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Documento que presenta propiedades básicas de los números complejos, incluye conjugados, parte real y imaginaria, módulo y argumento, factorización de polinomios y expresión exponencial.
Tipo: Apuntes
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Gloria Guti´errez Barranco, Javier Mart´ınez del Castillo y Ma^ Luz Mu˜noz Ruiz
Departamento de Matem´atica Aplicada E.T.S. de Ingenier´ıa Telecomunicaci´on Universidad de M´alaga Campus de Teatinos, 29071 [email protected]; [email protected]; [email protected]
25 de Septiembre de 2012
1 Los n´umeros complejos Definici´on y propiedades Exponencial compleja Ra´ıces complejas (^2) L´ımite y continuidad de funciones reales Sucesiones de n´umeros reales L´ımite de una funci´on real de variable real L´ımites laterales y l´ımites en el infinito Continuidad de una funci´on real de variable real (^3) Derivaci´on de funciones reales. Aplicaciones Derivada de una funci´on en un punto. Regla de la cadena Derivaci´on impl´ıcita. Funci´on inversa Aproximaci´on lineal y notaci´on diferencial Teorema de Taylor. Formas indeterminadas Aplicaci´on al estudio de funciones. Optimizaci´on
Las operaciones anteriores cumplen las siguientes propiedades: Asociatividad de la suma y el producto. Existencia del elemento neutro (0, 0) y de la unidad (1, 0) Existencia del elemento opuesto −(a, b) = (−a, −b) Existencia del elemento sim´etrico, si (a, b) 6 = (0, 0) entonces
(a, b)−^1 =
a a^2 + b^2
, − b a^2 + b^2
Conmutatividad de la suma y el producto. Distributividad del producto respecto a la suma.
R × { 0 } es un subcuerpo de C isomorfo a R.
Como consecuencia, identificaremos el complejo (a, 0) con el real a.
Dado el n´umero complejo (a, b) llamamos forma bin´omica a la expresi´on a + b · i
Obs´ervese que
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = ( ︸ ︷︷ ︸a, 0) a
y denotando i = (0, 1) se tiene la forma bin´omica.
i^2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = − 1
La forma bin´omica facilita la comprensi´on de los complejos como extensi´on de los reales y permite operar con ´estos de forma an´aloga a como se hace con los n´umeros reales.
Dado z = x + y i, se define: (^1) El conjugado de z como: z = x + y i = x − y i (^2) La parte real de z como: Re(z) = Re(x + y i) = x (^3) La parte imaginaria de z como: Im(z) = Im(x + y i) = y (^4) El m´odulo de z como: |z| = |x + y i| =
x^2 + y 2 (^5) El argumento de z, siendo (x, y ) 6 = (0, 0), como:
Si x = 0 =⇒ Arg (z) =
π 2 si y^ >^0 3 π 2 si y^ <^0 Si x 6 = 0 =⇒ Arg (z) = θ = arc tg yx siendo { (^) θ ∈ [0, π] si y ≥ 0
θ ∈ (π, 2 π) si y < 0
Es inmediato comprobar que: (^1) z + w = z + w
(^2) z · w = z · w
(^3) Re(z) =^1 2
(z + z)
(^4) Im(z) =^1 2 i
(z − z)
(^5) |z| =
zz
Las funciones m´odulo y argumento tambi´en caracterizan a un n´umero complejo de la misma forma que la parte real y la parte imaginaria
Si r = |x + y i| y θ = Arg (x + y i) entonces:
x + y i = r (cos θ + i sen θ)
El par (r , θ) es la forma polar del n´umero complejo
Por su definici´on, exigimos que el m´odulo de un n´umero complejo sea positivo y que su argumento sea un ´angulo entre 0 y 2π, sin embargo, la definici´on previa, permite utilizar cualquier par (r , θ) ∈ R^2 para representar a un ´unico n´umero complejo, cuyo m´odulo es |r | y su argumento es θ ± kπ para alg´un k ∈ Z.
Todo polinomio P(x) puede factorizarse en R como:
P(x) = a(x − a 1 )n^1... (x − ap )np^ (x^2 + b 1 x + c 1 )m^1... (x^2 + bq x + cq )mq
siendo a 1 ,... , ap las ra´ıces reales de P y x^2 + bi x + ci polinomios sin ra´ıces reales.
Factorizar:
(a) x^4 − 1 (b) x^3 + 2x^2 + 2x + 1 (c) x^2 + 1 (d) x^4 + 1
Soluci´on: (a) x^4 − 1 = (x^2 + 1)(x^2 − 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x − 1)
(b) x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x + 1)(x + 1) (c) x^2 + 1 es irreducible en R
(d) x^4 + 1 = (x^2 +
2 x + 1)(x^2 −
2 x + 1)
Toda ecuaci´on polin´omica con coeficientes en C tiene soluci´on.
Si P(x) es un polinomio con coeficientes en R y z ∈ C es una ra´ız de P entonces z tambi´en es ra´ız de P.
Calcular las ra´ıces complejas de x^4 + 1
Soluci´on:
x 1 =
2 i^ x^2 =
2 i
x 3 = −
2 i^ x^4 =^ −
2 i
Resolver la ecuaci´on zz + 3(z − z) = 13 + 12i
Soluci´on: 1 o^ Forma Sea z = x + y i
x^2 + y 2 + 6y i = 13 + 12i =⇒
x^2 + y 2 = 13 6 y = 12 =⇒
x = ± 3 y = 2 2 o^ Forma Sea w = z
{ zw + 3(z − w ) = 13 + 12i wz + 3(w − z) = 13 − 12 i =⇒
2 zw = 26 6 z − 6 w = 24i
w = ± 3 − 2 i z = ±3 + 2i
La soluci´on es z = ±3 + 2i
A partir de la exponencial compleja se introduce una representaci´on alternativa de los n´umeros complejos, la forma exponencial.
Si z es un n´umero complejo con m´odulo r y argumento θ, entonces
z = r (cos θ + i sen θ) = r eiθ^ = r ei(θ+2kπ)
es la forma exponencial del n´umero complejo.
La igualdad eiθ^ = cos θ + i sen θ se conoce como igualdad de Euler y aplicada a θ = π nos conduce a la siguiente igualdad que relaciona las constantes matem´aticas m´as importantes:
eiπ^ + 1 = 0
La forma exponencial es ´util para calcular el producto de n´umeros complejos.
r 1 eiθ^1 r 2 eiθ^2 = r 1 r 2 ei(θ^1 +θ^2 )^ = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sen(θ 1 + θ 2 )) Si z = r eiθ, entonces zn^ = r neinθ^ = r n(cos nθ + i sen nθ)
En particular, cuando z = eiθ^ se tiene que (eiθ)n^ = einθ^ y la conocida F´ormula de Moivre:
(cos θ + i sen θ)n^ = cos nθ + i sen nθ
Si expandimos la igualdad de Moivre para n = 2 obtenemos:
cos 2θ + i sen 2θ = (cos θ + i sen θ)^2 = cos^2 θ + 2i sen θ cos θ − sen^2 θ
cos 2θ = cos^2 θ − sen^2 θ sen 2θ = 2 sen θ cos θ
Expresar sen^3 θ en funci´on de senos m´ultiplos de θ.
Soluci´on:
sen^3 θ =
eiθ^ − e−iθ 2 i
= − (^81) i
e^3 iθ^ − 3 e^2 iθe−iθ^ + 3eiθe−^2 iθ^ − e−^3 iθ
8 i
e^3 iθ^ − 3 eiθ^ + 3e−iθ^ − e−^3 iθ
8 i
e^3 iθ^ − e−^3 iθ^ − 3(eiθ^ − e−iθ)
8 i (2i^ sen 3θ^ −^3 ·^2 i^ sen^ θ) =^
4 sen^ θ^ −^
4 sen(3θ)
Para cada n´umero complejo z = r eiθ^ existen n n´umeros complejos distintos ω 0 ,... , ωn− 1 que verifican ωnk = z (ra´ıces n-simas de z). Estos n´umeros son:
ωk = n
r ei(^
θ+2 nk π) con k = 0, 1 ,... , n − 1
Calcular las ra´ıces cuartas de z = − 1 Soluci´on: Las ra´ıces cuartas de z = −1 = eπi^ son:
ω 0 = e π^4 i^ =
√ 2 2 +^ i
√ 2 2 ω^1 =^ e^
3 π 4 i= −^ √ 2 2 +^ i
√ 2 2
ω 2 = e
5 π 4 i = −
√ 2 2 −^ i
√ 2 2 ω^3 =^ e^
√ 2 2 −^ i
√ 2 2
