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Asignatura: Matemática Discreta, Profesor: , Carrera: Ingeniero Técnico en Informática de Sistemas, Universidad: UPM
Tipo: Apuntes
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Curso 2014 - 2015
Jos ´e Juan Carre ˜no Carre ˜no
Departamento de Matem ´atica Aplicada Escuela T ´ecnica Superior de Ingenier´ıa de Sistemas Inform ´aticos Universidad Polit ´ecnica de Madrid
(^1) L ´ogica de Predicados Nuevos elementos Formalizaci ´on (^2) Sintaxis de la L ´ogica de Predicados Alfabeto Reglas de formaci ´on de f ´ormulas F ´ormulas cerradas Convenio de precedencia (^3) Sem ´antica en L ´ogica de Predicados Interpretaciones Valor veritativo de una f ´ormula cerrada (^4) F ´ormulas equivalentes (^5) Estructuras deductivas Tableau para L ´ogica de predicados Reglas de inferencia en L ´ogica de Predicados
Para subsanar este problema se construye una l ´ogica m ´as amplia, la L ´ogica de Predicados , que hace un an ´alisis l ´ogico m ´as profundo del lenguage natural y utiliza un lenguaje formal que refleja la relaci ´on interna existente entre las aserciones. En esta L ´ogica se necesita distinguir los elementos: Constantes : hacen referencia a elementos o individuos concretos. Se representan por letras min ´usculas del principio del alfabeto: a, b, c,... En el ejemplo anterior, “Ronaldo” ser´ıa una constante. Variables : hacen referencia a un individuo no determinado o a un colectivo de individuos. Se usan las letras min ´usculas del final: x, y, z,.... La variable x representa un elemento cualquiera del conjunto de todos los seres vivos o de todas las cosas.
Predicados : propiedades o relaciones entre individuos. Notaci ´on funcional: P(x) es un predicado que describe una propiedad P sobre x. Por ejemplo, los predicados: P(x) = “ x es futbolista” y Q(x) = “ x es rico”. Los predicados pueden ser unarios, binarios, ternarios, y en general n-arios. En particular, un predicado puede ser 0 -ario comport ´andose como variable proposicional, y se denotar ´a por P.
Cuantificadores : son las afirmaciones para todo un conjunto de individuos ( cuantificador universal ), por ejemplo “Todos” en el enunciado “Todos los futbolistas son ricos”, y a las afirmaciones de existencia de individuos que cumplen ciertas propiedades ( cuantificador existencial ), por ejemplo “Existe” en el enunciado “Existe un rico”.
D = { personas }, a =“Ronaldo”, b =“Arda”, F(x) =“x es futbolista”, R(x) =“x es rico”, M(x, y) =“x es mejor que y”.
Los s´ımbolos de la l ´ogica de predicados son: S´ımbolos de constantes: C = {a, b, c,... }. S´ımbolos de variables: V = {x, y, z,... }. S´ımbolos de predicados: P = {P, Q, R,... }. Constantes l ´ogicas: {>, ⊥}. Cuantificadores: {∀, ∃}. Conectivos: {¬, ∨, ∧, →, ↔}. S´ımbolos auxiliares: {(, , , )}.
Utilizaremos el s´ımbolo Σ para representar constantes, variables y
P(a) Q(x, a) (R ∨ P(b)) ∀ x P(x) (∀ x P(x) ∧ ∃ x Q(x, a)) ∀ x (¬P(x) ∧ ∃ y Q(x, y))
mientras que no son f ´ormulas las palabras:
P(a, ) ∀ y Q(x, a) ∃ x ∀ xQ(x, y)) (∀ x P(x)) (∀ x P(x) ∧ (∃ x Q(x, a))) ∀ x (∃P(x) ∧ ∃ y Q(x, y))
f ´ormula F se dice que x es una variable libre en F. En caso contrario, se dice que x es una variable ligada en F.
es una f ´ormula cerrada.
tanto son f ´ormulas cerradas:
Q(a) (R ∨ P(b)) ∀ x P(x) (∀ x P(x) ∧ ∃ x Q(x, a)) ∀ x (¬P(x) ∧ ∃ y Q(x, y)) ∀ x ∃ y Q(x, y)
Las siguientes f ´ormulas no son cerradas pues la variable x tiene alguna aparici ´on libre:
Q(x) (R ∨ P(x)) (∀ x P(x) ∧ ∃ y Q(y, x)) ∀ y (¬P(y) ∧ Q(x, y))
Se consideran los niveles de precedencia para los conectivos y cuantificadores: Nivel 1: ¬, ∀, ∃ Nivel 2: ∧, ∨ Nivel 3: →, ↔ Los criterios para la simplificaci ´on de par ´entesis son: (^1) Los par ´entesis exteriores se pueden omitir. (^2) Si hay dos o m ´as conectivos que puedan ser el conectivo principal se tomar ´a el de mayor nivel. Si hay al menos dos conectivos de este nivel los par ´entesis son imprescindibles para evitar la ambig ¨uedad, salvo en los casos de la tercera regla. (^3) Si los conectivos de mayor nivel que pueden ser el conectivo principal sean todos ∧ o todos ∨ se pueden omitir los par ´entesis, consider ´andose el ´ultimo de ellos como conectivo principal.
Se considera de nuevo la l ´ogica bivalente o bivalorada , en la que se atribuye un ´unico valor de verdad, V o F, o bien, 1 o´ 0 , a cada f ´ormula cerrada.
predicados consiste en:
(^1) Fijar un conjunto D 6 = ∅ como dominio,
(^2) Asignar a cada constante, a, b, c,... , un elemento del dominio D que notaremos ˜a, ˜b, ˜c,... , (^3) Asignar a cada predicado 0 -ario un valor booleano { 0 , 1 },
(^4) Asignar a cada predicado n-ario, P, Q, R,... , una funci ´on booleana que notaremos P˜, Q˜, ˜R,... , que va de D×
n) · · · ×D a { 0 , 1 }, para n ≥ 1.
Si en una f ´ormula no aparecen variables, se le asigna valor de verdad teniendo en cuenta la definici ´on sem ´antica de los conectivos, como si fuera una f ´ormula de l ´ogica de proposiciones.
Nota: Al igual que en l ´ogica proposicional, se definen las interpretaciones significativas de una f ´ormula F en las que s ´olo es preciso asignar elementos del dominio a las constantes de F y funciones booleanas a los predicados de F. Las llamaremos simplemente interpretaciones, como en l ´ogica de proposiciones. Sin embargo, a diferencia de lo que ocurre en proposiciones, el n ´umero de interpretaciones en l ´ogica de predicados es infinito.
f ´ormula F si ´esta toma el valor de verdad 1 bajo esa interpretaci ´on. Se dice que una interpretaci ´on no es modelo o es no modelo de una f ´ormula F si ´esta toma el valor de verdad 0 bajo esa interpretaci ´on. En lo sucesivo, para aliviar la notaci ´on, prescindiremos de las tildes en la interpretaci ´on, denot ´andolo P(x).
caso contrario, se dice que es insatisfactible. Una f ´ormula satisfactible se llama tautolog´ıa si todas sus interpretaciones son modelos, se llama contingente si admite modelos y no modelos. Una f ´ormula se llama contradicci ´on si todas sus interpretaciones son no modelos.
Renombrar variables: ∀xP(x)^ ≡ ∀yP(y) ∃xP(x) ≡ ∃yP(y)
Negaci ´on de cuantificadores: ¬∀xP(x)^ ≡ ∃x¬P(x) ¬∃xP(x) ≡ ∀x¬P(x) Todas las an ´alogas a las vistas en el c ´alculo de proposiciones si no interfieren los cuantificadores. Por ejemplo: (^1) ∀xP(x) ≡ ∀x¬¬P(x). (^2) ∀x(P(x) → Q(x)) ≡ ∀x(¬P(x) ∨ Q(x)). (^3) ∀x¬(P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∀x(¬P(x) ∧ ¬Q(x)). (^4) ∀xP(x) → ∃yQ(y) ≡ ¬∀xP(x) ∨ ∃yQ(y).
∀xP(x) ∧ ∀xQ(x) ≡ ∀x(P(x) ∧ Q(x)). En cambio: ∃xP(x) ∧ ∃xQ(x) 6 ≡ ∃x(P(x) ∧ Q(x)) ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) ≡ ∃x(P(x) ∨ Q(x)). En cambio: ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x) 6 ≡ ∀x(P(x) ∨ Q(x))
El estudio de conjuntos de f ´ormulas y estructuras deductivas en l ´ogica de predicados se hace siguiendo la misma l´ınea del desarrollado en la l ´ogica proposicional. Por tanto, las definiciones de conjunto satisfactible (insatisfactible) de f ´ormulas y de estructura deductiva correcta (incorrecta) son an ´alogas a las de la l ´ogica de proposiciones
