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UNIDAD 1.- LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
1.0.- INTRODUCCIÓN. CONCEPTOS BÁSICOS DE FUNCIONES
1.0.1.- Función Real de Variable Real
Una función real de variable real es una relación que se establece entre un subconjunto de los números reales ( (^) ‘), llamado dominio (D), y los números reales tal que a cada elemento de D le asocia un único número real.
Esto se escribe:
f : D _ ‘ d ‘ x d y = f(x)
Intuitivamente, una función es una relación matemática que actúa de modo que si nosotros le damos un número, ella nos devuelve otro (generalmente realizándole algún tipo de operación al que nosotros le hemos dado).
Así, se llama dominio de la función al conjunto de números que tienen imagen por la función, o sea, aquellos números a los que la función le puede realizar la operación indicada.
Por otro lado, el conjunto de valores que toma la función se llama recorrido.
También hay que destacar que a cada valor de (^) x c D, la función le asigna un único valor f(x). Las gráficas en las que esto no ocurre, diremos que no son funciones.
Por ejemplo:
Fundamentalmente hay tres formas en que se puede presentar una función:
Expresión analítica : nos indica las operaciones que realiza la función con cada
número que le demos. Por ejemplo: f(x)^ =.
x− 3 x2+ 1
Representación gráfica : es la representación del conjunto de todos los puntos
de la forma (x, f(x))sobre unos ejes coordenados.
Tabla de valores : presenta en una tabla algunos de los elementos del dominio con sus correspondientes imágenes.
De las tres, la que más información ofrece es la expresión analítica porque con los conocimientos matemáticos adecuados nos permite obtener todo tipo de información sobre ella. La representación gráfica también nos proporciona mucha información si bien limitada porque, en muy pocos casos, podremos representar la función en su totalidad. Por último, la más limitada es la tabla de valores ya que no permite obtener más información de la que ofrece explícitamente, que no suele ser demasiada.
1.0.2.- Cálculo del dominio de una función
Para estudiar el dominio de una función tendremos que atender a los posibles problemas con que nos podemos encontrar a la hora de realizar los cálculos:
a) Nunca se puede dividir por 0
Así, todas las funciones racionales tendrán un problema de dominio en los valores en los que su denominador se anule. Por ejemplo:
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1 OX
OY
a
b
c
d No es función
OX
OY
1
-2 -
2 3
Es función
4
3 7
6
X
Y
-1 7
0 7
1 6
2 5
3 0
x f(x)
f(x)^ = (^) x−^31 presenta un problema para^ x^ =^1 ya que para calcular su imagen por la función tendríamos que dividir entre 0. Por tanto: (^) Dom f(x) (^) = ‘ − 1.
Se entiende pues que para estudiar el dominio de una función con denominador nos limitaremos a calcular los valores que anulen dicho denominador, que serán los que debemos excluir del dominio.
b) No se puede calcular una raíz de índice par de un número negativo
Es por esto que todas aquellas funciones que presenten una raíz de índice par, tendrán un problema cuando su radicando (lo que está dentro de la raíz) sea negativo. Así pues tendremos que resolver la inecuación resultante de expresar que el radicando debe ser mayor o igual que cero.
Ejemplo : Estudia el domino de la función: f(x)^ = x^2 − 1
Planteamos la inecuación: x^2 − 1 m 0. Para resolverla debemos, en primer lugar, resolver la ecuación correspondiente:
x^2 − 1 = 0 u x^2 = 1 u x =! 1 u
x = 1 x = − 1
Estos dos puntos dividen la recta real en tres intervalos. Cogeremos un valor de cada intervalo y observaremos si cumple o no la inecuación, teniendo en cuenta que si lo cumple ese valor, lo cumple todo el intervalo. Hacemos una tabla para la comprobación:
(−2)^2 − 1 = 4 − 1 = 3 > 0 (−1)^2 − 1 = 1 − 1 = 0 02 − 1 = 0 − 1 = − 1 < 0 12 − 1 = 1 − 1 = 0 22 − 1 = 4 − 1 = 3 > 0
x^2 − 1 > 0 = 0 < 0 = 0 > 0
y por tanto el dominio de dicha función será: Dom f(x)^ = (−∞, −1]^4 [1, +∞).
c) No se puede calcular el logaritmo de cero ni de un número negativo
Tendremos, pues, que todas las funciones logarítmicas presentan un problema de dominio en los valores que nos hacen calcular un logaritmo de número negativo o cero. Así pues tendremos que resolver la inecuación resultante de expresar que el argumento del logaritmo debe ser mayor que cero.
Ejemplo : Estudia el domino de la función: f(x)^ = ln 3 − 2x − x^2
Planteamos la inecuación: 3 − 2x − x^2 > 0. Para resolverla debemos, en primer lugar, resolver la ecuación correspondiente:
3 − 2x − x^2 = 0 u x =
− 2 =^
− 2 u^
x = − 3 x = 1 Estos dos puntos dividen la recta real en tres intervalos. Cogeremos un valor de cada intervalo y observaremos si cumple o no la inecuación, teniendo en cuenta que si lo cumple ese valor, lo cumple todo el intervalo. Hacemos una tabla para la comprobación:
3 − 2 $ (−4)^ − (−4)^2 = − 5 < 0 3 − 2 $ (−3)^ − (−3)^2 = 0 3 − 2 $ 0 − 02 = 3 > 0 3 − 2 $ 1 − 12 = 0 3 − 2 $ 2 − 22 = − 5 < 0
3 − 2x − x^2 < 0 = 0 > 0 = 0 < 0
y por tanto el dominio de dicha función será: (^) Dom f(x) (^) = (−3, 1).
1.0.3.- Funciones elementales
Veamos a continuación los diferentes tipos de funciones que podemos encontrarnos:
1.0.3.1.- Funciones polinómicas
A cada número real le hace corresponder el valor numérico del polinomio en cuestión, por ejemplo:
f(x)^ = x^3 − 2x + 1 de modo que f(− 2 ) = (−2)3^ − 2(−2)^ + 1 = − 3 , o sea al − 2 le asocia el − 3. Y así con todos los números reales.
Dado que las operaciones que se efectúan en un polinomio se pueden realizar con cualquier número, el dominio de todas las
funciones polinómicas será ‘.
Dentro de las funciones polinómicas podemos destacar las siguientes:
a) Funciones constantes : f(x)^ = a que a cada número real le hacen corresponder un número fijo a. Su representación gráfica es una recta paralela al eje x.
b) Funciones lineales : son de la forma (^) f(x)^ = mx + n y su representación gráfica es una recta, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.
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Ejemplos de representación gráfica :
También son hipérbolas las gráficas de las funciones de la forma f(x)^ = axcx++db, en las que si efectuamos la división de
polinomios, se observa que son funciones de proporcionalidad inversa desplazadas en el plano.
Ejemplo : La función f(x)^ = 3xx−− 25 , si efectuamos la división de polinomios, se tiene que:
f(x)^ = 3 + (^) x^1 − 2 , que tiene la misma gráfica que la función f(x)^ = (^1) x, pero desplazada dos unidades
a la derecha y tres hacia arriba. Es decir:
1.0.3.3.- Funciones radicales
Se trata de funciones en las que x está dentro de un radical. Si dicho radical es de índice par, presentará problemas de dominio en aquellos valores que hagan que el radicando sea negativo.
Ejemplo : f(x)^ = x de modo que f(4)^ = 4 = 2 o sea al 4 le asocia el 2. Y así con todos los números reales del dominio, que en este caso es el intervalo [0, +∞).
Ejemplos de representación gráfica ::
1.0.3.4.- Funciones exponenciales
Es toda función de la forma f(x)^ = ax donde a c ‘+ − 1. Por ejemplo:
Ejemplo : f(x)^ = 3 x de modo que f(2)^ = 32 = 9 , o sea al 2 le asocia el 9. Y así con todos los números reales, puesto que su dominio es ‘. Entre todas ellas, merece la pena destacar la que tiene por base el número e.
Debemos tener en cuenta que las funciones exponenciales elementales con base mayor que 1 son crecientes, y aquellas con base entre 0 y 1 son decrecientes. Además, todas ellas tienen una asíntota horizontal en el eje x. Ejemplos de representación gráfica:
1.0.3.5.- Funciones logarítmicas
Son las funciones de la forma: f(x) = logax donde a c ‘+ − 1 , por ejemplo:
Ejemplo : f(x)^ = log 10 x de modo que f( 1 ) = log 101 = 0. O sea, al 1 le asocia el 0, y así con todos los valores del dominio, que en este caso es el intervalo (0, +∞).
NOTA .- (^) logab, se lee logaritmo en base a de b , y no es más que el número al que debemos elevar la base a para obtener b. O sea, logab = c g ac^ = b. Así tenemos que:
log 28 = 3 , ya que 2^3 = 8 ; log 3 13 = −1 , ya que 3−^1 = 13 ; log 51 = 0, pues 5^0 = 1
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1
2
1
1
f(x)^ = (^1) x f(x) (^) = (^2) x
2
3
f(x)^ = 3 + (^) x^1 − 2
f(x)^ = x f(x)^ = −x
f(x)^ = − 2 + x − 1 f(x)^ =^ 3 x
f(x)^ = 2 x
(^1) f(x) (^) = 1 2
x = 2 −x
Debemos tener en cuenta que las funciones logarítmicas elementales con base mayor que 1 son crecientes, y aquellas con base entre 0 y 1 son decrecientes. Además, todas ellas tienen una asíntota vertical en el eje y.
Ejemplos de representación gráfica :
1.0.3.6.- Funciones trigonométricas o circulares
Son aquellas que tienen la forma: f(x)^ = sen x ; f(x)^ = cos x o f(x)^ = tgx. Sus gráficas tienen la forma:
1.0.3.7.- Funciones definidas a trozos
Una función a trozos es un tipo de función que esta compuesta por más de una función, de modo que cada una de ellas actúa
en un tramo diferente de la recta real. O sea: f(x)^ =.
g(x) ; x c [a, b] h(x) ; x c [c, d] k(x) ; x c [e, f]
Ejemplo : f(x)^ = y para calcular la imagen de un valor tenemos que ver previamente a que tramo
x^2 + 2x + 1 ; x [ 0 1 ; 0 < x < 4 x − 3 ; x m 4
corresponde para posteriormente sustituirlo. Su representación gráfica es la siguiente:
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f(x)^ = log 2 x
f(x)^ = log 1 2
x
f(x)^ = sen x^ f(x)^ =^ cos x
f(x)^ = tg x
(^0 )
y = 1
y = x^2 + 2x + (^1) y = x − 3
1.0.4.- Operaciones con funciones
Sean (^) f : D _ ‘ d ‘ y g : D _ ‘ d ‘ dos funciones reales de variable real. Se definen las siguientes operaciones de funciones que dan lugar a nuevas funciones:
Suma (o resta) f! g : D _ ‘ d ‘ x d (f! g)(x)^ = f(x)^! g(x)
Por ejemplo: f(x)^ = x^2 y g(x)^ = 3 x^ tendremos que (f + g)(x)^ = x^2 + 3 x
Producto
f $ g : D _ ‘ d ‘ x d (f $ g)(x)^ = f(x)^ $ g(x) de modo que si consideramos las funciones del ejemplo anterior tendremos: (f $ g)(x)^ = x^2 $ 3 x
Cociente f : g : D _ ‘ d ‘ x d (f : g)(x)^ =
f(x) g(x)
de modo que si tenemos las funciones del ejemplo anterior tendremos: (f : g)(x)^ = x
3 x
Composición
f ) g : D _ ‘ d ‘ x d (f ) g)(x)^ = f(g(x)) de modo que si consideramos las funciones del ejemplo anterior tendremos: (f ) g)(x) = f(g(x)) (^) = f(3x ) (^) = (3x )2^ = 3 2x
O sea, las dos funciones actúan encadenadas una a continuación de la otra. Esta composición que vemos se lee: g compuesto con f , pues es ese el orden en que actúan. Es importante observar que la composición de funciones no es conmutativa.
Dentro de la composición se define el elemento neutro que es la función identidad (que se denota por " i") que verifica que f ) i = i ) f = f^ ,^ para cualquier función f.
La función identidad es i(x)^ = x, es decir, que a cada valor de x le hace corresponder consigo mismo.
1.0.5.- Función inversa de otra
Se llama función inversa o recíproca de f a otra función (que se designa por f−^1 ) que cumple la siguiente condición:
Si f(a)^ = b entonces f−1(b)^ = a. Y como consecuencia se dan las igualdades siguientes: f ) f−^1 = f−^1 ) f = i
No siempre se puede calcular la función inversa de un dada, sólo si cada valor de y corresponde con un único valor de x. Para hallar la inversa de y = f(x)^ se intercambian la x y la y, es decir x = f(y), y se despeja la y en la última expresión. Veamos algunos ejemplos de función inversa ( f−^1 ):
f(x) = x + 2 e f−^1 (x) = x − 2 ; f(x)^ = x^2 e f−^1 (x) = x ; f(x)^ = 2 x − 1 e f−^1 (x) = 2(x + 1)
Ejemplo : Calcula la función inversa de f(x)^ = 3x − 5.
Planteamos la función con x e y: y = 3x − 5 u cambiamos el papel de x e y: x = 3y − 5 y despejamos la y:
x = 3y − 5 u x^2 = 3y − 5 u x^2 + 5 = 3y u y = x y por tanto:.
3 f
−1(x) (^) = x^2 +^5 3
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1.1.- LÍMITE DE FUNCIONES
1.1.1.- Concepto de límite de una función en un punto. Límites laterales
Diremos que el límite cuando x tiende a "a" de la función f(x) es "l" , si la función se acerca todo lo que queramos a " l " haciendo que la x se acerque a " a ". Utilizando el lenguaje matemático es lo siguiente:
xlim f(x)da
(^) = l g ≤ ✒ > 0, ≥ ✑ > 0 : x − a < ✑ e f(x) (^) − l < ✒
Este tipo de escritura lo vamos a ver sólo para irnos familiarizando con la simbología, sin detenernos demasiado en ella.
Intuitivamente vemos que lo que queremos saber es a qué valor se está acercando la altura de la función, cuando las x se están acercando a " a ". Así, si fuésemos a calcular el límite de la función f(x)^ = x^2 + 1 en el punto x = 2 , tendríamos que ver qué pasa con la función mientras nos acercamos a 2, de la siguiente forma:
f 1 ∏ 9 = 4 ∏61 ; f 1 ∏ 99 = 4 ∏ 961 ; f 1 ∏ 999 = 4 ∏ 996001 ; f 1 ∏ 9999 = 4 ∏ 99960001
de modo que podemos ver como la función se acerca a 5, con lo cual podríamos decir que el límite de la función en x = 2 es 5.
Pero ocurre que este acercamiento al 2 que hemos hecho con valores menores que él (se denominará límite por la izquierda), podemos hacerlo también con números mayores (límite por la derecha), lo que puede dar lugar a un resultado diferente. En esta función podemos comprobar que no ocurre así, pero habrá funciones en las que si ocurrirá, es lógico pensar entonces que para poder decir que la función tiene límite en el punto, ambos límites laterales deben existir y coincidir.
Por tanto, podemos dar dos definiciones para los límites laterales similares a la del principio:
Diremos que una función f(x)tiene límite lateral por la derecha (izquierda) de "a", cuando x tiende a "a" , si la función se acerca todo lo que queramos a " l " haciendo que la x se acerque a " a ", con valores mayores (menores) que " a ".
Límite de f(x)^ cuando x tiende a "a" por la derecha: xda+
lim f(x)^ = l
Límite de f(x)^ cuando x tiende a "a" por la izquierda: xda− lim f(x)^ = l
Teorema .- la condición necesaria y suficiente para que exista el límite de una función en un punto es que existan sus límites laterales y que además coincidan. O sea:
xlim f(x)da (^) = l g ≥ xda+
lim f(x), ≥ (^) xdlima− f(x)^ y xda+
lim f(x)^ =xdlima− f(x)
Además, el límite de una función en un punto, si existe es único.
1.1.2.- Límites infinitos
En ocasiones nos va a interesar saber qué hace la función cuando la x toma valores extremos (infinitamente grandes o infinitamente pequeños), del mismo modo que habrá ocasiones en que será la función la que se acerca a esos valores extremos al acercarnos a un determinado valor de x. Estas situaciones van a ser estudiadas a través de los límites infinitos.
Diremos que el límite de la función f(x)^ en el +∞ (−∞) es "l", (^) xd lim+∞ f(x)^ = l, (^) xd lim−∞ f(x)^ = l, si la función toma valores tan
próximos a " l " como queramos, con sólo coger valores de x suficientemente grandes (suficientemente pequeños).
Diremos que el límite de la función f(x)^ en " a " es +∞ (−∞), (^) xlim f(x)da^ = +∞ (^) xlim f(x)da^ = −∞, si la función alcanza valores tan
grandes (pequeños) como se quiera, cogiendo valores de x suficientemente próximos a " a ".
1.1.3.- Cálculo de límites
Para el cálculo práctico de límites basta con sustituir las x de la función por el valor hacia el que tiende la x en el límite, como en el siguiente ejemplo:
xd 3
lim x
(^2) − 1 2x+ 2 −^ x^ =^
3 2 − 1 2 $ 3 + 2 −^3 =^
8 8 −^3 =^1 −^3 =^2
Dicho esto, hay que tener en cuenta una serie de consideraciones:
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Ejemplo : (^) xd lim+∞ (^) xx− 1 2x+ 2 = 1 ∞^ = e xd+∞ lim (^) x−x 1 − 1 $(2x+2)^ = e xd+∞ lim x−x−x+ 11 (2x+2)^ = e xd+∞ lim (^) x^1 − 1 (2x+2)^ =
xd^ lim+∞^
2x+ 2 x− 1 =^
∞ ∞ =^2
1.2.- CONTINUIDAD
1.2.1.- Continuidad de funciones. Continuidad en un punto
Intuitivamente diremos que una función es continua si se puede pintar en su totalidad sin necesidad de levantar el lápiz. Esto vale como idea, pero formalmente tendremos que ver qué ocurre en cada punto para poder hacer afirmaciones sobre la continuidad. Esta es la definición formal:
Se dice que una función f es continua en un punto de abscisa x 0 cuando se cumple que:
o sea xdlimx 0 f(x) (^) = f x 0 xdx 0 +
lim f(x )^ = xdx 0 − lim f(x )^ = f x 0
Lo que significa que para que la función sea continua en el punto, tiene que existir tanto el límite (o sea deben existir los límites laterales y además coincidir) como la función en el punto, teniendo que ser iguales ambos valores.
Diremos que una función presenta un discontinuidad en (^) x 0 si falla alguna de las condiciones anteriores, veamos los diferentes tipos de discontinuidad:
a) Discontinuidad evitable : si los limites laterales existen y coinciden pero la función no existe en el punto, o bien existiendo no coincide con los límites laterales.
o bien xdx 0 +
lim f(x) = xdx 0 − lim f(x) y no ≥ f(x 0 ) xdx 0 +
lim f(x) = xdx 0 − lim f(x)! f(x 0 )
b) Discontinuidad de salto finito: si existen los límites laterales (dan valores finitos) pero no coinciden.
xdx 0 +
lim f(x)! xdx 0 − lim f(x)
c) Discontinuidad de salto infinito: cuando alguno de los límites laterales es infinito.
d) Discontinuidad esencial o de segunda especie: cuando no existe alguno de los límites laterales.
Ejemplo : Estudia la continuidad de la siguiente función: (^) f(x) (^) =
x+ 1 x^2 − 1
; x [ 0 2 + x^2 ; 0 < x < 2 4x − 2 ; x m 2
La función f(x)es una función a trozos formada por:
f 1 (x)^ = x+^1 es una función racional, continua y derivable en^ , y como su intervalo de actuación es^ , tenemos x2− 1
‘ − −1, 1 (−∞, 0]
un problema de continuidad en (^) x = − 1.
f 2 (x ) = 2 + x^2 es una función cuadrática, continua y derivable en‘
f 3 (x)^ = 4x − 2 es una función lineal, continua y derivable en‘
Con esto, los puntos en los que hay que estudiar la continuidad son x = − 1 por el denominador que se anula y x = 0 yx = 2 porque en ellos hay un cambio en la definición de la función. Veamos que ocurre en esos puntos.
x = − 1 f(−1)^ = −^1 +^1 (−1)2− 1
= 00 = a
xd− 1 +
lim f(x)^ = xd− 1 +
lim x+^1 x2− 1
= 00 = xd− 1 +
lim (^) (x x+^1 −1)$(x+1)^ = xd− 1 +
lim (^) (x^1 −1)^ = (^) − 11 − 1 = − (^12)
xd− 1 −
lim f(x)^ = xd− 1 −
lim x+^1 x2− 1
= 00 = xd− 1 −
lim (^) (x x+^1 −1)$(x+1)^ = xd− 1 −
lim (^) (x^1 −1)^ = (^) − 11 − 1 = − (^12)
u
f(x)^ presenta una discontinuidad evitable enx = − 1
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x 0
x = 0
presenta una discontinuidad de salto en
f(0)^ = 0 +^1 02 − 1 = (^) −^11 = − 1
xd 0 +
lim f(x)^ = xd 0 +
lim 2 + x^2 = 2 + 02 = 2
xd 0 −
lim f(x)^ = xd 0 −
lim x+^1 x2− 1
= 0 +^1 02 − 1
= − 1
uf(x)^ x^ =^0
x = 2
es continua en
f(2)^ = 4 $ 2 − 2 = 8 − 2 = 6
xd 2 +
lim f(x)^ = xd 2 +
lim (4x − 2)^ = 4 $ 2 − 2 = 6
xd 2 −
lim f(x)^ = xd 2 −
lim 2 + x^2 = 2 + 22 = 6
uf(x)^ x = 2
Por tanto f(x)^ es continua en ‘ − −1, 0
Propiedades de las funciones continuas
Sean f y g dos funciones continuas en a , entonces:
1.- La función f + ges continua en a. 2.- La función f $ ges continua en a. 3.- La función (^) ✘ $ f es continua en a, ✘ c ‘
4.- Si (^) g(a)! 0, la funcio´ n (^) gfes continua en a.
1.2.2.- Continuidad en un intervalo
Una función, por tanto, será continua en un intervalo abierto (a, b)si lo es en cada uno de sus puntos. Si se trata de un intervalo cerrado, [a, b], será exactamente igual sólo que tenemos que tener en cuenta que al extremo inferior, a , sólo podemos acercarnos por la derecha (o sea f(a)^ = , continuidad por la derecha ), y que al extremo superior, b , solo xda+
lim f(x)
podemos acercarnos por la izquierda (o sea (^) f(b) (^) = , continuidad por la izquierda ). xdb−
lim f(x)
1.2.3.- Continuidad de las funciones elementales.
f(x)^ = tgx^ Son continuas en^ ‘ − x = ✜ 2 + k✜, k c Z
f(x)^ = sen x ;f(x)^ = cos x Son continuas en ‘ Trigonométricas
Logarítmicas f(x)^ = logax , a > 0, a! 1 Son continuas en (0, +∞)
Exponenciales f(x)^ = ax, a > 0 Son continuas en ‘
Son continuas en ‘ − x / g(x) < 0 , si n es par ‘ , si n es impar
Irracionales^ f(x)^ =^ n g(x)
f(x)^ = (^) Son continuas en ‘ − x / Q(x) = 0 P(x) Racionales Q(x)
Polinómicas f(x)^ = an xn^ + a (^) n− 1 xn−^1 + ... + a 1 x + a 0 Son continuas en ‘
Tipo de función Expresión Continuidad
Como podemos observar, todas ellas son continuas en su dominio.
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