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Capítulo 1
Conjuntos
1.1 Conjuntos. Operaciones básicas
Comenzaremos dando una noción intuitiva de uno de los conceptos matemáticos más importantes: el de conjunto. La Teoría de conjuntos, desde el punto de vista axiomático, fue introducida por Georg Cantor. Cantor nació en San Petersburgo en 1845, donde vivió sus primeros once años. Desde 1869 ejerció como profesor en la universidad de Halle. Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis artículos en el Mathematische Annalen en los que desarrollaba una introducción básica a la teoría de conjuntos. Falleció en 1917.
Conjunto
Llamaremos conjunto a una colección de objetos, distintos entre sí, que comparten una propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un objeto arbitrario está o no en él.
Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos sus elemen- tos entre llaves, por ejemplo
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 },
o de manera implícita, dando una o varias características que determinen si un objeto dado está o no en el conjunto, por ejemplo
A = {x | x es un número natural par},
que se leerá: “A es el conjunto formado por los x tales que x es un número natural par”. Esta última opción (la definición implícita) es obviamente imprescindible cuando el conjunto en cuestión tiene una cantidad infinita de elementos. Los conjuntos se notarán con letras mayúsculas: A, B,... y los elementos con minúsculas, en general. Si el elemento a pertenece al conjunto A escribiremos a ∈ A. En caso contrario escribiremos a /∈ A. En ocasiones hay que considerar varios conjuntos en pie de igualdad. En estos casos es frecuente denotar los distintos conjuntos con la misma letra y un subíndice que los diferencia. Los subíndices pueden ser finitos y concretos, por ejemplo, X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ;
finitos pero en cantidad desconocida,
X 1 , X 2 , ..., Xn, donde n ∈ N,
o arbitrarios; un ejemplo de esto sería considerar
{Ai}i∈I ,
que se leería: la familia de conjuntos Ai donde i pertenece a I. Aquí I es el conjunto de subíndices que puede o no ser finito (en los ejemplos anteriores I = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, I = { 1 , 2 ,... , n} con n ∈ N y también I podría ser todo N).
Ejemplo 1.1.1. 1) Para cada i = 0, 1 ,... , 9 , definimos los conjuntos Xi como
Xi = {Españoles cuyo año de nacimiento termina en i}.
- Para cada n ∈ N, definimos el conjunto
An = {m ∈ Z | m es múltiplo de n}.
De esta forma se tiene una familia infinita {An}n∈N de conjuntos. En particular, si n = 5 se tiene A 5 = {... , − 10 , − 5 , 0 , 5 , 10 ,... }. Un conjunto que carece de elementos se denomina el conjunto vacío y se denota por ∅. Un conjunto con un único elemento se denomina unitario. Notemos que, si X = {x} es un conjunto unitario, debemos distinguir entre el conjunto X y el elemento x.
Subconjunto
Dados dos conjuntos A y B, si todo elemento de A es a su vez elemento de B diremos que A es un subconjunto de B y lo no- taremos A ⊂ B. En caso contrario se notará A 6 ⊂ B.
PRUEBA: La primera propiedad se sigue directamente de la definición. La demostración de (b) se sigue de la definición de subconjunto: todo elemen- to de A está en B, por ser A ⊂ B y, dado que es elemento de B, está en C por ser B ⊂ C. Así todo elemento de A está en C y hemos finalizado.
Los subconjuntos de A distintos de ∅ y A se denominan subconjuntos propios de A.
Complementario
Dado un conjunto A se define el complementario de A, notado por A o Ac, como
A = {x | x ∈ U, x /∈ A}.
A
U
Figura 1.2: Complementario
Dado A ⊂ U, se dan las siguientes igualdades:
∅ = U, U = ∅, A = A.
Nos detendremos solamente en la tercera de las anteriores propiedades. En efecto, por definición
A = {x | x ∈ U, x /∈ A},
pero para un x ∈ U, x /∈ A si y sólo si x ∈ A, por tanto los elementos de A son precisamente los de A.
Cardinal de un conjunto
Cuando A es un conjunto finito, el número de elementos de A se denomina cardinal de A y se notará ♯(A).
Unión de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B se define la unión de A y B, notado A ∪ B, como el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos, A ó B, es decir
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
U
A B
Figura 1.3: Unión
Ejemplo 1.1.4. 1) Sean A = {a, b, c} y B = { 2 , 5 , 7 , c, a}, entonces
A ∪ B = {a, b, c, 2 , 5 , 7 }.
- Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7 } y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3 }, entonces
A ∪ B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 7 }.
- Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}, entonces
A ∪ B = {Alumnos nacidos en día par o en los días impares de enero}.
Se definen de forma equivalente la unión de una cantidad finita de conjuntos A 1 , ..., An, que denotaremos
A 1 ∪ ... ∪ An =
⋃^ n
i=
Ai,
y la unión de una familia arbitrariamente grande de conjuntos {Ai}i∈I , que deno- taremos (^) ⋃
i∈I
Ai.
U
A B
Figura 1.4: Intersección
Ejemplo 1.1.5. 1) Sean A = {a, b, c} y B = { 2 , 5 , 7 , c, a}, entonces
A ∩ B = {a, c}.
- Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7 } y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3 }, entonces
A ∩ B = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 3 }.
- Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par}, entonces
A ∩ B = {Alumnos nacidos en los días pares de enero}. Se definen de forma equivalente la intersección de una cantidad finita de con- juntos A 1 , ..., An, y la intersección de una familia arbitrariamente grande de con- juntos {Ai}i∈I , que denotaremos, respectivamente,
A 1 ∩ ... ∩ An =
⋂^ n
i=
Ai, y
i∈I
Ai.
Si A y B son dos conjuntos tales que A ∩ B = ∅ se dice que A y B son disjuntos.
Propiedades de la intersección
La intersección de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para cualesquiera conjuntos A, B y C:
(a) Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A.
(b) Asociativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
(c) A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B.
(d) ∅ ∩ A = ∅.
(e) A ⊂ B si y sólo si A ∩ B = A.
PRUEBA: (a) Los elementos de A ∩ B son los que pertenecen a A y a B que, evidentemente, son los mismos elementos que pertenecen a B y a A, es decir A ∩ B = B ∩ A. La prueba de (b) se hace igual. (c) Sea a ∈ A ∩ B. Entonces a ∈ A pues el elemento a verifica que está en A y en B. Análogamente B ∩ A ⊂ B. (d) Probaremos esta propiedad por doble inclusión. Por (c) tenemos que A∩∅ ⊂ ∅. La inclusión contraria se tiene pues sabemos que el ∅ es subconjunto de todos los conjuntos, en particular es ∅ ⊂ ∅ ∩ A. (e) Supongamos que A ⊂ B. Para probar que A ∩ B = A basta probar que A ⊂ A ∩ B, pues la otra inclusión la tenemos por (c). Sea x ∈ A, entonces x ∈ B pues A ⊂ B. Es decir x ∈ A ∩ B. Recíprocamente, supongamos que A ∩ B = A. Entonces, por (c) tenemos A = A ∩ B ⊂ B.
Diferencia de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia de A y B, notada A \ B, como el conjunto formado por los elementos de A que no están en B, es decir
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.
Se tiene que A \ B = A ∩ B. En efecto, sea x ∈ A \ B. Entonces x ∈ A y x /∈ B, luego x ∈ A y x ∈ B, es decir x ∈ A ∩ B. Para demostrar la inclusión contraria basta leer la demostración anterior de derecha a izquierda.
U
A B
Figura 1.5: Diferencia
Ejemplo 1.1.6. 1) Sean A = {a, b, c} y B = { 2 , 5 , 7 , c, a}, entonces
A \ B = {b}.
Veremos ahora algunas propiedades más de los conjuntos y demostraremos algunos resultados fundamentales utilizando la técnica de la doble inclusión.
Proposición 1.1.8. Sean A ⊂ B dos conjuntos. Entonces A ∪ (B \ A) = B y A ∩ (B \ A) = ∅.
PRUEBA: Ambas pruebas son sencillas. Veamos la primera afirmación. Sea x ∈ A ∪ (B \ A). Si x ∈ A es x ∈ B, pues A ⊂ B. En caso contrario x ∈ B \ A, es decir x ∈ B. Por tanto A ∪ (B \ A) ⊂ B. Recíprocamente, sea x ∈ B. Si x ∈ A, entonces x ∈ A ∪ (B \ A). En caso contrario, x /∈ A, luego x ∈ B \ A y x ∈ A ∪ (B \ A). Por tanto B ⊂ A ∪ (B \ A).
Leyes distributivas - Leyes de De Morgan
Dados tres conjuntos A, B y C se verifican las siguientes igual- dades:
(a) Leyes distributivas:
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
(b) Leyes de De Morgan (supongamos A, B ⊂ C):
C(A∪B) = (C\A)∩(C\B), C(A∩B) = (C\A)∪(C\B)
PRUEBA: Probaremos una de las leyes distributivas y una de las leyes de De Morgan; las restantes quedan como ejercicio por ser simétricas a las probadas. Ambos resultados se probarán por doble inclusión. Veamos que A∩(B ∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C). Para ello tomemos un elemento arbitrario x ∈ A ∩ (B ∪ C). Esto quiere decir que x está en A y además en B ó en C. Esto implica que, bien está en A ∩ B, bien está en A ∩ C. En cualquier caso x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Demostremos ahora que (A∩B)∪(A∩C) ⊂ A∩(B ∪C). Si consideramos un elemento cualquiera y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y ha de pertencer a A ∩ B o a A ∩ C. Por tanto, bien está en A y en B o en A y en C. En cualquier circunstancia ha de estar en A y al menos en uno de los otros dos conjuntos B ó C. De aquíy ∈ A y además y ∈ B ∪ C. Pasemos a probar la segunda ley de De Morgan. Veamos primero C \ (A ∩ B) ⊂ (C \ A) ∪ (C \ B). Un elemento x de C \ (A ∩ B) ha de estar en C, pero
no en A ∩ B, por lo que no puede estar en al menos uno de los dos conjuntos A ó B. Así, x ha de pertenecer, bien a C \ A, bien a C \ B. En cualquier caso x ∈ (C \ A) ∪ (C \ B). Si tomamos ahora un elemento z ∈ (C \ A) ∪ (C \ B), observemos que z ha de estar, bien en C \ A, bien en C \ B, por lo que debe estar en C y no estar en A o en B. Así, z ∈ C, pero nunca puede estar en A ∩ B, por lo que z ∈ C \ (A ∩ B).
Notemos que si en el apartado (b) del teorema anterior tomamos C = U, el conjunto universal, la leyes de De Morgan nos dicen que:
A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B.
A B
C
A B
C
Figura 1.7: Ley distributiva
A B
C
A B
C
Figura 1.8: Ley de De Morgan
Partes de un conjunto
Dado un conjunto X, se define el conjunto de las partes de X, notado P(X), como el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de X.
Dado (a, b) ∈ A × B, el elemento a ∈ A (respectivamente b ∈ B) se suele denominar primera (segunda) componente del par.
Ejemplo 1.2.1. Sean A = {a, b, c} y B = {b, 1 , 2 , 3 }. Entonces:
A×B = {(a, b), (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, b), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}
También se puede definir el producto cartesiano de una cantidad finita de con- juntos (para cantidades infinitas hay dos posibles generalizaciones y no las vere- mos por ahora ) de la forma natural
A 1 × ... × An =
∏^ n
i=
Ai = {(a 1 , ..., an) | ai ∈ Ai, para i = 1, ..., n}.
Correspondencia
Una correspondencia G de A en B es un subconjunto del pro- ducto A × B. Equivalentemente se puede definir como una regla que asocia algunos elementos de A con algunos elementos de B. Concretamente, G asocia a ∈ A con b ∈ B si (a, b) ∈ G.
Ejemplo 1.2.2. Sean A = {a, b, c} y B = {b, 1 , 2 , 3 } los conjuntos del ejemplo anterior. Entonces G = {(a, 1), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 3)} es una correspondencia de A en B.
Las correspondencias se pueden representar como sigue:
a^ b
c
b
1 2 3
A B
Figura 1.9: Correspondencia
Es claro que la representación del ejemplo anterior es posible por trabajar con conjuntos finitos (y con pocos elementos). Si los conjuntos son infinitos, las correspondencias (no finitas) se tienen que dar definiendo propiedades de los pares que la componen. Por ejemplo, si A = Z, B = N una correspondencia es G = {(x, y) | x es par, y es impar}.
Relación
Sea A un conjunto. Una relación R definida en A es una corres- pondencia de A en sí mismo.
Ejemplo 1.2.3. Sea A = {a, b, c}. Entonces R = {(a, a), (a, c), (b, c)} es una relación en A.
Si el par (x, y) ∈ A × A está en R, diremos que x está R–relacionado con y, o relacionado con y por R. Esto se notará frecuentemente xRy (nótese que el orden es importante).
Sea R una relación en A. Entonces diremos que R es:
(a) Reflexiva cuando para todo x ∈ A se tiene que xRx.
(b) Simétrica cuando xRy siempre implica yRx.
(c) Antisimétrica cuando, si tenemos xRy e yRx, entonces x = y necesariamente.
(d) Transitiva si tenemos xRy e yRz siempre es xRz.
Relaciones de orden y de equivalencia
Las relaciones reflexivas, simétricas y transitivas se denominan relaciones de equivalencia. Las relaciones reflexivas, antisimé- tricas y transitivas se denominan relaciones de orden.
Ejemplo 1.2.4. 1) En el conjunto Z definimos las relaciones siguientes:
xRy ⇐⇒ x ≤ y, xSy ⇐⇒ x − y es par, xT y ⇐⇒ x divide a y
a) R es una relación de orden (de hecho, las relaciones de orden se denominan así por ser éste el ejemplo fundamental). En efecto:
- Reflexiva: ∀n ∈ Z se tiene que n ≤ n, luego nRn.
Ejemplo 1.2.5. Vamos a calcular las clases de equivalencia de las relaciones del ejemplo anterior.
- En Z consideramos la relación de equivalencia S, nSm si n − m es par. Sea n un número par. Entonces m ∈ Z está relacionado con n si m − n = 2k es par, luego m = n + 2k es par. Luego todos los elementos de la clase de equivalencia de n son pares. Recíprocamente, si m es par se tiene que n − m es par. Por tanto, la clase de equivalencia de n, S(n), es el conjunto de todos los números pares. Si n es impar, es fácil ver que la clase de equivalencia S(n) es el conjunto de todos los números impares. Notar que si n 1 y n 2 son ambos números pares (impares) entonces S(n 1 ) = S(n 2 ). De aquíse sigue que en este ejemplo sólo tenemos dos clases de equiva- lencia, por ejemplo S(0) = {enteros pares} y S(1) = {enteros impares}. Nótese también que S(0) ∩ S(1) = ∅ y que Z = S(0) ∪ S(1). En el teorema siguiente se probará que estas propiedades se verifican en cualquier relación de equivalencia.
- Calcularemos las clases de equivalencia de la relación, en P(U), definida por: ∀B, C ∈ P(U), BRC si A ∩ B = A ∩ C, siendo A un conjunto fijo. Estudia- remos, primero, un caso particular que nos servirá para entender mejor el caso general. Supongamos que el conjunto A que fijamos tiene sólo dos elementos, A = {x, y}. Veamos que, en este caso, sólo existen 4 clases de equivalencia: R(∅), R(A), R({x}) y R({y}). En efecto: sea B un conjunto cualquiera. Las posibilidades para A ∩ B son
- A ∩ B = ∅ = A ∩ ∅, de donde BR∅ y B ∈ R(∅).
- A ∩ B = A = A ∩ A, de donde BRA y B ∈ R(A).
- A ∩ B = {x} = A ∩ {x}, de donde BR{x} y B ∈ R({x}).
- A ∩ B = {y} = A ∩ {y}, de donde BR{y} y B ∈ R({y}).
Observemos que en este ejemplo también se tiene que las cuatro clases ante- riores no tienen ningún elemento en común y que la unión de todas ellas es P(U). Pasemos al caso general. Sea A un conjunto cualquiera. Veamos que exis- ten tantas clases de equivalencia como subconjuntos de A, es decir tantas como ♯(P(A)). 2-1) Si A 1 , A 2 ⊂ A son distintos, entonces R(A 1 ) 6 = R(A 2 ). En efecto: A 1 y A 2 no están relacionados ya que A ∩ A 1 = A 1 6 = A 2 = A ∩ A 2. 2-2) Todo conjunto B pertenece a la clase de equivalencia de un subconjunto de A. En efecto: basta tomarA ∩ B ⊂ A, entonces A ∩ (A ∩ B) = (A ∩ A) ∩ B = A ∩ B, luego B ∈ R(A ∩ B).
Hemos visto en los ejemplos anteriores que las clases de equivalencia distin- tas no tienen ningún elemento en común, y que la unión de todas la clases es el
conjunto total. Veamos que esta es una propiedad de cualquier relación de equi- valencia.
Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A. Enton- ces se verifican las siguientes propiedades:
(a) Todo elemento pertenece a una clase de equivalencia.
(b) Dos clases de equivalencia son disjuntas o iguales.
Esto es, la relación R divide completamente al conjunto A en subconjuntos disjuntos (las clases de equivalencia).
PRUEBA: La afirmación (a) es trivial, ya que R es reflexiva. Para probar (b) supongamos que tenemos dos clases de equivalencia R(x) y R(y) de tal forma que existe z ∈ R(x) ∩ R(y). Tenemos que demostrar entonces que R(x) = R(y), y lo haremos por doble inclusión. De hecho, sólo probaremos que R(x) ⊂ R(y), porque la otra inclusión es absolutamente simétrica. Tomamos entonces a ∈ R(x). Como z ∈ R(x), tenemos que aRx y xRz, por lo que aRz. De la misma forma, como z ∈ R(y), se verifica que zRy. Así tenemos aRy, luego a ∈ R(y). Observemos que hemos usado tanto la propiedad simétrica como la transitiva para demostrar (b).
Corolario 1.2.6. Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A, x, y ∈ A. Se tiene que las clases de equivalencia de x e y son iguales, R(x) = R(y), si y sólo si xRy.
Conjunto cociente
Dada una relación de equivalencia R definida sobre un conjunto A, el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de A por R se denomina conjunto cociente de A por R. La notación usual es A/R = {R(x) | x ∈ A}.
Ejemplo 1.2.7. Veamos los conjuntos cocientes de los ejemplos anteriores.
Ejemplo 1.3.2. 1) Sea f : R → R la correspondencia dada por
(a, b) ∈ f si b^2 = a.
La correspondencia f no es aplicación, pues no todos los elementos de R poseen una imagen (si a < 0 , no existe b ∈ R con b^2 = a.)
Consideremos la correspondencia anterior donde la primera componente la su- ponemos en R+^ (los números reales positivos), es decir f ⊂ R+^ × R. En este caso, todos los elementos de R+^ tienen una imagen, pero f no es aplicación, pues la imagen no es única. Por ejemplo, (4, 2) ∈ f y (4, −2) ∈ f.
Si consideramos f : R+^ → R+, definida por
f (a) = b si b^2 = a,
si es aplicación.
- La correspondencia
f : Z − { 1 } → Q, f (n) =
n n − 1
es aplicación.
- Sea A un conjunto fijo. Definimos
f, g : P(U) → P(U) f (B) = A ∩ B, g(B) = A ∪ B.
Ambas son aplicaciones.
- Sea X un conjunto cualquiera. Siempre se tiene la aplicación
f : X → X, definida por f (x) = x, ∀x ∈ X,
que llamaremos aplicación identidad y notaremos por (^1) X.
- Sean X, Y conjuntos cualesquiera, y 0 ∈ Y un elemento fijo. Siempre se tiene la aplicación
g : X → Y definida por g(x) = y 0 , ∀x ∈ X,
que llamaremos aplicación constante.
Imagen y anti-imagen
Dada una aplicación f : X −→ Y y subconjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y , definimos:
(a) La imagen de A (o imagen directa de A), notada f (A), como
f (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A con f (x) = y} ⊂ Y,
esto es, el conjunto de elementos del conjunto imagen que son imagen de un elemento de A. Si A = X se denota f (X) = im(f ) y se denomina imagen de f.
(b) La anti–imagen (o contraimagen, o imagen recíproca o imagen inversa) de B, notada f −^1 (B), como
f −^1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} ⊂ X,
esto es, el conjunto de elementos del conjunto original cuya imagen está en B.
Nota 1.3.3. En general, si f : X → Y es una aplicación, f (X) 6 = Y. Basta tomar la última aplicación del ejemplo anterior. Sí se verifica siempre que f −^1 (Y ) = X.
Ejemplo 1.3.4. 1) Consideremos la aplicación
f : Z → Z definida por f (n) = 2n,
y A = {− 1 , 0 , 4 , 5 }. Entonces f (A) = {− 2 , 0 , 8 , 10 }, y la imagen de f es im(f ) = {enteros pares}. Sean B 1 = { 2 , 3 , 8 , − 4 , − 1 }, B 2 = { 1 , 3 }. Se tiene que
f −^1 (B 1 ) = { 1 , 4 , − 2 }, f −^1 (B 2 ) = ∅.
- Sea la aplicación
f : R → R definida por f (x) = x^2 ,
A = [0, 2]. Entonces f (A) = [0, 4], pues ∀x ∈ [0, 4], existe
x ∈ [0, 2] tal que f (
x) = x. En este caso, la imagen de f es im(f ) = [0, +∞), los números reales no negativos.
