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Tema 0. INTRODUCCI ´ON.
1.- Conjuntos, n´umeros y operaciones con n´umeros.
Un conjunto es una colecci´on de objetos bien definida. Existen fundamentalmente dos formas de describir un conjunto -) Dando la lista de sus elementos, en cualquier orden, entre llaves. -) Por propiedades que cumplen los elementos del conjunto y s´olo ellos.
Ejemplos:
A = { 1 , 2 , 3 , 4 }
B = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , · · · , 100 } C = { 2 , 4 , 6 , · · ·}
B = {x / x es un n´umero par entre 1 y 101}
Podemos observar que: 4 ∈ A (es decir, 4 pertenece a A) 5 ∈/ A (5 no pertenece a A)
Definici´on: Dados dos conjuntos, X e Y , se dice que X es un subconjunto de Y cuando todo elemento de X tambi´en es un elemento de Y. Se denota por X ⊂ Y. Podemos observar que, en el ejemplo anterior, B ⊂ C.
N´umeros reales.
Los conjuntos de n´umeros que manejaremos son:
N´umeros naturales: N = { 1 , 2 , 3 , · · ·}
N´umeros enteros: Z = {· · · , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , · · ·}
N´umeros racionales: Q =
{a b
/ a ∈ Z, b ∈ Z, b 6 = 0
Observemos que N ⊂ Z, Z ⊂ Q ( por ejemplo, −5 = − 15 ∈ Q)
Expresi´on decimal de los n´umeros racionales: Es siempre o finita o peri´odica.
Ejemplos:
Expresi´on decimal de los n´umeros irracionales: Es infinita y no peri´odica. Ejemplos:
2 = 1, 414213 ..., π = 3, 141592 ..., e = 2, 718281 ....
El conjunto R de los n´umeros reales est´a formado por todos los n´umeros racionales o irracionales.
Ejemplos: π ∈ R, 7 ∈ R,
La recta real. Cada n´umero real se representa como un punto de una recta. Se iden- tifica cada n´umero con el punto correspondiente.
Propiedades de los n´umeros reales Sean a, b y c n´umeros reales.
- Propiedad conmutativa de la suma y el producto. a + b = b + a, ab = ba
Ejemplos: 4 + (−3) = (−3) + 4, 5 · 7 = 7 · 5.
- Propiedad asociativa de la suma y el producto.
(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) Ejemplos: (3 + 7) + 5 = 3 + (7 + 5), (3 · 7) · 5 = 3 · (7 · 5)
Esta propiedad nos dice que, al sumar tres n´umeros, no importa cu´ales de ellos son los primeros que se suman. Lo mismo sucede al multiplicar tres n´umeros.
A causa de ello, no es necesario escribir el par´entesis en las expresiones anteriores. Y se escribe, simplemente, 3 + 7 + 5 en el primer caso y 3 · 7 · 5 en el segundo.
- Cada elemento a tiene un opuesto expresado como −a tal que
a + (−a) = 0
Ejemplos: a) −(−7) = 7 (Es decir, el opuesto de −7 es 7, ya que (−7) + 7 = 0) b) −(−a) = a c) −(a + b) = (−a) + (−b)
- Cada elemento a (a 6 = 0) tiene un inverso expresado como a−^1 o (^) a^1 tal que
a · a−^1 = 1
3(x − y^2 + 5z) = 3x − 3 y^2 + 15z 4(xy) = 4xy (es la propiedad asociativa, no la distributiva)
Otras propiedades de los n´umeros reales. (Los denominadores se suponen distintos de cero)
a · b a · c
b c (simplificaci´on de cocientes) ( Ejemplo:
a b
c d ⇐⇒ a · d = b · c (igualdad de cocientes)
(El s´ımbolo ⇐⇒ significa equivale a ) ( Ejemplo:
porque 8 · 9 = 12 · 6 )
a b
c d
ac bd
(producto de cocientes)
- a · b c
ab c
a b c d
a b
d c
ad bc (cociente de cocientes)
a c
b c
a + b c (suma de cocientes)
a c
b c
a − b c (resta de cocientes)
a c
b d
ad cd
cb cd
ad + cb cd (suma de cocientes)
a c
b d
ad cd
cb cd
ad − cb cd
(resta de cocientes)
a −b
a b
−a b
Ejercicios: Calcula y/o simplifica, si es posible.
− 15 x − 3 y (Sol: − 15 x − 3 y
15 x 3 y
5 x y
(Sol:
(Sol:
(Otra forma de verlo:
(Sol:
x/y (Sol:
x/y
y x
6 y x
(Otra forma de verlo:
x/y
x/y
6 y x
2 x + 10 2 (Sol: 2 x + 10 2
2(x + 5) 2 = x + 5.)
(Otra forma de verlo: 2 x + 10 2
2 x 2
= x + 5)
x^3 + 2x^2 x^3 − x^2
(Sol: x^3 + 2x^2 x^3 − x^2
x^2 (x + 2) x^2 (x − 1)
x + 2 x − 1
Prioridad en las operaciones
Cuando hay varias operaciones con n´umeros reales, el orden en que deben hacerse es: (1) Par´entesis. (2) Potencias. (3) Multiplicaciones y divisiones. (4) Sumas y restas.
En caso de haber operaciones con la misma prioridad (por ejemplo, sumas y restas) se hacen de izquierda a derecha.
Ejemplos.- (a) − 42 + 3 = −16 + 3 = −13. (b) (−4)^2 + 3 = 16 + 3 = 19. (c) 5 + 4 · 8 = 5 + 32 = 37 (d) (5 + 4) · 8 = 9 · 8 = 72.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas: x^3 − 5 x^2 + 8, 3 x^2 y − 9 x^2 y, 4 x − (^5) y + 9.
Los bloques que aparecen sumando en cada expresi´on algebraica se llaman t´erminos.
La expresi´on algebraica x^3 − 5 x^2 + 8 tiene tres t´erminos: x^3 , − 5 x^2 y 8.
Cada t´ermino tiene un coeficiente y una parte literal.
- (x − y)^2
- (x + y)(x − y)
Soluci´on:
- (x + y + z)(a + b) = xa + xb + ya + yb + za + zb
- (x + y)^2 = (x + y) · (x + y) = x · x + x · y + y · x + y · y = x^2 + 2xy + y^2
- (x − y) · (x − y) = x · x − x · y − y · x + y · y = x^2 − 2 xy + y^2
- (x + y)(x − y) = x^2 − xy + yx − y^2 = x^2 − y^2
Igualdades notables. Son especialmente importantes los tres ´ultimos resultados del ejercicio anterior
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 (Cuadrado de la Suma)
(x − y)^2 = x^2 − 2 xy + y^2 (Cuadrado de la Diferencia)
(x + y)(x − y) = x^2 − y^2 (Suma por Diferencia)
2.- Potencias y radicales.
En una potencia an, la base es a y el exponente es n.
Definici´on. Sea a ∈ R, n ∈ N.
an^ = a · a · · · a (n factores) a^0 = 1 (para a 6 = 0)
a−n^ =
an^ (para a 6 = 0)
Ejemplos.-
(a) (−2)^3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8. (b) 0^0 no est´a definido. (c) 2−^3 =
Hemos definido las potencias an^ con n ∈ Z, (es decir, n es un entero positivo, negativo o cero).
Propiedades b´asicas de las potencias. Sean a ∈ R, b ∈ R, n ∈ Z.
- am^ · an^ = am+n^ ( Ejemplo: 3^2 · 33 = 3^5 )
am an^ = am−n^ =
an−m^ ( Ejemplos:
= 2^7 ,
x^2 x^6 = x−^4 =
x^4
- (ab)n^ = an^ bn^ ( Ejemplo: (5x)^3 = 5^3 x^3 = 125x^3 )
(a b
)n
an bn^ ( Ejemplo:
- (am)n^ = amn^ ( Ejemplos: (2^3 )^4 = 2^12 , (3−^2 )^4 = 3−^8 )
¿C´omo pasar a positivo un exponente negativo?
Ax−n B
A · (^) x^1 n B
A
Bxn^ (Ejemplo:
3 · 2 −^5
A
Bx−n^
A
B · (^) x^1 n
Axn B (Ejemplo:
5 · 4 −^3
NOTA: Lo anterior puede hacerse s´olo cuando x−n^ aparezca multiplicando a todo el
numerador o a todo el denominador. Por ejemplo, no podr´ıa hacerse en
4 + 3−^2
¿C´omo podr´ıa dejarse mejor la anterior expresi´on? As´ı:
5 4 + 3−^2
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Ejercicios: Calcula o simplifica las siguientes expresiones.
- (−2)−^5 (Sol.: (−2)−^5 =
(−2)^5
2 x−^3 (2x)^2
(Sol.: 2 x−^3 (2x)^2
2 x−^3 22 x^2
22 x^2 x^3
2 x^5
x^3 y−^2
(Sol.:
x^3 y−^2
(x^3 )−^3 (y−^2 )−^3
x−^9 y^6
x^9 y^6
Radicales. Sea n ∈ N. Si an^ = x decimos que a es una ra´ız n-´esima de x. ¿Ra´ız c´ubica de −8? −2. Porque (−2)^3 = −8. ¿Ra´ız cuadrada de 9? Hay dos: 3 y −3. El s´ımbolo n
x representa la ra´ız n-´esima principal. Es
- Extrae fuera de la ra´ız
27 x^3 y^4 z todos los t´erminos posibles (Sol.:
27 x^3 y^4 z =
26 · 2 · x^2 · x · y^4 · z =
x^2 ·
y^4 ·
2 xz = 2^3 x y^2
2 xz)
3.- Ecuaciones.
¿Qu´e pasos damos para resolver una ecuaci´on de primer grado?
Por ejemplo, para la ecuaci´on 4 x − 12 = 16.
Sumo 12 en los dos miembros: 4 x − 12 + 12 = 16 + 12 → 4 x = 28
Divido entre 4 los dos miembros: 4 x 4
→ x = 7
En la pr´actica, los pasos anteriores los damos directamente as´ı:
4 x − 12 = 16 =⇒ 4 x = 28 =⇒ x =
=⇒ x = 7
En general, las siguientes operaciones pasan de una ecuaci´on a otra ecuaci´on equiva- lente.
- Sumar o restar un mismo n´umero en los dos miembros.
- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo n´umero no nulo.
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
x 3
x 5 (Sol.: x = 30)
x + 2 3
2 − x 6 = x − 2 (Sol.: x = 14/3)
4 x − 5 6
2 x 3 = 4 (No tiene soluci´on)
Ecuaciones de segundo grado. La ecuaci´on general de segundo grado tiene el aspecto
ax^2 + bx + c = 0 (a 6 = 0)
Las ecuaciones incompletas, como por ejemplo, las siguientes, son muy f´aciles de re- solver.
Ejemplos: (Ecuaciones de segundo grado incompletas)
- x^2 − 3 x = 0 se puede resolver factorizando el primer miembro.
x(x − 3) = 0 ⇒
x= o x − 3 = 0 → x=
- La ecuaci´on x^2 − 4 = 0 equivale a x^2 = 4. Entonces x = ±
4 = ±2. (es decir, x = 2 o x = −2).
- La ecuaci´on x^2 + 9 = 0 equivale a x^2 = −9. No tiene soluci´on.
Para el caso general la f´ormula siguiente proporciona las soluciones.
ax^2 + bx + c = 0 =⇒ x = −b ±
b^2 − 4 ac 2 a
NOTA. Se llama discriminante de la ecuaci´on a ∆ = b^2 − 4 ac. Si ∆ es positivo, existen dos soluciones de la ecuaci´on. Si ∆ = 0, existe s´olo una soluci´on. Si ∆ es negativo, no existe soluci´on.
Ejemplo. Resolvemos la ecuaci´on 2x^2 − 7 x + 6 = 0. Ahora a = 2, b = −7, c = 6.
x =
(−7)^2 − 4 · (2) · (6)
Tenemos dos soluciones: x 1 =
= 2, x 2 =
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
- − 2 x^2 + 10x + 12 = 0 (Soluci´on: x 1 = −1, x 2 = 6)
- x^2 + 2x + 2 = 0 (No tiene soluci´on)
- x^2 + 8x = 0 (Soluci´on: x 1 = 0, x 2 = −8)
- x^2 − 12 = 0 (Soluci´on: x 1 =
12, x 2 = −
- (x − 3)(1 − x) = 1 (Soluci´on: x 1 = x 2 = 2)
4.- Desigualdades.
a > b significa a es mayor que b. Otros s´ımbolos son: < (menor), ≤ (menor o igual), ≥ (mayor o igual).
Ejemplos: 2 ≤ 4, 5 ≥ 5, − 2 > −5, − 3 < 0.
Propiedades de las desigualdades.
- a < b y b < c =⇒ a < c. (Propiedad transitiva). (El s´ımbolo =⇒ significa implica. De modo que lo anterior nos dice que: a es menor que b y b es menor que c implica que a es menor que c. El s´ımbolo =⇒ tambi´en puede entenderse como Si..... entonces...... De modo que la propiedad anterior significa que: Si a < b y b < c entonces a < c.)
- a < b =⇒ a + c < b + c.
- a < b =⇒ a − c < b − c. Sumar o restar un mismo n´umero en los dos t´erminos de una desigualdad mantiene el sentido de la desigualdad.
- a < b y c > 0 =⇒ a · c < b · c.
- a < b y c > 0 =⇒ a c
b c
Multiplicar o dividir por un mismo n´umero positivo los dos t´erminos de una desigualdad mantiene el sentido de la desigualdad.
- a < b y c < 0 =⇒ a · c > b · c.
- a < b y c < 0 =⇒ a c
b c
Multiplicar o dividir por un mismo n´umero negativo los dos t´erminos de una desigualdad cambia el sentido de la desigualdad.
Cambiando a < b por a ≤ b se obtienen propiedades an´alogas.
Ejemplos.-
4 < 8 =⇒ (−1) · (4) > (−1) · (8) =⇒ − 4 > − 8 5 x ≥ 4 x + 2 =⇒ 5 x − 4 x ≥ 2 =⇒ x ≥ 2
Intervalos. Una expresi´on como 2 < x ≤ 3 significa dos desigualdades simult´aneas: 2 < x , x ≤ 3.
El conjunto formado por los x que cumplen estas desigualdades se expresa as´ı: {x ∈ R / 2 < x ≤ 3 }. Esto se lee como el conjunto de los x pertenecientes a IR tales que 2 es menor que x y x es menor o igual que 3.
Este conjunto es un ejemplo de intervalo y se denota como (2, 3]. Veamos los distintos tipos de intervalos.
Intervalos acotados. Sean a, b ∈ R, siendo a < b.
[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} (intervalo cerrado) (a, b) = {x ∈ R / a < x < b} (intervalo abierto) [a, b) = {x ∈ R / a ≤ x < b} (a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}
Intervalos no acotados.
[a, +∞) = {x ∈ R / a ≤ x} (−∞, a) = {x ∈ R / x < a} (a, +∞), (−∞, a], (−∞, +∞) = R
Ejemplos.
(−∞, 4] = {x ∈ R / x ≤ 4 }, [
2 , 3) = {x ∈ R /
2 ≤ x < 3 }
Inecuaciones de primer grado. Un ejemplo.
Queremos resolver una inecuaci´on como x − 2
Multiplicamos por (−2) en los dos t´erminos. (Al multiplicar por un n´umero negativo, cambia el sentido de la desigualdad)
(−2) · x − 2
x > 8
El conjunto soluci´on es {x ∈ R / x > 8 } = (8, +∞)
Ejercicios: Resuelve las siguientes inecuaciones.
7.-L´ogica.
Implicaci´on.
P =⇒ Q (se lee “P implica Q”)
significa que, cuando P es cierta, tambi´en lo es Q.
Ejemplos.-
(a) xy = 0 =⇒ x = 0 ´o y = 0. (b) x es alumno/a de esta clase =⇒ x tiene m´as de 16 a˜nos. (c) x es m´ultiplo de 6 =⇒ x es m´ultiplo de 2.
Equivalencia. P ⇐⇒ Q
significa la doble implicaci´on, P =⇒ Q y Q =⇒ P. P ⇐⇒ Q se lee “P si y s´olo si Q”. O tambi´en “P es equivalente a Q”.
Ejemplos.-
(a) xy = 0 ⇐⇒ x = 0 ´o y = 0.
(b) 3 x − 2 = 5 ⇐⇒ 3 x = 7. (c) x es m´ultiplo de 6 =⇒ x es m´ultiplo de 2. ¿⇐=? No. (Contra)ejemplo: x = 4.
Condici´on necesaria y suficiente. “P es una condici´on suficiente para Q” significa: P =⇒ Q. “Q es una condici´on necesaria para P ” significa: P =⇒ Q. “P es una condici´on necesaria y suficiente para Q” significa: P ⇐⇒ Q.
Ejemplo: Consideremos las afirmaciones siguientes: P : “x es un n´umero real mayor que 5”. Q: “x es un n´umero real mayor que 20”.
Observamos que Q =⇒ P. Tambi´en podemos decir que “ser mayor que 5” es condici´on necesaria para “ser mayor que 20”. Y tambi´en es correcto decir que ‘ser mayor que 20” es condici´on suficiente para “ser mayor que 5”.
