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Capítulo
Los números: desde los naturales hasta
los reales
Matemáticas de Nivelación en Internet^1
Observación
El concepto más simple de número nace de la necesidad que encuentra el hombre en tiempos remotos, de contar el número de unidades de los conjuntos de objetos que encuentra alrededor. El hombre primitivo, probablemente, empezó a contar utilizando los dedos de sus manos, que pueden considerarse la primera máquina de calcular. De aquí proviene la numeración en base 10 que usamos actualmente. Los mayas y los aztecas también utilizaron los dedos de los pies, adoptando numeraciones en base 20. Los sumerios, inventores de la más antigua escritura conocida y los babilonios adoptaron sistemas de numeración en base 60. El motivo de tal elección es desconocido, pero su influencia se extiende hasta hoy manifestándose, por ejemplo, cada vez que consultamos la hora (que se divide en 60 minutos y cada uno de estos en 60 segundos).
A medida que se hizo necesario el utilizar cantidades mayores, comenzaron a perfeccionarse los artilugios de cálculo. Del uso de los dedos se pasó a las muescas en madera o en huesos de animales y a la agrupación de guijarros. De hecho, la palabra “cálculo” procede de la voz latina cálculus , que significa “pequeño guijarro”. Este es, además, el origen de la primera numeración escrita de la historia: en torno al milenio IV a. C., en el golfo Pérsico, los guijarros empezaron a reemplazarse por marcas en arcilla, cuyo tamaño y forma representaba distintos valores (una marca pequeña equivalía a la unidad, una bola, a la decena, una esfera grande, la centena, ...).
El avance de la numeración escrita fue pareja con el de la escritura. En el milenio II a. C. los fenicios desarrollaron la escritura alfabética y después muchos pueblos, como griegos, judíos, cristianos y árabes, tuvieron la idea de escribir los números utilizando las letras de su alfabeto.
Los números alcanzaron un grado mágico-religioso: en Babilonia atribuyeron un número particu- lar a cada uno de los dioses de su panteón y la escuela de Pitágoras atribuía a cada uno de los números una personalidad propia y afirmaba que todo lo que existe es un número. Platón expresó que los números constituían la esencia misma de la armonía cósmica e interior.
A medida que el hombre avanzaba en el estudio de la naturaleza, el universo de los números abar- caba un grado mayor de complejidad. Por ejemplo, si un contable debía restar a una cantidad dada otra mayor que ésta, el resultado no era un número “natural”, sino una “deuda”. En la matemática egipcia aparecieron lo que hoy llamamos fracciones del tipo 1/2, 3/2, todavía no como núme- ros con identidad propia, sino razones entre números naturales. El desarrollo del razonamiento matemático condujo a lo que llamaron “razones inconmensurables”, como
El cero apareció en la numeración árabe (también en la maya) y en la Europa del siglo XVI se introdujo un número (al que más tarde se llamó i, unidad imaginaria) tal que al multiplicarlo por sí mismo da como resultado − 1.
(^1) Copyright c© J. Rafael Rodríguez Galván. Este documento es libre. Se otorga permiso para copiarlo, distribuirlo y/o modificar- lo bajo los términos de la Licencia de Documentación Libre GNU, versión 1.2 o cualquier otra versión posterior publicada por la Fundación de Software Libre, http://es.gnu.org/Licencias/fdles.html
2 Los números: desde los naturales hasta los reales
Cada cultura inventó su propio sistema de numeración, de los cuales hoy solamente utilizamos el romano (I, II, III, IV, ..) y el árabe-hindú ( 1 , 2 , 3 , 4 ...).
1.1. Los números naturales
Al tipo de número más simple, que surge al hombre de forma espontánea en tiempos prehistóricos para contar objetos, se les llama números naturales. Formalmente, un número natural, se puede definir como el cardinal o número de elementos de un conjunto^2.
El conjunto de todos los números naturales se representa con el símbolo N y está formado por N = {1, 2, 3, 4, 5,... }.
Sobre los números naturales definimos las operaciones aritméticas suma y producto, así como sus inversas, resta y la división (todas estas operaciones serán tratadas con más detalle en próximos capítulos).
1.2. Los números enteros
Pero la resta de números naturales no siempre tendrá solución en N, por ejemplo, 3 − 7 (pues la solución sería 3 − 7 = − 4 6 ∈ N). Para salvar esta dificultad, es necesario introducir un concepto de número más amplio: los números enteros , conjunto formado por los números naturales junto con todos los números negativos y el cero (que se puede definir como el cardinal o número de elementos del conjunto vacío). Lo designamos con el símbolo Z:
Z =
Enteros negativos ︷ ︸︸ ︷
... , −3, −2, −1 , 0,
Enteros positivos ︷ ︸︸ ︷ 1, 2, 3,...
En el conjunto de los números enteros siempre tiene sentido la operación resta, pero no siempre tendrá sentido la división. Por ejemplo, 10 5
(^2) La definición abstracta del número natural puede llevarse a cabo de forma sencilla siguiendo la idea de “número de objetos de un conjunto”. Para ello, llamamos cardinal de un conjunto finito, A, a la cantidad de elementos contenidos en el conjunto y lo representamos como card(A). Denotamos a los cardinales de los conjuntos
{a}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, c, d}, {a, b, c, d, e}
mediante los símbolos (respectivamente): 1, 2, 3, 4, 5,... Es preciso señalar aquí que la definición de estos números no depende del conjunto concreto que se elija antes de tomar su cardinal, pues todos los conjuntos biyectivos tienen el mismo número de elementos. Así, por ejemplo,
3 = card{a, b, c} = card{‘‘blanco′′, ‘‘verde′′, ‘‘azul′′} =...
En definitva, todos los conjuntos entre los que se pueda establecer una biyección tienen el mismo cardinal, y éste cardinal común lo llamamos número natural. Además, definimos el número cero como el cardinal del conjunto vacío, 0 = card(∅) = card{}. Por convención, el primer número natural es el uno y, por lo tanto, el cero no es un número natural. El conjunto de los números naturales es infinito, pues siempre podremos construir conjuntos cuyo número de ele- mentos sea tan grande como podamos imaginar. Nunca existirá un “conjunto con más elementos que ningún otro” pues, por muy grande que sea un conjunto, siempre será posible añadirle un elemento más y obtener así un conjunto mayor.
4 Los números: desde los naturales hasta los reales
única forma de representar a un número racional en forma decimal, por ejemplo,
5 4
En ocasiones la forma decimal de un número viene dada en notación anglosajona, en la cual se utiliza un punto en vez de la coma decimal.
Se llama parte entera de un número racional positivo al número entero formado por los dígitos que están antes de la coma. Se llama parte decimal al número que se obtiene al restar la parte entera. En el caso de números positivos se puede obtener la parte decimal escribiendo “0,” y a continuación los dígitos que está detrás de la coma. Por ejemplo, la parte entera del número 14, 33 es 14 , mientras que su parte decimal es 0, 33.
Por otro lado, se define la parte entera de un número racional negativo como una unidad menos que el número entero situado antes de la coma. Por ejemplo, la parte entera de −2, 31 es igual a − 3 , mientras que su parte decimal es −2, 31 − (− 3 ) = 0, 69.
En general, se denomina parte entera de un número cualquiera x y se representa como E(x) a aquél número entero, n, tal que n ≤ x < n + 1. Se llama parte decimal a la diferencia x − E(x) (cantidad que, como se puede deducir de lo anterior, es siempre mayor o igual a cero y menor que uno).
Ejemplos
Dado el número racional 5, 024 (escrito en forma decimal), su parte entera es E(5, 024) = 5 y su parte decimal es 0, 024 (0, 024 = 5, 024 − E(5, 024) = 5, 024 − 5 )
La parte entera de −0, 34 es E(−0, 34) = − 1 y su parte decimal es −0, 34 − (− 1 ) = −0, 34 + 1 = 0, 66
Todo número racional, pq ∈ Q, se puede expresar de forma décimal, para lo cual, es suficiente calcular los sucesivos restos de la división de p entre q. La expresión decimal de un número racional puede ser de dos formas.
Expresión decimal exacta : aquella cuya parte decimal tiene un número finito de cifras, por ejemplo, 11 4
Expresión decimal periódica : cuando la parte decimal contiene un patrón de cifras que se repiten indefinidamente. Aquí existen dos posibilidades:
- decimal periódica pura : toda la parte decimal forma parte del patrón que se repite indefinidamente. Por ejemplo, 1 3
︷︷ 3 20 11
︷ ︷ 81 11 7
︷ ︷ 571428
1.3 Los números racionales 5
- decimal periódica mixta : no toda la parte decimal se repite
11 6
︷︷ 3 25 22
︷ ︷ 63
Dada la expresión decimal de un número racional, éste se puede expresar en forma de fracción de la siguiente forma:
Decimales exactos : Escribimos el número sin la coma decimal en el numerador y en el de- nominador escribimos un uno seguido de tantos ceros como su número de cifras decimales, por ejemplo 17, 23 =
Decimales periódicos puros : Sea x el número decimal periódico y sea n el número de cifras que contenga el periodo. Si multiplicamos x por 1 seguido de n ceros y restamos x, obtendremos un número entero. Al despejar x de la ecuación resultante obtendremos la fracción que buscamos.
Ejemplo:
Sea x=2, 17171717... = 2,
︷ ︷ 17 Entonces 100x = 217, 1717171... y 100x−x = 215, 00000.... =
- Por lo tanto, 99x = 215 , y x = 21599 es la fracción que buscábamos.
Decimales periódicos mixtos : Sean x y n como antes y sea m el número de cifras previas al comienzo del periodo. Multiplicamos x por 1 seguido de n + m ceros, multiplicamos x por 1 seguido de m ceros y restamos, conseguiremos como en el caso anterior un número entero y procediendo de la misma forma, podremos despejar x en forma de fracción.
Ejemplo:
Sea x = 0, 1233333... = 0, 12
︷︷
- Entonces^ 1000x^ =^ 123, 33333...,^ 100x^ =^ 12, 33333^ y 1000x − 100x = 111, 00000... = 111. Por lo tanto, 900x = 111 y conseguimos escribir x = 111900.
La forma decimal de un número racional siempre se puede escribir de forma periódica , añadiendo infinitos ceros si se trata de una expresión decimal exacta, por ejemplo:
1 2
︷︷ 0 1 = 1, 00000 · · · = 1,
︷︷ 0
De hecho, los números racionales se caracterizan por poseer una representación decimal perió- dica.
Ahora bien, ¿existen números que no se puedan escribir mediante una representación decimal pe- riódica? Es decir, ¿existen números cuya parte decimal contenga infinitas cifras sin que en ellas se pueda encontrar un patrón que se repita indefinidamente? La respuesta es sí, y estos números deci- males no periódicos constituyen los números irracionales. Éstos constituyen lo que los griegos denominaron “magnitudes inconmensurables” y su descubrimiento planteó uno de los problemas centrales en su universo matemático y, de hecho, limitó su desarrollo de la matemática. Su resis- tencia a admitir cantidades que no se puedan escribir como cociente de números enteros provocó
