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I. Desarrollar en no más de 6 páginas el tema de Polinomios, parte teórica y práctica, tipos de polinomios, operaciones con Polinomios, sumas, resta, multiplicación y división, ejemplos de las operaciones antes mencionadas.
Un polinomio es una expresión algebraica formada por un monomio o por la suma de varios monomios. A cada monomio se le llama término del polinomio. Si tiene dos términos se llama binomio; si tiene tres trinomio; si tiene cuatro cuatrinomio etc.
Un polinomio se dice que es nulo si todos los monomios que lo componen tienen coeficiente cero.
Un polinomio está dado en forma reducida si en su expresión no aparecen monomios semejantes, ni nulos.
Se llama grado de un polinomio no nulo, al mayor de los grados de los monomios que lo componen cuando el polinomio se ha puesto en forma reducida. Un polinomio nulo tiene grado cero.
Un polinomio es una expresión algebraica de sumas, restas y multiplicaciones ordenadas hecha de variables, constantes y exponentes.
En álgebra, un polinomio puede tener más de una variable (x, y, z), constantes (números enteros o fracciones) y exponentes (que solo pueden ser números positivos enteros).
Los polinomios están formados por términos finitos. Cada término es una expresión que contiene uno o más de los tres elementos de los que están hechos: variables, constantes o exponentes. Por ejemplo: 9, 9x, 9xy son todos términos. Otra forma de identificar los términos es que se separan por sumas y restas.
Para resolver, simplificar, sumar o restar polinomios se deben agrupar los términos con las mismas variables como, por ejemplo, los términos con x, los términos con ``y´´ y los
términos que no tienen variables. Además, es importante fijarse en el signo que está antes del término que determinará si suma, resta o multiplica. Por ejemplo:
4x + 5y + 2xy + 2y +
Se agrupan, suman o restan los términos con las mismas variables, o sea:
+4x = 4x
+5y +2y = 7y
+2xy = 2xy
+2 = 2
Resultado final es: 4x + 7y + 2xy + 2
Tipos de polinomios
La cantidad de términos que un polinomio tiene indicará qué tipo de polinomio es, por ejemplo,
Polinomio de un término: monomio, por ejemplo, 8xy.
Polinomio de dos términos: binomio, por ejemplo, 8xy - 2y.
Polinomio de tres términos: trinomio, por ejemplo, 8xy - 2y + 4.
Grado de polinomio
El grado de un polinomio de una sola variable es el mayor exponente. El grado de un polinomio con más de una variable es determinado por el término con el mayor exponente. Por ejemplo: el polinomio 3x+8xy+7x2y
3x: grado 1
8xy: grado 2 (x:1 + y:1= 2)
7x2y: grado 3 (x:2 + y:1=3)
Esto significa que el grado del polinomio es 3 siendo el mayor exponente de los tres términos que lo componen.
Obtenemos el opuesto al sustraendo de Q(x).
P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x
Agrupamos.
P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3
Resultado de la resta.
P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3
Multiplicación de polinomios
- Multiplicación de un número por un polinomio La multiplicación de un número por un polinomio es, otro polinomio. El polinomio que se obtiene tiene el mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que resulta, son el producto de los coeficientes del polinomio inicial, por el número y dejando las mismas partes literales.
Ejemplos:
13 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6
22(3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2
- Multiplicación de un monomio por un polinomio
En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Recordar que primero debemos multiplicar signos, posteriormente multiplicar los monomios correspondientes, para lo cual, se debe multiplicar los coeficientes, y luego, realizar la multiplicación de la parte literal, en donde, al multiplicar variables iguales los exponentes se sumarán.
Ejemplo:
3x² · (2x³− 3x²+ 4x − 2) = (3x² · 2x³) - (3x² · 3x²) + (3x² · 4x) - (3x² · 2) = 6x5− 9x4 + 12x³ − 6x²
- Multiplicación de polinomios
Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas, aquí veremos solo una de ellas.
Para multiplicar polinomios
Pasos:
a) Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. b) Se suman los monomios del mismo grado, obteniendo otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
Ejemplo:
Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3, Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³− 3x² + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x
Se suman los monomios del mismo grado.
P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5
y
P(x) · Q(x ) = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x
División de polinomios
Abordaremos la explicación con un ejemplo.
Ejemplo:
(8x^2 - 6x - 8)-(8x^2 - 16x +8)= 8x^2 - 6x - 8 + 8x^2 + 16x - 8 = 10x - 16
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
II. Desarrollar el tema de los números complejos, teoría y las operaciones de suma, resta, multiplicación y división en no más de 3 páginas y ejemplos de cada una de las operaciones antes mencionadas.
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i, o en forma polar).
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica
y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros.
Operaciones con números complejos Para sumar dos números complejos , sume la parte real a la parte real y la parte imaginaria a la parte imaginaria.
Ejemplo:
(2 + 7 i ) + (3 – 4 i ) = (2 + 3) + (7 + ( – 4)) i
= 5 + 3 i Para restar dos números complejos, reste la parte real de la parte real y la parte imaginaria de la parte imaginaria.
Ejemplo:
(9 + 5 i ) – (4 + 7 i ) = (9 – 4) + (5 – 7) i
= 5 – 2 i
Para multiplicar dos números complejos, use el método FOIL y combine los términos semejantes.
