒ R y Q ⇒ ¬ R son ambas verdaderas, así que, siendo P y Q axiomas, por modus ponens tenemos que R y ¬ R son verdaderas, y entonces R ∧ ¬ R también sería verdadera: pero, esta última proposición es siempre falsa, como se ve escribiendo la tabla de verdad:
R ¬ R R ∧ ¬ R V F F F V F
Por lo tanto, esta contradicción invalida la teoría. Entonces, es natural preguntarse: ¿cómo se puede asegurar que los axio- mas no sean contradictorios? Una manera es presentar un modelo para la teo-
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12 CAPÍTULO 1. EL LENGUAJE DE LA MATEMÁTICA
b
b
b
1
2
3 b 5
X
Figura 1.1: Diagrama de Euler–Venn
de N denota el conjunto de todos los números enteros no negativos, también conocidos como números naturales. En realidad denotamos (intuitivamente porque no se trata de una definición formal) con
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,.. .}
el conjunto de los números naturales, donde los... después del número 5 denotan todos los números siguientes, es decir los números 6, 7 , 8 , ..., es decir todos los números que se pueden obtener añadiendo siempre una unidad más al anterior. El conjunto de los números naturales distintos de cero se denota como N ∗^ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,.. .},
el de los números enteros como
Z = {... , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .},
y el conjunto de los números naturales pares como
2 N = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 ,.. .}.
Algunos autores no incluyen el número cero en el conjunto de los números naturales. A nosotros parece tan natural incluir también el cero que hemos decidido de definir como N ∗^ el conjunto de los números naturales positivos.
El conjunto más importante del mundo es el conjunto vacío. Es el conjunto que no tiene elementos, se denota con el signo ∅, y es único. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales que al mismo tiempo son pares e impares es el conjunto vacío. Si x es un número natural par ,
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1.3. CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS 13
entonces x = 2 k por algún k ∈ N. Si y es un número natural impar entonces y = 2 m + 1 por algún m ∈ N. Si z es par y también impar tenemos que z = 2 k por algún k ∈ N y al mismo tiempo z = 2 m + 1 por algún m ∈ N , entonces
2 k = 2 m + 1
es decir 2 k − 2 m = 2 ( k − m ) = 1 y por lo tanto 1 sería un número par que es absurdo (tendría que ser k − m = 12 ∈ N ). Deducimos así que no existen núme- ros naturales pares e impares, es decir, el conjunto de los números naturales pares e impares es el conjunto ∅.
Vamos ahora a introducir nuevas maneras de formar proposiciones a partir de una proposición P ( x ) que depende de un argumento x , por medio de cuan- tificadores , que se usan frecuentemente en matemática. Los más utilizados son los siguientes: el cuantificador existencial y el cuantificador universal. El primero se denota con el signo ∃ y se lee “existe” y el segundo se denota con el signo ∀ y se lee “para cada” o “para todo”, y sirven para afirmar si una proposición P ( x ) es verdadera por unos o todos los elementos x de un cierto conjunto Y : si Y es un conjunto, escribiendo
∃ x ∈ Y : P ( x )
(léase: existe por lo menos un elemento x de Y tal que P ( x ) es verdadera ) estamos afirmando que la proposición P ( x ) es verificada por lo menos por un elemento de Y , mientras escribiendo
∀ x ∈ Y : P ( x )
(léase: para todos los elementos x de Y hay que P ( x ) es verdadera ) estamos afirmando que la proposición P ( x ) es verificada por todos los elementos de Y. Por ejemplo, para decir que 4 es un número par se puede escribir ∃ x ∈ N : 4 = 2 x (en este caso el x del que se trata la existencia es x = 2 y P ( x ) es 4 = 2 x ). Para decir que cualquiera que sea el número natural x entonces 2 x es un número par se escribe ∀ x ∈ N : 2 x ∈ 2 N (en este caso P ( x ) sería 2 x ∈ 2 N ).
Más en general, si X = { x 1 , ..., xn }, son ciertas las siguientes equivalen- cias:
∀ x ∈ X : P ( x ) es lo mismo que P ( x 1 ) ∧ P ( x 2 ) ∧ · · · ∧ P ( xn ) (1.3.1) ∃ x ∈ X : P ( x ) es lo mismo que P ( x 1 ) ∨ P ( x 2 ) ∨ · · · ∨ P ( xn ) (1.3.2)
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1.3. CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS 15
Y
X
b
y
Figura 1.3: Conjunto que no es un subconjunto de otro conjunto
Se suele representar gráficamente que un conjunto Y no es un subconjunto del conjunto X , Y 6 ⊂ X , si y ∈ Y e y 6 ∈ X como en la Figura 1.3. En la figura, en el caso del ejemplo de arriba, sería y = 0. Si X es un con- junto el conjunto vacío ∅ siempre es un subconjunto de X : ∅ ⊆ X. Esta claro, si no es así entonces existe un elemento de ∅ que no pertenece a X y esto no puede ser como ∅ no tiene elementos. También siempre es cierto que X ⊆ X , es decir cada conjunto es un subconjunto de si mismo. Entonces cualquiera que sea el conjunto X 6 = ∅ siempre existen por lo menos dos subconjuntos de X. Si X = ∅, X tiene sólo un subconjunto, el mismo.
Definición 1.2. Denotamos con P ( X ) el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto X.
Por ejemplo, si X = { 1 , 2 , 3 } tenemos que
P ( X ) = {∅, X , { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1 , 2 }, { 1 , 3 }, { 2 , 3 }}
Hemos visto arriba cuando un conjunto es un subconjunto de otro conjunto y cuando no lo es. Vamos a ver ahora cuando dos conjunto son iguales. Si X e Y son dos conjuntos y Y ⊆ X , X ⊆ Y entonces X = Y. Es decir si todos los elementos del conjunto Y son también elementos del conjunto X y todos los elementos del conjunto X son también elementos del conjunto Y , entonces los dos conjunto X e Y son iguales : X = Y. Es decir, X = Y si y sólo si z ∈ X ⇔ z ∈ Y. Por ejemplo el conjunto { 2 , 4 , 6 , 8 } y el conjunto { k ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } : 2 k }, que se puede denotar también como { 2 k : k = 1 , 2 , 3 , 4 }, son iguales. Es cierto que cada elemento del primero es un número del tipo 2 k donde k = 1 , 2 , 3 o
- Por otro lado si x = 2 k y k = 1 , 2 , 3 o 4, entonces x es igual a 2, 4 , 6, u 8, es decir es un elemento del primero.
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16 CAPÍTULO 1. EL LENGUAJE DE LA MATEMÁTICA
Y
X
X \ Y Figura 1.4: Diferencia de dos conjuntos
Definición 1.3. Se llama diferencia de dos conjuntos X e Y el conjunto X
Y = { x ∈ X : x ∈/ Y }.
Gráficamente se suele representar la diferencia de dos conjuntos como en la Fig.1.
Y
X
Figura 1.5: Únion de dos conjuntos
Por ejemplo, si X = { 1 , 2 , 3 , 4 } e Y = { 3 , 4 , 5 } entonces X \ Y = { 1 , 2 }. Si Y ⊆ X , el conjunto diferencia X \ Y se llama conjunto complementario de Y respecto a X. En este caso el conjunto X \ Y se denota con el signo YX c (o simplemente Y c^ si es claro cual es X ).
Definición 1.4. Se llama unión de los conjuntos X e Y al conjunto X ∪ Y formado por todos los elementos que pertenecen a X o a Y , X ∪ Y = { z : z ∈ X ∨ z ∈ Y }.
Gráficamente se suele representar la unión de dos conjuntos como en la Fig.1.5. Por ejemplo si X = { 1 , 2 , 3 , 4 } e Y = { 3 , 4 , 5 } entonces X ∪ Y = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }. Otro ejemplo: si X = { x 1 , x 2 } entonces tenemos X = { x 1 } ∪ { x 2 }.
Definición 1.5. Se llama intersección de dos conjuntos X e Y al conjunto X ∩ Y formado por todos los elementos que pertenecen a X y también a Y , X ∩ Y = { z : z ∈ X ∧ z ∈ Y } = { x ∈ X : x ∈ Y } = { y ∈ Y : y ∈ X }.